Alberi binari. Ilaria Castelli A.A. 2009/2010. Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione

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1 Alberi binari Ilaria Castelli Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 1/20

2 Alberi binari Definizione Sottoalberi Padre, figli Foglie, nodi interni e percorsi Profondità e altezza Bilanciamento Alberi mediante puntatori I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 2/20

3 Alberi Grafo (preview... ) Un grafo G è una coppia (V, E), dove V è un insieme finito di nodi ed E è una relazione binaria su V. I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 3/20

4 Alberi Grafo (preview... ) Un grafo G è una coppia (V, E), dove V è un insieme finito di nodi ed E è una relazione binaria su V. Albero con radice Un albero è un grafo connesso, non diretto, aciclico. In un albero con radice A esiste un nodo r, tale che qualsiasi altro nodo di A è raggiungibile da r attraverso un unico cammino semplice. I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 3/20

5 Alberi Grafo (preview... ) Un grafo G è una coppia (V, E), dove V è un insieme finito di nodi ed E è una relazione binaria su V. Albero con radice Un albero è un grafo connesso, non diretto, aciclico. In un albero con radice A esiste un nodo r, tale che qualsiasi altro nodo di A è raggiungibile da r attraverso un unico cammino semplice. Un cammino dal nodo i al nodo j è la sequenza di archi che devono essere attraversati per raggiungere il nodo j partendo dal nodo i Ogni nodo y che si trova sul cammino tra r e x è un ascendente di x; viceversa, x è un discendente di y r è l unico nodo che non ha ascendenti Se l ultimo arco del cammino da r a x è (y, x), allora y è il padre di x, e x è figlio di y I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 3/20

6 Ascendenti e discendenti arco (b,f) Radice a figli di b b c d e f g h i l m n o p Il numero di figli di un nodo x si dice grado di x I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 4/20

7 Foglie, nodi interni, percorsi Un nodo che non ha figli si dice nodo foglia Un nodo si dice nodo interno se ha almeno un figlio. percorso tra b ed m Radice a nodi interni b c... d e f g h i l m n o p foglie I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 5/20

8 Profondità e altezza La profondità di un nodo x è la lunghezza del percorso per andare da r a x. L altezza dell albero è la profondità massima che può avere un nodo dell albero. Radice p=0 h=3 p=1 p=2 p=3 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 6/20

9 Alber k-ari Alberi con radice in cui ogni nodo può avere al più k figli. In un albero k-ario posizionale esiste un ordinamento tra i figli di ogni nodo. I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 7/20

10 Alber k-ari Alberi con radice in cui ogni nodo può avere al più k figli. In un albero k-ario posizionale esiste un ordinamento tra i figli di ogni nodo. Esempio: albero ternario I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 7/20

11 Alberi binari Def.1: Albero binario Un albero binario è un albero con radice in cui ogni nodo ha al più due figli Parleremo di alberi binari posizionali I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 8/20

12 Alberi binari Def.1: Albero binario Un albero binario è un albero con radice in cui ogni nodo ha al più due figli Parleremo di alberi binari posizionali Def.2: Albero binario Un albero binario è un insieme S di nodi tale che: o S è un insieme vuoto oppure, un nodo r S è designato come radice e l insieme S {r} è ripartito in due sottoinsiemi che sono a loro volta alberi binari I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 8/20

13 Sottoalberi I due sottoinsiemi sono detti sottoalbero sinistro e destro di r Radice Sottoalbero sinistro Sottoalbero destro I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 9/20

14 Radice radice del sottoalbero sinistro radice del sottoalbero destro sottoalbero sinistro sottoalbero destro sottoalbero sinistro sottoalbero destro Remark: In un albero binario un nodo è nodo foglia se entrambi i sottoalberi di cui è radice sono vuoti. I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

15 Alberi binari completi (perfettamente bilanciati) Un albero binario è completo se: tutte le foglie hanno la stessa profondità tutti i nodi interni hanno grado 2 Un albero binario completo con f foglie ha altezza h = log 2 f Un albero binario completo con altezza h ha 2 h+1 1 nodi di cui: 2 h foglie 2 h 1 nodi interni Dim. per induzione h = = 1 nodi, di cui 2 0 = 1 foglie se l ipotesi induttiva è vera per h, allora per h + 1 avremo: 2 2 h = 2 h+1 foglie 2 h {z } 2 h+1 {z } = 2 k+2 1 nodi totali nodi per h nuove foglie I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

16 Alberi binari completi (perfettamente bilanciati) Radice 1 h= Nodi: 2 h+1 1 = = 15 Nodi interni: 2 h 1 = = 7 Foglie: f = 2 h = 2 3 = 8 Altezza: log 2 f = 3 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

17 Alberi binari quasi perfettamente bilanciati Fino al livello k 1 contiene il numero massimo di nodi (2 k 1 in totale) Al livello k contiene un numero di nodi (foglie) compreso tra 1 e 2 k 2 k 1 f 2 k se vale l uguaglianza superiore è un albero perfettamente bilanciato k=0 k=1 k=2 k=3 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

18 Alberi binari quasi perfettamente bilanciati Sia T un albero binario quasi completo di altezza h. Allora il numero di nodi di T è tale che 2 h n 2 h+1 1 Dim. n max = 2 h+1 1, come un albero completo di altezza h. n min = (2 h 1) + 1, come un albero completo di altezza (h 1) con un nodo in più L altezza di un albero binario quasi completo T con n nodi è h = log 2 n Dim. 2 h n 2 h+1 1 < 2 h+1 = h log 2 n < h + 1 = h log 2 n < h + 1. Quindi h = log 2 n I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

19 Bilanciamento e altezza dell albero In generale h log 2 f h Ω(log 2 f) Perfettamente bilanciato h = log 2 f Quasi perfettamente bilanciato h log 2 f Per gli alberi bilanciati abbiamo h O(log 2 f) e quindi h Θ(log 2 f) I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

20 Bilanciamento e altezza dell albero In generale h log 2 f h Ω(log 2 f) Perfettamente bilanciato h = log 2 f Quasi perfettamente bilanciato h log 2 f Per gli alberi bilanciati abbiamo h O(log 2 f) e quindi h Θ(log 2 f) I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

21 Bilanciamento e altezza dell albero In generale h log 2 f h Ω(log 2 f) Perfettamente bilanciato h = log 2 f Quasi perfettamente bilanciato h log 2 f Per gli alberi bilanciati abbiamo h O(log 2 f) e quindi h Θ(log 2 f) I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

22 Alberi -bilanciati Data una costante intera prefissata 0, un albero è -bilanciato se, per ogni suo nodo A: definiamo: sa = il massimo livello che si può raggiungere scendendo da A per il ramo sinistro d A = il massimo livello che si può raggiungere scendendo da A per il ramo destro s A d A Quindi: Perfettamente bilanciato = bilanciato 0 Quasi perfettamente bilanciato = bilanciato 1 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

23 Alberi -bilanciati - esempio A A k=0 B C B C k=1 D D E k=2 E F G k=3 = 2 = 2 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

24 Rappresentazione di alberi binari Liste concatenate in cui si usano i campi: p[x] per puntare al padre del nodo x lef t[x] per puntare al figlio sinistro right[x] per puntare al figlio destro left[x] p[x] right[x] Se un figlio non esiste, il corrispondente puntatore è NIL. La radice, root[t ], ha p[root[t ]] = NIL. Se root[t ] = NIL, l albero è vuoto I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

25 Rappresentazione di alberi binari Per le foglie left[x] = right[x] = NIL I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20

26 Rappresentazione di alberi left[x] punta al primo figlio right[x] punta al fratello successivo, se esiste I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/ /20