Esame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016

Transcript

1 Esame di Statistica 0 o CFU) CLEF febbraio 06 Esercizio Si considerino i seguenti dati, relativi a 00 clienti di una banca a cui è stato concesso un prestito, classificati per età e per esito dell operazione di credito. Esito Età Solvente Insolvente a) Si confrontino graficamente le distribuzioni di frequenza relativa cumulata dell Età condizionata a ciascuno dei due possibili esiti dell operazione di credito e si commenti il risultato. b) Si calcoli la percentuale di clienti insolventi tra coloro che hanno un età inferiore a 45 anni. c) Si calcolino media e varianza dell età dei clienti. Esercizio Il consumo di carburante, inteso come litri necessari per la percorrenza di 00 km, per due modelli di automobili, A e B, segue una distribuzione normale con media di 0 litri e scarto quadratico medio di litro, per il modello A, e con media di 3 litri e scarto quadratico medio di litri, per il modello B. Considerando solo il modello A, si calcoli la probabilità a) che il consumo di carburante sia superiore a,5 litri; b) che il consumo di carburante sia compreso tra 9,8 e,5 litri; c) che il consumo di carburante complessivo di 3 automobili sia superiore a 60 litri. È stato condotto un test su 4 automobili del modello A e 6 automobili del modello B per verificare il consumo di carburante. d) Sapendo che il consumo di carburante di una delle 0 automobili sottoposte al test è risultato superiore a,5 litri, si calcoli la probabilità che l automobile sia del modello A.

2 Esercizio 3 Per il riempimento automatico di bottiglie con una certa bibita vengono impiegate due macchine. Il processo di riempimento delle due macchine funziona con uno scarto quadratico medio di σ = 0, 00 litri e σ = 0, 05 litri, rispettivamente. Da ciascuna delle due macchine viene estratto un campione di uguale numerosità n = n = n = 0 bottiglie, che fornisce un contenuto medio x =, 04 litri per la prima macchina e ȳ =, 07 litri per la seconda macchina, rispettivamente. Le quantità versate si possono assumere normalmente distribuite. a) Si derivi un intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza del contenuto medio versato dalle due macchine. b) Possiamo concludere al livello 5% che le due macchine versano lo stesso contenuto medio? c) Quale dovrebbe essere la numerosità n dei due campioni per ridurre di / l ampiezza dell intervallo del punto a)? d) Si derivi una stima corretta per la differenza del contenuto medio versato dalle due macchine, giustificando adeguatamente la risposta. ATTENZIONE I voti e le soluzioni usciranno alla pagina

3 Soluzioni Esercizio a) Trattandosi di una variabile suddivisa in classi, la funzione di frequenza relativa cumulata è una spezzata. Per i clienti solventi, i punti della spezzata sono 0,0), 35, 0.67), 45,0.667), 60,). Per i clienti insolventi, i punti sono 0,0), 35,0.3), 45,0.8), 60,). Dal confronto delle due spezzate, si conclude che i clienti insolventi sono statisticamente più giovani. b) Si tratta di una frequenza condizionata. La modalità condizionante è avere meno di 45 anni, la modalità condizionata è essere insolventi. La frequenza assoluta congiunta è 5+3=8. La frequenza assoluta della modalità che condiziona è =68. La frequenza cercata è 8/68=0,8, ossia l,8%. c) Dalla distribuzione marginale dell età, si derivano M = )/00 = 4.75 MX ) = )/00 = 88.5 V = = Esercizio Indichiamo con X la variabile casuale che descrive il consumo di carburante delle automobili del modello A, X N0, ). a) Si vuole calcolare P X >, 5). ), 5 0 P X >, 5) = Φ = Φ, 5) = 0, 933 = 0, 0668 dove Φ ) indica la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale standardizzata. b) Si vuole calcolare P 9, 8 X, 5). P 9, 8 X, 5) = P X, 5) P X 9, 8) = ) ), 5 0 9, 8 0 = Φ Φ = Φ, 5) Φ 0, ) = = 0, 933 Φ0, )) = 0, , 5793 = 0, 5 c) Sia X i, i =,, 3 la variabile casuale che descrive il consumo di carburante dell i-esima automobile. Allora, il consumo complessivo delle 3 automobili è C = X + X + X 3. Si vuole calcolare P C > 60). X, X, X 3 sono i.i.d. N0, ) e quindi C N60, 3). ) P C > 60) = Φ = Φ0) = 0, 5 3

4 d) Indichiamo con A= l automobile è del modello A e con B= il consumo è superiore a,5 litri. Indichiamo, inoltre, con X, come sopra, la variabile casuale del consumo di carburante per il modello A e con Y, la variabile casuale del consumo di carburante per il modello B, Y N3, 4). La probabilità cercata è P A B). Per il teorema di Bayes, P B A)P A) P A B) = P B A)P A) + P B Ā)P Ā) Calcoliamo le singole probabilità coinvolte. P B A) = P X >, 5) = 0, 0668 P A) = 4/0 = 0, 4 P B Ā) = P B l automobile è del modello B ) = P Y >, 5) = ), 5 3 = Φ = Φ 0, 75) = Φ0, 75)) = Si deriva, quindi, Esercizio 3 P A B) = = + 0, 7734 = 0, 7734 P Ā) = 6/0 = 0, 6 0, , 4 0, , 4 + 0, , 6 = 0, 054 a) Indichiamo con µ il contenuto medio versato dalla prima macchina e con µ il contenuto medio versato dalla seconda macchina, rispettivamente. Viene richiesto un intervallo di confidenza di livello 95% per µ µ. Se assumiamo che i due campioni siano indipendenti, un intervallo di confidenza di livello 95% per µ µ è dato da σ x ȳ) ± z 0,975 + σ n Si noti che le varianze di popolazione σ e σ sono date dall esercizio stesso e sono quindi note). Essendo n = n = 0 e z 0,975 =, 96, sostituendo i dati del problema nell espressione precedente si deriva 0, 00, 04, 07) ±, , 05 0 n ) = 0, 038, 0, 0) b) Poiché l intervallo ottenuto al punto precedente non include lo 0, possiamo immediatamente concludere che vi è una differenza significativa al livello 5% tra i contenuti medi versati dalle due macchine.

5 c) L ampiezza dell intervallo del punto b) è 0, 0 + 0, 038 = 0, 06 Se riduciamo di / tale ampiezza, l ampiezza del nuovo intervallo diventa 0, 06 0, 06/ = 0, 008 Se manteniamo le ipotesi fatte al punto a), l intervallo di confidenza per µ µ di livello 95% con una numerosità campionaria per ciascuna macchina pari a n è ) 0, 00 0, 05, 04, 07) ±, 96 + = n n ) =, 04, 07) ±, 96 n 0, , 05 ) Vogliamo trovare n tale che l ampiezza di questo intervallo sia pari a 0,008. Allora,, 96 n 0, , 05 ) = 0, 008 da cui ossia n = 77 approssimando). n =, 96 0, , 05 0, 008 = 8, 8 d) Vogliamo una stima corretta di µ µ. Indicando con X la variabile casuale della media campionaria per la prima macchina e con Ȳ la variabile casuale della media campionaria per la seconda macchina, sappiamo che E X) = µ EȲ ) = µ Allora, e quindi è una stima corretta di µ µ. E X Ȳ ) = E X) EȲ ) = µ µ x ȳ =, 04, 07 = 0, 03