Lo scopo del posizionamento

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1 Lo scopo del posizionamento Stimare posizioni di punti con le osservazioni disponibili: il problema è intrinsecamente deficiente di rango per stimare posizioni è necessario vincolare i gradi di libertà del problema. E' necessario definire il sistema di riferimento In progressione di complessità: caso 1D, caso 2D, caso 3D.

2 Sistemi di riferimento in una dimensione (asse reale o caso delle quote) er calcolare la posizione di...

3 Sistemi di riferimento in una dimensione 0 1 x er calcolare la posizione x di devono essere introdotte un'unità di misura delle lunghezze e un'origine. Viene introdotto un Sistema di Riferimento

4 Sistemi di riferimento in una dimensione 0 x x Una differente origine...

5 Sistemi di riferimento in una dimensione 0 x x 0' x' x' Una differente origine implica un differente valore x'

6 Sistemi di riferimento in una dimensione 0 x x 0' x' x' t 0' 0 x'-x x' = x + t t = x' x = O O'

7 La lezione del caso monodimensionale Dato il sistema di riferimento, la posizione di un punto è la sua distanza (con segno o orientata) dall'origine. L'analogo con la quota Si deve definire la quota origine: ad esempio il livello medio mare.

8 Sistemi di riferimento bidimensionali (caso planimetrico) Si definiscono due assi ortogonali, ad esempio E!" (Est) e N!" (Nord). Si definisce un'unità di misura delle lunghezze. Si è definito il sistema di riferimento.

9 Sistemi di riferimento bidimensionali N Le coordinate di un punto sono le sue proiezioni ortogonali sugli assi Nota è il punto!" p è il vettore fra l'origine e N p p = E N è la posizione di rispetto agli assi assegnati. 0 E E

10 N Sistemi di riferimento bidimensionali effetto di un cambio di origine N' N Siano!"!" E!", N e E ',!" N ' due sistemi di riferimento con assi paralleli N' ma diversa origine. 0' 0 E E' E E'

11 Sistemi di riferimento bidimensionali effetto di un cambio di origine N N' p' p = t + p = p' E ' N ' E N = t = 0 0' 0 t p 0' p' E t è la posizione dell'origine del primo sistema di riferimento vista nel secondo sistema di riferimento: traslazione. E'

12 Sistemi di riferimento bidimensionali effetto di una rotazione degli assi N' N N r E' 0 E E

13 Sistemi di riferimento bidimensionali effetto di una rotazione degli assi N' N N r E' N' E' 0 E E

14 Sistemi di riferimento bidimensionali effetto di una rotazione degli assi N' N N p' = p = E ' N ' E N = = cosr sinr cosr sinr sinr cosr sinr cosr p' E N r E' N' E' 0 E E p' = Rp,p = R T p' R T R = RR T = I

15 Sistemi di riferimento bidimensionali composizione di traslazione e rotazione T T T T p' = t+ Rp, p= R( p' t) = Rp' Rt= Rp' + t ' Si consideri un fattore di scala, ovvero un eventuale rapporto fra unità di misura delle lunghezze nei due sistemi di riferimento. p t Rp p R p t R p t 1 1 ', T T λ λ = + = ( ' ) = λ ' + '

16 La lezione del caso a due dimensioni Data l'unità di misura vengono imposti l'origine e l'angolo di direzione. Un criterio equivalente Si materializza un punto, cui si assegna una posizione, si impone l'angolo di azimut a un secondo punto. Mediante osservazioni opportunamente combinate, si determinano posizioni di altri punti.

17 SR in tre dimensioni!"!"!!" Tre assi x,x2,x3 1 con origine comune, ortogonali e tali da formare una terna destrogira, l'unità di misure delle lunghezze!"!"!" (ovvero tre versori versori e,e2,e3 1 ). Le coordinate di un punto sono le lunghezze delle sue proiezioni ortogonali sui tre assi. Il vettore fra due punti è la differenza orientata delle coordinate dei due punti.

18 I gradi di libertà di un sistema 3D Data l'unità di misura delle lunghezze: una traslazione dell'origine, ovvero 3 gradi di libertà. due angoli di direzione ortogonali per un asse: α1, α 2 per x! 3, un angolo di rotazione attorno allo stesso asse: α 3.

19 La trasformazione fra SR Due sistemi di riferimento, I e II, con diversa origine, diverso orientamento degli assi e fattore di scala λ t = [ t t t ] T : coordinate dell origine di I rispetto a II, R: rotazione per portare paralleli gli assi di I a quelli di II.

20 Sia un punto con coordinate x x in I. I 1 = x 2 x 3 I, Le coordinate di in II sono date dalla x x x 1 2 3, II = x = t + λrx II I Rotazione 3D: matrice [3 3], ma solo tre angoli indipendenti! In ambito geodetico R è attuata mediante la composizione di tre opportune rotazioni piane rispetto ai tre assi.

21 R ( r) = 0 cos r sin r 0 sin r1 cos r

22 R cosr2 0 sin r2 ( r ) = sin r2 0 cos r2 2 2

23 R cos r3 sin r3 0 ( r ) = sin r cos r

24 L ordine della composizione di tre rotazioni piane consecutive non è indifferente: nell'ambito geodetico si adotta la sequenza R1 R2 R 3, ovvero r1 r2 r3 = 3 r3 2 r2 1 r1 R(,, ) R ( ) R ( ) R ( ), R dipende dai tre angoli r 1, r 2, r: 3 la trasformazione dipende in totale da 7 parametri. Trasformazione di Helmert oppure trasformazione di similarità.

25 La definizione di un sistema di riferimento globale 3D Data l'unità di misura, vengono fissati la traslazione e tre angoli di direzione. International Terrestrial Reference System: viene assegnata un'unità di misura standard delle lunghezze, origine nel centro di massa della Terra,!" asse x 3(Z) diretto lungo l'asse di rotazione convenzionale terrestre,!" asse x 1( X ) sul piano ortogonale a Z (equatore convenzionale terrestre), allineato al meridiano fondamentale di Greenwich.

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27 La materializzazione di un sistema di riferimento 3D Effettuiamo osservazioni fra punti sulla superficie della Terra, non effettuiamo osservazioni di posizione rispetto al geocentro, all'asse di rotazione terrestre e al meridiano fondamentale. Una volta definiti, i SR vengono materializzati mediante reti di stazioni permanenti o caposaldi le cui coordinate sono stimate e pubblicate in cataloghi.