FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 21/09/2011

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1 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 1/9/11 ESERCIZIO 1 (+3++3) La seguente tabella riporta la distribuzione di frequenza dei valori di emoglobina nel sangue (espressi in decigrammi/1 ml) su un collettivo di 1 pazienti. Xemoglobina Pazienti a) Discutere la natura del fenomeno X e rappresentarne graficamente la distribuzione delle frequenze; b) Calcolare moda, mediana e media aritmetica di X, posizionarle sul diagramma costruito in a) commentando i risultati; c) Valutare la variabilità di X in percentuale rispetto alla sua media, mediante il calcolo dell indice opportuno e commentare il risultato. Si assuma ora che il livello di emoglobina si distribuisca come una v.c. Normale con valore atteso 14.6 e deviazione standard 1: d) Calcolare le seguenti probabilità: che il livello di emoglobina sia compreso tra 14 e 15, sia minore di 14, sia almeno ESERCIZIO (++3+3) Nella seguente tabella a doppia entrata, un collettivo di 15 comuni è classificato rispetto alla qualità del servizio di trasporto pubblico e alla ripartizione geografica: Nord Centro Sud e Isole a) Costruire le distribuzioni di frequenze per il carattere Qualità del servizio condizionate all Area geografica, interpretando e commentando i risultati; b) Indicare, motivando la risposta, se i due fenomeni sono statisticamente indipendenti. In caso di risposta negativa, valutare il grado di connessione Si supponga di estrarre un campione bernoulliano di 3 comuni dal collettivo: c) calcolare la probabilità che uno solo fra i comuni campionati presenti Qualità del servizio Alta. d) Esporre e discutere il criterio dei Minimi Quadrati per la determinazione della Retta di Regressione.

2 ESERCIZIO 3 ( ) a) Discutere comparativamente i vantaggi e gli svantaggi di una stima intervallare rispetto ad una stima puntuale. Un negozio d abbigliamento vende due marche di jeans: A e B. Allo scopo di analizzare le preferenze dei clienti, sono state registrate casualmente 1 richieste, da cui si è rilevato che soltanto 3 hanno preferito la marca A. Sulla base della rilevazione: b) Calcolare una stima puntuale della proporzione p dei clienti che preferiscono la marca A e dimostrare che lo stimatore utilizzato è non distorto. c) Costruire e interpretare un intervallo di confidenza al livello del 95% per la proporzione p dei clienti che preferiscono la marca A; d) Sottoporre a verifica, ad un livello di significatività del 99%, l ipotesi statistica che la marca A raccolga almeno il 3% delle preferenze

3 ESERCIZIO 1 a) Il fenomeno è quantitativo continuo; in tabelle sono riportate frequenze relative, cumulate assolute e relative, ampiezze e densità di frequenza. Xemoglobina f i p i F i Φ i a i d i d' i La rappresentazione grafica corretta è l'istogramma, con le densità sull'asse delle ordinate b) La classe modale è e la moda è La classe mediana è pure e la mediana La media aritmetica x ( ) I tre indici di posizione presentano quindi valori molto vicini tra loro. c) Calcoliamo il coefficiente di variazione, dato dal rapporto tra deviazione standard e media aritmetica. La deviazione standard si può calcolare come ( ) σ 1 e quindi σ.995 cv.68 (la variabilità è pari al 6.8% della media aritmetica) x d) Le probabilità si calcolano come: < X < 15) P < X <.6 < Z <.4) Z <.4) Z 1 1 Z <.4) (1 Z <.6)) Z <.4) + Z <.6) <.6)

4 P ( X < 14) P X < Z <.6) Z >.6) 1 Z <.6) P ( X > 15.5) P X > Z >.9) 1 Z <.9) ESERCIZIO a) Tabella di contingenza con distribuzioni marginali: Nord Centro Sud e Isole Tabella di contingenza con distribuzioni condizionate della Qualità data l Area: Nord Centro Sud e Isole b) Qualità ed Area non sono statisticamente indipendenti in quanto le tre distribuzioni condizionate costruite in a) non sono identiche. L indice di connessione del Chi Quadrato assume valore χ 15( ) e normalizzato ~ χ.7 (% della connessione massima). 15 min(,) 3 c) La probabilità di QualitàAlta è 47/ Il numero di comuni con QualitàAlta in un campione casuale di tre comuni è una v.c. Binomiale Y con parametri n3 e p.313. La probabilità di avere y1 comune nel campione con QualitàAlta è quindi pari a n y n y p (1 p).313 (1.313).443. y 1 d) Vedi appunti/libro di testo ESERCIZIO 3 a) Vedi appunti/libro di testo b) La stima puntuale è data dalla proporzione campionaria p ˆ 3 /1.5 5% (vedi libro di testo per la dimostrazione della non distorsione) c) 1 α.95 α.5 α /.5 1 α /.975 (dalle tavole della Z ) z L intervallo di confidenza al 95% per la proporzione p è dato da:

5 pˆ z ( (.173,.37) pˆ(1 pˆ) / n; pˆ + z ( /1; pˆ(1 pˆ) / n).5.75 /1) d) L ipotesi da sottoporre a verifica è : p p. 3. La statistica da usare è H pˆ p p (1 p ) / n che per p p si distribuisce approssimativamente come una Z. Il valore critico è z : il test, che è unilaterale, rifiuta sulla coda sinistra per valori minori di z Il valore osservato della statistica test è.5.3 z /1 e quindi il test accetta l ipotesi nulla H.