Un modello di studio. Gli urti tra palline

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1 QUANTITA DI MOTO

2 Un modello di studio Gli urti tra palline

3 Newton osservò che la velocità e la massa hanno un ruolo importante nel moto

4 Quantità di Moto La quantità di moto di un corpo è il prodotto della massa del corpo per la sua velocità p mv E una grandezza vettoriale che dipende dalla direzione e dal verso della velocità Si misura in kg m/s

5 Esempio Un atleta di 100 kg corre con velocità di 4 m/s. Un proiettile da 1 kg esce dalla bocca di fuoco con v500 m/s. Quale dei due corpi ha quantità di moto maggiore? p(atleta)100*4400 kg m/s p(proiettile)1* kg m/s

6 Il proiettile che ha massa minore dell atleta, ha comunque quantità di moto maggiore, questo perché il modulo della quantità di moto dipende sia dalla massa sia dal modulo della velocità

7 Forza e variazione della quantità di moto Newton originariamente espresse la sua II Legge in termini di quantità di moto, anziché di accelerazione: la velocità di variazione della quantità di moto di un corpo è uguale alla forza agente sul corpo ( v ) p p p0 mv mv0 m v 0 v F m t t t t t t t t ma

8 Una variazione della quantità di moto di un corpo è indice del fatto che su tale corpo sta agendo una forza (forza media) F p t

9 Legame tra quantità di moto e impulso Esamineremo la durata dell azione della forza agente sul punto materiale, oltre che la forza stessa e la variazione di velocità che il punto materiale subisce. Se si sceglie un intervallo di tempo sufficientemente piccolo, in modo da ritenere praticamente costante la forza agente durante l intervallo di tempo scelto, l equazione diventa: v F ma m F t m v t

10 Impulso F t I t F t m v p Il Teorema della quantità di moto afferma che l impulso esercitato da una forza su un corpo in un intervallo di tempo è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo nello stesso intervallo di tempo

11 Forza variabile In un processo d urto, la forza che esercita l impulso non è costante, ma varia nel tempo, in generale passando molto rapidamente da un valore nullo ad un valore massimo e poi annullandosi di nuovo molto rapidamente. Area F t impulso

12 Esempio di applicazione dell impulso Consideriamo l'urto di un motociclista contro un muro: Supponendo che la massa del motociclista sia di 60 kg, la velocità con cui colpisce il muro 10 m/s (soli 36 km/h!!!) ed il tempo in cui dura l'urto 0, s, calcoliamo la forza che agisce sul motociclista in modo da fermarlo (forza esercitata dal muro).

13 Applicando la formula dell'impulso si ha (supponendo che il fenomeno avvenga nella stessa direzione così da passare dai vettori agli scalari) : per cui, sostituendo i numeri si ottiene : (la velocità finale è ovviamente nulla ed il segno - è perché la forza è opposta alla velocità).

14 Considerando che 1 N corrisponde al peso di circa 0,1 kg, la forza trovata corrisponde a circa 300 kg. Ci rendiamo allora conto di quanto grande sia questa forza anche se la velocità d'urto è così piccola!!!

15 Se il tempo in cui dura l'urto fosse maggiore, per esempio 1 s, troveremmo una forza minore, esattamente pari a : per cui il danno in questo caso sarebbe minore. Per ottenere danni minori per i passeggeri, le automobili vengono costruite in modo che un eventuale urto duri più tempo. Questo avviene, per esempio, se il muso dell'auto è sufficientemente "tenero" in modo da contrarsi progressivamente durante l'urto.

16 Principio d inerzia In assenza di forze un punto materiale si muove a velocità costante (principio F d inerzia) se F 0 m 0 a 0 v La massa di un punto materiale non cambia nel corso del tempo In assenza di forze la quantità di moto di un punto materiale si mantiene costante (forma alternativa del principio d inerzia) F t m v p se F 0 p 0 p cost cost ma

17 Conservazione della quantità di moto Consideriamo due carrelli collegati da un filo e fra cui è posta una molla in tensione. Le masse dei due carrelli sono e (consideriamo la massa della molla trascurabile). Supponiamo che gli attriti siano trascurabili.

18 Ad un certo istante tagliamo il filo che tiene uniti i due carrelli. La molla si distende e comunica una forza ai due carrelli che cominceranno a muoversi con velocità opposte. Qual è in modulo il valore delle due velocità? Misurando queste velocità si verifica che, come intuitivamente potevamo supporre, la velocità che acquista il corpo di massa doppia è esattamente la metà dell'altra. Cioè :

19 Supponiamo che sia e Possiamo allora verificare facilmente che il prodotto fra la massa e la velocità del primo corpo è uguale al prodotto fra la velocità e la massa del secondo corpo. Cioè : e

20 D'altra parte, prima che la molla scattasse, quando i carrelli erano uniti, velocità erano nulle per cui si aveva : e Ma le velocità sono grandezze vettoriali dotate di intensità, direzione e verso, per cui, se consideriamo positivo il verso di, avendo verso opposto, per i corpi dopo che è scattata la molla dovremo scrivere e. Di conseguenza avremo : e

21 Arriviamo quindi ad una importantissima constatazione : la somma dei prodotti di massa e velocità (considerata come vettore) prima e dopo lo scatto della molla è nulla. Ovvero : Zero prima, zero dopo : la quantità di moto complessiva del sistema non è cambiata nel tempo, essa si è conservata!

22 Siamo allora pervenuti ad una nuova legge di natura. In un sistema isolato (cioè un sistema di corpi isolato dall'esterno) considerato rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale (ovvero la somma delle quantità di moto, intese in senso vettoriale, dei singoli corpi che costituiscono il sistema) è costante nel tempo, ovvero si conserva.

23 Riferendoci all'esempio precedente: i due carrelli costituiscono un sistema con buona approssimazione isolato in quanto gli attriti sono ridotti al minimo e la forza di gravità è neutralizzata dal tavolo su cui i carrelli sono posti il tavolo si può considerare un buon sistema di riferimento inerziale prima dello scatto della molla la quantità di moto totale è nulla perché le velocità sono nulle dopo lo scatto della molla abbiamo due quantità di moto diverse da zero, ma con valori opposti, per cui la loro somma (la quantità di moto totale del sistema) è ancora zero.

24 Supponiamo che il secondo carrello sia fissato al tavolo, in modo da non potersi spostare quando la cordicella viene bruciata. Si avrebbe ancora conservazione della quantità di moto? No perché il sistema non è isolato, ma soggetto ad una forza esterna che tiene fermo il secondo carrello.

25 Supponiamo che la superficie eserciti sui due carrelli lo stesso attrito. In queste condizioni quando i carrelli si fermano: a)hanno percorso la stessa distanza b)il più leggero ha percorso una distanza doppia del più pesante c)il più leggero ha percorso una distanza quadrupla del più pesante

26 / / s t a t v t a t v a t t v s t t t v t v t v t v a a m a m a F F v s m v m kg m v v s m v kg m + + +

27 La legge di conservazione della quantità di moto non è propriamente una nuova legge della dinamica, indipendente dalle altre, da aggiungere alle tre leggi di Newton. Essa in effetti deriva matematicamente dalla II e III legge di Newton.

28 Infatti, considerando l' "istante" dello scatto della molla, per il III principio della dinamica, il corpo 1 esercita sul corpo una forza uguale in intensità ma opposta in verso a quella esercitata dal corpo sul corpo 1. Supponiamo che tale forza sia F 50 N.

29 D'altra parte, per il II principio della dinamica si ha F m a da cui le accelerazioni che subiscono i due corpi risultano in intensità : e Supponiamo che il tempo in cui il corpo 1 spinge sul corpo sia uguale a tempo in cui spinge contro 1 e sia t 0,4s. Siccome si tratta di moti uniformemente accelerati si ha quindi le seguenti velocità: e

30 Moltiplicando le masse per le velocità si ottiene infine : e Da cui si vede che la quantità di moto si conserva. Abbiamo quindi dimostrato che la legge di conservazione della quantità di moto non è una "nuova" legge di natura, ma deriva direttamente dai principi di Newton.

31 Esempi di conservazione della quantità di moto 1) Urto elastico fra due corpi: conservazione della quantità di moto e dell energia cinetica ) Urto anelastico con "unione" dei due dopo l'urto: conservazione della quantità di moto, ma non dell energia cinetica.

32 3) Fucile Un fucile ha una massa molto grande rispetto alla massa di un proiettile. Prima di sparare, la quantità di moto totale (del fucile e del proiettile) è nulla. Quando si spara, il proiettile esce a grande velocità mentre il fucile rincula a bassa velocità in modo che la quantità di moto del proiettile uguagli in intensità la quantità di moto del fucile (rendendo così la quantità di moto totale ancora nulla). (trascuriamo la quantità di moto dei gas prodotti dall'esplosione).

33 4) Bomba Quando una bomba esplode, le schegge vengono scaraventate in tutte le direzioni. Per il principio di conservazione della quantità di moto, la somma di tutte le quantità di moto (naturalmente intese come vettori) delle schegge (e delle particelle dei gas sprigionati dall'esplosione) è nulla, se era nulla la quantità di moto della bomba prima di esplodere.

34 5) Motore a reazione Il motore a reazione che spinge gli aerei ed i missili funziona proprio grazie al principio di conservazione della quantità di moto. Il gas che fuoriesce dal motore a reazione è formato da innumerevoli particelle di massa molto piccola ma dotate di velocità molto grande. In questo modo, come per il rinculo del fucile, il missile o l'aereo avanza nel verso opposto a quello del gas.

35 Conservazione della quantità di moto su due direzioni Negli esempi precedenti circa la legge di conservazione della quantità di moto, ci siamo quasi sempre limitati al semplice caso di moti lungo una sola direzione (retta). Vediamo ora in particolare cosa avviene se le quantità di moto (che sono rappresentate da vettori) giacciono su direzioni diverse.

36 Consideriamo il caso di un urto con cambio di direzione, per esempio l'urto di una palla da biliardo contro un'altra, ferma, che avvenga non esattamente nel centro. In questo caso la quantità di moto della prima palla sarà uguale alla somma vettoriale delle due quantità di moto che le palle assumono dopo l'urto, somma vettoriale che, come noto, si esegue con la regola del parallelogramma.

37 Sia la quantità di moto della palla 1 prima dell'urto. Siano e le quantità di moto della palla 1 e della palla dopo l'urto. La quantità di moto della palla prima dell'urto, essendo ferma, è nulla. Si ha allora : Possiamo allora scrivere : dove la somma va intesa in senso vettoriale (regola del parallelogramma).

38 Possiamo dare al fenomeno dell'urto illustrato sopra una differente, ma equivalente, descrizione. Immaginiamo di scomporre i due vettori dopo l'urto e nelle direzioni orizzontale e verticale nel seguente modo : Dalla figura si vede bene che le componenti e sono opposte e quindi si annullano a vicenda. Rimangono in gioco le componenti e che, sommate, danno, la quantità di moto prima dell'urto.

39 ESERCIZIO Consideriamo un protone di massa che urta alla velocità un nucleo di elio. In seguito all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità. Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio è, si calcoli la massa del nucleo di elio. Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto.

40 Applicando le regole, perveniamo quindi al valore finale Si noti la "potenza" della legge di conservazione della quantità di moto. Senza conoscere il tipo di interazione, ovvero le forze che intervengono nell'urto fra le due particelle, siamo stati in grado di calcolare la massa del nucleo dell'elio!!!