Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1"

Transcript

1 Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1

2 Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni pallina venga assegnato un punteggio secondo quanto segue: rosso = 1; bianco = 2; nero = 3. Si costruisca la variabile casuale X, data dalla somma dei valori relativi alle biglie uscite in due estrazioni successive, senza reimmissione. Esercizio 2. Viene considerato un esperimento consistente nel lancio di una dado a quattro facce, non truccato, e nella successiva estrazione di una pallina da un urna che contiene 4 palline rosse, 5 palline blu e 2 palline gialle. Assegnato ad ogni pallina un valore pari a 4 punti se questa è rossa, 2 se blu e 1 se gialla e considerando X la variabile casuale pari alla differenza fra il risultato del dado (valori fra 1 e 4) e quello dell estrazione della pallina, si chiede di costruire la variabile casuale X. 2

3 Distribuzione binomiale Esercizio 1. Calcolare la probabilità che su 10 lanci di un dado non truccato esca 4 volte 6. Esercizio 2. In un urna sono contenute 2 biglie bianche, 3 nere, 5 rosse. Vengono estratte CON REIMMISSIONE 6 palline. Calcolare la probabilità di estrarne 3 rosse. Esercizio 3. Una ditta produce un certo componente con una difettosità del 5%. In un controllo statistico a campione viene estratto da un lotto di 1000 pezzi un campione di 100 pezzi. Qual è la probabilità che tale lotto venga accettato, se su tale campione non sono tollerati più di due pezzi difettosi? (Si considerino estrazioni con reimmissione). Esercizio 4. Si consideri un esperimento stocastico consistente nell estrazione con reimmissione di un campione di 4 biglie da un sacchetto contenente 4 biglie nere, 6 bianche, 20 rosse e 10 blu. Calcolare la probabilità di estrarre: a) 2 palline nere; b) al più 2 palline nere; c) almeno 3 palline nere. 3

4 Distribuzione ipergeometrica Esercizio 1. Si consideri un lotto di 800 pezzi di cui 40 sono difettosi. Si supponga che un lotto superi un controllo in accettazione se a fronte di un estrazione di 150 pezzi ve ne siano al più 2 difettosi. Il lotto in considerazione viene accettato? Esercizio 2. Calcolare la probabilità di fare 6 al superenalotto. Esercizio 3. Una partita di 150 libri ne contiene 30 difettosi. Se si estraggono 10 libri, qual è la probabilità di averne 3 difettosi? Esercizio 4. È dato un lotto di 100 pezzi dei quali 30 sono difettosi. Calcolare la probabilità di estrarre un campione di 3 pezzi, dei quali uno sia difettoso: a) con reimmissione (dopo ogni estrazione) b) senza reimmissione 4

5 Distribuzione di Poisson (o degli eventi rari) Esercizio 1. Il numero medio di chiamate ad un centralino di una ditta è di 60 all ora. a) Qual è la probabilità che non vi sia alcuna chiamata in 2 minuti? b) Qual è la probabilità che arrivino più di 5 chiamate in un intervallo di 5 minuti? Esercizio 2. È stato accertato che 4 persone ogni 2500 sono allergiche alle graminacee. Qual è la probabilità che in un campione di 1500 persone vi siano: a) 3 persone allergiche? b) meno di 2 persone allergiche? Esercizio 3. Su una produzione di 1000 pezzi si ha una difettosità dell 8%. Esaminando un campione di 20 pezzi, qual è la probabilità che 2 o meno non siano conformi? Esercizio 4. Una ditta che gestisce il trasporto in una grande città ha un parco di 1000 vetture e si è osservato che, in media, in un determinato giorno un autovettura ha probabilità dello 0.24% di subire un guasto. a) Se il servizio di manutenzione della ditta può far fronte al massimo a 6 guasti al giorno, trovare la probabilità che, in un determinato giorno, non riesca a far fronte alle necessità. b) Calcolare, assumendo che un anno abbia 365 giorni, la probabilità che almeno 4 giorni all anno non ci sia un adeguata possibilità di far fronte a guasti occorsi in quel giorno. 5

6 Esercizi Esercizio 1. Una produzione industriale avviene con un livello di difettosità nota, pari a 3.65%. Esaminando un campione di 20 oggetti prodotti, si chiede qual è la probabilità che tre o più oggetti siano effettivamente difettosi. Esercizio 2. Una macchina produce pezzi con una difettosità pari al 5.3% e li inscatola in pacchi da 9 pezzi. Calcolare la probabilità che in una scatola vi sia più di un pezzo difettoso (X>1). Si effettua un controllo di accettazione di una fornitura esaminando 4 pacchi e, se nessuno di questi ha più di un pezzo difettoso l intero lotto viene accettato. Qual è la probabilità di rifiutare l intero lotto? Esercizio 3. Un urna contiene 100 palline di cui 12 sono contrassegnate con il numero 2 e 88 con il numero 1. Vengono estratte senza reimmissione 3 palline. Sia X la variabile casuale corrispondente alla somma dei valori delle palline estratte. Costruire la variabile casuale X con la relativa funzione densità di probabilità f x (X) e determinare il valore atteso per X, cioè la sua media E[X]. 6

7 Esercizio 4. Analizzando il numero di guasti alla settimana ad un centralino telefonico, in un anno si sono osservati i risultati in tabella. n guasti n settimane Determinare la probabilità che nelle prossime settimane non si verifichino guasti Esercizio 5. Viene lanciata una coppia di dadi non truccati e considerata la somma dei risultati di ciascun dado. Qual è la probabilità che la variabile casuale somma sia maggiore di 7 almeno 2 volte? Esercizio 6. X è una variabile casuale distribuita secondo una distribuzione di Poisson in modo che sia P[X=2] = 3 P[X=4]. Qual è la probabilità che X sia compreso o uguale tra 1 e 4? 7

8 Distribuzione uniforme Esercizio 1. Data un distribuzione uniforme X[a = 2;b = 4], calcolarne media e varianza. Esercizio 2. Sia Y una variabile casuale distribuita uniformemente, con media pari a 16 e tale per cui la probabilità che Y sia compreso fra 14 e 16 sia 16.67%. Determinare la varianza di Y. Distribuzione esponenziale Esercizio 1. In un azienda un centralino riceve abitualmente 80 chiamate all ora. Qual è la probabilità che il tempo che intercorre fra due chiamate sia: a) inferiore o uguale a 3 minuti; b) compreso fra 1 e 2 minuti; c) superiore a 3 minuti. Esercizio 2. Un componente ha una vita utile data da una distribuzione esponenziale di parametro λ = 10-5 rotture/ora. Qual è la probabilità che il componente raggiunga la vita media attesa? Si intenda la vita attesa come E[x], cioè pari a 1/λ = 10 5 ore/rottura. Esercizio 3. Sia X una variabile casuale esponenziale con media pari a 3.5. Si calcoli la probabilità di estrarre da X un valore compreso fra 1 e 4. 8

9 Esercizi Esercizio 1. Una variabile casuale ha funzione densità di probabilità f x (X). x 3 a f X ( X ) = 0 a) Determinare il parametro a sapendo che la media µ x è pari a 3/7 b) Calcolare la varianza di X x a altrove Esercizio 2. Una variabile casuale assume i valori compresi fra 0 e 4 ed è definita dalla funzione di probabilità f x(x). 1 1 a) Calcolare a ax 0 x 4 2 f ( ) b) Trovare P[1 X 4] X X = 0 altrove c) Calcolare la media µ x d) Calcolare la varianza e la deviazione standard Esercizio 3. Una macchina ha una vita media prima di subire guasti di 6 anni (ipotizzare una distribuzione esponenziale). Un acquirente compera 10 macchine di questo tipo e vuole sapere qual è la probabilità che una di esse si rompa entro 3 anni 9

Esercizi di Calcolo delle Probabilità

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato

Dettagli

STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI

STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/200 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Estrazioni I Ines Campa Probabilità e Statistica - Esercitazioni -

Dettagli

ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Docente titolare: Irene Crimaldi 26 novembre 2009 Es.1 Supponendo che la probabilità di nascita maschile e femminile sia la stessa, calcolare la probabilità

Dettagli

STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 1. Dott.ssa Antonella Costanzo

STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 1. Dott.ssa Antonella Costanzo STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 1 29.01.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Modelli discreti di probabilità: le v.c. binomiale e geometrica (come caso particolare della v.c. binomiale negativa)

Dettagli

Corso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá

Corso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá Corso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá Exercise 0.1 Unurna contiene 2 biglie bianche e 5 nere. Estraiamo una prima biglia: se nera la rimettiamo dentro con altre due dello stesso colore, se

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE 9

STATISTICA ESERCITAZIONE 9 STATISTICA ESERCITAZIONE 9 Dott. Giuseppe Pandolfo 19 Gennaio 2015 REGOLE DI CONTEGGIO Sequenze ordinate Sequenze non ordinate Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione Estrazioni con ripetizione

Dettagli

a) 36/100 b) 1/3 c)

a) 36/100 b) 1/3 c) Da un urna contenente 10 palline, di cui 6 bianche e 4 nere, si estraggono due palline. Determinare la probabilità del seguente evento E=«le due palline sono bianche» nel caso di estrazioni a) con rimbussolamento

Dettagli

Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice.

Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice. discrete uniforme Bernoulli Poisson Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 56 Outline discrete uniforme Bernoulli Poisson 1 2 discrete 3

Dettagli

Esercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti

Esercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti Esercizi svolti di statistica Gianpaolo Gabutti (gabuttig@hotmail.com) 1 Introduzione Questo breve documento contiene lo svolgimento di alcuni esercizi di statistica da me svolti durante la preparazione

Dettagli

Esercitazione 7 del corso di Statistica (parte 1)

Esercitazione 7 del corso di Statistica (parte 1) Esercitazione 7 del corso di Statistica (parte 1) Dott.ssa Paola Costantini 5 Marzo 011 Esercizio 1 Sullo spazio campionario: = 1,,,, 5,, 7,,, considerando l esperimento casuale estrazione di un numero,

Dettagli

IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ

IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ IL LOLO LL PROILITÀ 1 Una scatola contiene quattro dischetti rossi numerati da 1 a 4, sei dischetti verdi numerati da 1 a e cinque dischetti bianchi numerati da 1 a 5. Si estrae un dischetto. Scrivi gli

Dettagli

COMPITO n. 1. c(4s + 6t) se 0 s t 1 f(s, t) = 0 altrimenti

COMPITO n. 1. c(4s + 6t) se 0 s t 1 f(s, t) = 0 altrimenti COMPITO n. 1 a) Si lancia due volte un dado non truccato. Quant è la probabilità dell evento al primo lancio esce un numero strettamente minore di 3 oppure al secondo lancio esce un numero strettamente

Dettagli

b = 1 2σ 3. La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità della forma 0, x 0, 0 < x 1 a = 1 F (x) = 2 2x 1 x2

b = 1 2σ 3. La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità della forma 0, x 0, 0 < x 1 a = 1 F (x) = 2 2x 1 x2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA - 0 gennaio 2002 Informatica (N.O.) (Canali 4) esercizi -4 Vecchio Ordinamento esercizi -6. Da un lotto contenente 4 pezzi buoni e 2 difettosi si estraggono senza

Dettagli

ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114 30 Aprile 2013 Esercizio

Dettagli

Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità

Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità Esercizi sulla Probabilità Esercizio 1. In un corso di laurea uno studente deve scegliere un esame fra 8 di matematica e un esame fra 5 di fisica.

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 26 Statistica Esercizio Sia {X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2. Verificare che X = n n X i σ 2 = n (X i µ) 2 S 2 = n

Dettagli

un elemento scelto a caso dello spazio degli esiti di un fenomeno aleatorio;

un elemento scelto a caso dello spazio degli esiti di un fenomeno aleatorio; TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 3 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Una variabile casuale

Dettagli

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si

Dettagli

STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani

STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14? Esempio Gioco la schedina mettendo

Dettagli

Variabili casuali II

Variabili casuali II Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 1. Risposte Domande x se 0 x 2, f(x) = 0 altrove;

Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 1. Risposte Domande x se 0 x 2, f(x) = 0 altrove; Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 1 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Sia data una variabile

Dettagli

Esercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 1/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercizio 1 Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. (a) Calcolare la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia 9? (b) Calcolare

Dettagli

Test di Matematica di base

Test di Matematica di base Test di Matematica di base Calcolo combinatorio e delle probabilitá Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo é una lettera dell alfabeto italiano e il secondo

Dettagli

Alcuni esercizi di probabilità (aggiornato al )

Alcuni esercizi di probabilità (aggiornato al ) COMPL. DI ANALISI MATEMATICA ED ELEMENTI DI PROBABILITA (L-Z) C.d.L. Ing. Civile - Università di Bologna A.A.2009-200 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi di probabilità (aggiornato al 2-7-200) (Grazie agli

Dettagli

ESERCIZI SULLA PROBABILITA

ESERCIZI SULLA PROBABILITA PROBABILITA CLASSICA ESERCIZI SULLA PROBABILITA 1) Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte ; calcolare la probabilità che la carta sia: a. una figura; b. una carta di danari; c. un asso. 2) Un urna

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE. 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente;

STATISTICA ESERCITAZIONE. 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente; 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 4 Maggio 2015 Esercizio 1 (Uniforme discreta) Si consideri l esperimento lancio di un dado non truccato. Sia X la variabile casuale

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO PROBABILITÀ DISTRIBUZIONI DOPPIE E NOTEVOLI

ESERCIZI DI CALCOLO PROBABILITÀ DISTRIBUZIONI DOPPIE E NOTEVOLI Variabili bidimensionali ESERCIZI DI CALCOLO PROBABILITÀ DISTRIBUZIONI DOPPIE E NOTEVOLI 1) Siano X 1 e X 2 due variabili casuali indipendenti che possono assumere valori 0, 1 e 3 rispettivamente con probabilità

Dettagli

Probabilità esempi. Aiutiamoci con una rappresentazione grafica:

Probabilità esempi. Aiutiamoci con una rappresentazione grafica: Probabilità esempi Paolo e Francesca giocano a dadi. Paolo scommette che, lanciando due dadi, si otterrà come somma 8 oppure 9. Francesca scommette che si otterrà come somma un numero minore o uguale a

Dettagli

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno 05-6 P.Baldi Lista di esercizi, 8 gennaio 06. Esercizio Si sa che in una schedina

Dettagli

Esercitazione di Statistica Distribuzioni (Uniforme discreta e continua/ Binomiale/ Poisson) 18/11/2015

Esercitazione di Statistica Distribuzioni (Uniforme discreta e continua/ Binomiale/ Poisson) 18/11/2015 Esercitazione di Statistica Distribuzioni (Uniforme discreta e continua/ Binomiale/ Poisson) 18/11/2015 Esercizio 1 Il responsabile delle risorse umane di un azienda ha constatato che vi è un turn-over

Dettagli

Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano

Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Una moneta viene lanciata 6 volte. Calcolare a) La probabilità che escano esattamente

Dettagli

Nelle ipotesi del precedente esercizio, in quanti modi potrebbe essere formata la classifica finale di tutti i 20 concorrenti? [2,4.

Nelle ipotesi del precedente esercizio, in quanti modi potrebbe essere formata la classifica finale di tutti i 20 concorrenti? [2,4. CALCOLO COMBINATORIO Ad una gara partecipano 20 concorrenti; quanti terne di primi tre classificati si possono formare? (nell'ipotesi che non vi siano degli ex aequo) [6.840] Nelle ipotesi del precedente

Dettagli

Esercizi di Calcolo combinatorio: disposizioni

Esercizi di Calcolo combinatorio: disposizioni Calcolo combinatorio: disposizioni La Big Triple all ippodromo del luogo consiste nell indicare il corretto ordine di arrivo dei cavalli classificati tra i primi tre nella nona corsa. Se ci sono 12 cavalli

Dettagli

Esercitazione # 3. Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti

Esercitazione # 3. Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti Statistica Matematica A Esercitazione # 3 Binomiale: Esercizio # 1 Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti 1. mai 2. almeno una volta 3. quattro volte Esercizio #

Dettagli

Statistica. Esercitazione 10. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice. V.C.

Statistica. Esercitazione 10. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice. V.C. uniforme Bernoulli binomiale di Esercitazione 10 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 55 Outline uniforme Bernoulli binomiale di 1 uniforme 2 Bernoulli 3 4

Dettagli

prima urna seconda urna

prima urna seconda urna Un po di fortuna Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella prima urna ci sono una

Dettagli

Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità

Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità La casualità è alla base della scelta degli individui che compongono un campione ai fini di un indagine statistica. La casualità è alla base

Dettagli

Calcolo delle Probabilità Esercizi

Calcolo delle Probabilità Esercizi Calcolo delle Probabilità Esercizi A.A 00-006 Costituenti. Siano dati eventi A, B, C tali che A B = Φ, A B C, determinare i costituenti. C C C C C C C [ AB C, A BC, A B C, A B C ]. Siano dati eventi A,

Dettagli

Corso di probabilità e statistica

Corso di probabilità e statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di probabilità e statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi Parte I: probabilità classica e probabilità combinatoria,

Dettagli

TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE

TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE PROBLEMI DI TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE 3 A cura di : Prof. Astarita Vittorio ing. Giofrè Vincenzo Pasquale Argomenti: Distribuzione di Poisson 26 3.1 PROBLEMA Distribuzione di Poisson ed esponenziale

Dettagli

Alcuni esercizi di probabilità e statistica

Alcuni esercizi di probabilità e statistica Alcuni esercizi di probabilità e statistica 1. Vi sono 2 urne, ciascuna contenente 10 palle. Nella prima urna ci sono 8 palle bianche e 2 nere. Nella seconda ve ne sono 7 bianche e 3 rosse. Qual è la probabilità

Dettagli

(5 sin x + 4 cos x)dx [9]

(5 sin x + 4 cos x)dx [9] FACOLTÀ DI SCIENZE MM. FF. NN. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE NATURALI II Modulo di Matematica con elementi di statistica. Esercitazioni A.A. 009.00. Tutor: Mauro Soro, p.soro@tin.it Integrali definiti Risolvere

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Probabilità Ines Campa Probabilità e Statistica - Esercitazioni -

Dettagli

Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte 2)

Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte 2) Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte ) Dott.ssa Paola Costantini Febbraio Esercizio n. Il tempo di percorrenza del treno che collega la stazione di Roma Termini con l aeroporto di Fiumicino è

Dettagli

L assegnazione è coerente? SÌ NO. A e B sono stocasticamente indipendenti? SÌ NO

L assegnazione è coerente? SÌ NO. A e B sono stocasticamente indipendenti? SÌ NO CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - gennaio 00 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Nuovo Ordinamento esercizi -4. Vecchio Ordinamento esercizi -6..

Dettagli

ELABORAZIONI STATISTICHE Conoscenze (tutti)

ELABORAZIONI STATISTICHE Conoscenze (tutti) Scegli il completamento corretto. ELABORAZIONI STATISTICHE Conoscenze (tutti) 1. Una variabile statistica è di tipo qualitativo se: a. fa riferimento ad una qualità b. viene espressa mediante un dato numerico

Dettagli

Esercizi su variabili discrete: binomiali e ipergeometriche

Esercizi su variabili discrete: binomiali e ipergeometriche CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su variabili discrete: binomiali e ipergeometriche Es1 Due squadre di rugby si sfidano giocando fra loro varie partite La squadra che vince 4 partite

Dettagli

CP110 Probabilità: Esonero 1. Testo e soluzione

CP110 Probabilità: Esonero 1. Testo e soluzione Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2009-2010, II semestre 1 aprile, 2010 CP110 Probabilità: Esonero 1 Testo e soluzione 1. (7 pt Una scatola contiene 15 palle numerate da 1 a 15. Le palle

Dettagli

Calcolo delle Probabilità 2

Calcolo delle Probabilità 2 Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale

Dettagli

Lezione 3 Calcolo delle probabilità

Lezione 3 Calcolo delle probabilità Lezione 3 Calcolo delle probabilità Definizione di probabilità La probabilità è lo studio degli esperimenti casuali e non deterministici Se lanciamo un dado sappiamo che cadrà ma non è certo che esca il

Dettagli

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno 00- P.Baldi Lista di esercizi. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli, X, compaiono con

Dettagli

Distribuzioni di probabilità

Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione

Dettagli

ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina?

ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? [4/52] 2. Estratta una Q, P che ad una seconda estrazione si presenti ancora

Dettagli

Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha. P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b}

Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha. P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b} Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b} Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori 1, 2,..., n

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 18 febbraio 2016 (9.00/13.00)

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Stima Puntuale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio In ciascuno dei casi seguenti determinare quale tra i due stimatori S e T per il parametro θ è distorto

Dettagli

Distribuzione di Probabilità

Distribuzione di Probabilità Distribuzione di Probabilità Sia X variabile con valori discreti X 1, X 2,..., X N aventi probabilità p 1, p 2,..., p N ( i p i = 1) (X variabile discreta aleatoria, o stocastica, o casuale, random) Funzione

Dettagli

Esercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata

Esercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata Esercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata Stefano Patti 1 19 ottobre 2005 Definizione 1 Sia (Ω, F) uno spazio probabilizzabile.

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA INTRODUZIONE Già 3000 anni fa gli Egizi praticavano un antenato del gioco dei dadi, che si svolgeva lanciando una pietra. Il gioco dei dadi era diffuso anche nell antica Roma,

Dettagli

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.

Dettagli

Estrazioni senza restituzione da un urna di composizione incognita. P(E i)=

Estrazioni senza restituzione da un urna di composizione incognita. P(E i)= Estrazioni senza restituzione da un urna di composizione incognita. Consideriamo n estrazioni senza restituzione da un urna contenente N palline, di cui r sono bianche, con r incognito. Introdotta la partizione

Dettagli

Prova scritta di STATISTICA. CDL Biotecnologie. (Programma di Massimo Cristallo - A)

Prova scritta di STATISTICA. CDL Biotecnologie. (Programma di Massimo Cristallo - A) Prova scritta di STATISTICA CDL Biotecnologie (Programma di Massimo Cristallo - A) 1. Un associazione di consumatori, allo scopo di esaminare la qualità di tre diverse marche di batterie per automobili,

Dettagli

P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(C B)+P(A B C). (E.2)

P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(C B)+P(A B C). (E.2) QUALCHE ESERCIZIO di PROBABILITÀ E 1 Dimostrare che: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (E.1) P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(C B)+P(A B C). (E.2) E 2 Dati due eventi A e B tali che P(A) = 3/4 e P(B)

Dettagli

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno 2010-11 P.Baldi Lista di esercizi 3. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio 1 Una v.a. X segue una legge N(2, ). Calcolare a1) P(X 1) a2) P(2

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione Test Test di autovalutazione 0 0 0 0 0 0 0 70 80 90 00 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle alternative. n Confronta le tue risposte con le soluzioni. n

Dettagli

esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale;

esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale; Capitolo 15 Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti Esercizio 15.1: Suggerimento Si ricordi che: esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno

Dettagli

ESERCIZI DI PROBABILITA

ESERCIZI DI PROBABILITA ESERCIZI DI PROBABILITA Quest'opera è stata rilasciata sotto la licenza Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-condividi allo stesso modo 2.5 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il

Dettagli

È l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo.

È l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo. A Ripasso Terminologia DOMADE Spazio campionario Evento Evento certo Evento elementare Evento impossibile Evento unione Evento intersezione Eventi incompatibili Evento contrario RISPOSTE È l insieme di

Dettagli

La probabilità matematica

La probabilità matematica 1 La probabilità matematica In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno. DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi

Dettagli

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 006/07 Esercizio 1 Prova scritta del 16/1/006 In un ufficio postale lavorano due impiegati che svolgono lo stesso compito in maniera indipendente, sbrigando

Dettagli

ESERCIZI SCHEDA N. 1: EVENTI E VARIABILI ALEATORIE

ESERCIZI SCHEDA N. 1: EVENTI E VARIABILI ALEATORIE ESERCIZI SCHEDA N. 1: EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Dato lo spazio campionario Ω = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); ; (6,6)} riferito al lancio di due dadi non truccati,

Dettagli

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento

Dettagli

CONOSCENZE 1. il significato di evento casuale. 2. il significato di eventi impossibili, complementari;

CONOSCENZE 1. il significato di evento casuale. 2. il significato di eventi impossibili, complementari; ARITMETICA ELEMENTIDICALCOLO DELLE PROBABILITAÁ PREREQUISITI l l l conoscere e costruire tabelle a doppia entrata conoscere il significato di frequenza statistica calcolare rapporti e percentuali CONOSCENZE.

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Esercizi di probabilità

Esercizi di probabilità 26 gennaio 2013 Esercizi di probabilità Nota: le domande contrassegnate da ( ) non sono al programma 2012/13. 1 Combinatoria 1. Contare gli anagrammi di MATMAT nei quali non compaiono accanto due lettere

Dettagli

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17

Dettagli

Esempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Esempio 2

Esempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Esempio 2 Esempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Il compito verte sui seguenti contenuti irrinunciabili: probabilità totale e composta Competenze essenziali interessate:

Dettagli

UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA Corso di PS2-Probabilità 2 P.Baldi appello, 7 giugno 200 Corso di Laurea in Matematica Esercizio Siano X, Y v.a. indipendenti di legge Ŵ(2, λ). Calcolare densità e la media

Dettagli

PROBABILITÀ. P ( E ) = f n

PROBABILITÀ. P ( E ) = f n PROBABILITÀ GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ EVENTI CERTI, IMPOSSIBILI E ALEATORI Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramente non possono mai verificarsi. Per esempio, se una scatola

Dettagli

STATISTICA AZIENDALE Modulo Controllo di Qualità

STATISTICA AZIENDALE Modulo Controllo di Qualità STATISTICA AZIENDALE Modulo Controllo di Qualità A.A. 009/10 - Sottoperiodo PROA DEL 14 MAGGIO 010 Cognome:.. Nome: Matricola:.. AERTENZE: Negli esercizi in cui sono richiesti calcoli riportare tutte la

Dettagli

Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004

Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004 Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni luglio 4 Esercizio Un sacchetto A contiene caramelle ai gusti fragola, limone e lampone. Un sacchetto B contiene caramelle

Dettagli

Riprendiamo le probabilità. 1.Probabilità a priori oggettiva 2.Probabilità a posteriori frequentista

Riprendiamo le probabilità. 1.Probabilità a priori oggettiva 2.Probabilità a posteriori frequentista Riprendiamo le probabilità 1.Probabilità a priori oggettiva 2.Probabilità a posteriori frequentista 1 2.Probabilità a posteriori frequentista Tabelle di sopravvivenza.! Volendo calcolare la probabilità

Dettagli

Vedi: Probabilità e cenni di statistica

Vedi:  Probabilità e cenni di statistica Vedi: http://www.df.unipi.it/~andreozz/labcia.html Probabilità e cenni di statistica Funzione di distribuzione discreta Istogrammi e normalizzazione Distribuzioni continue Nel caso continuo la probabilità

Dettagli

Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-2013 5 giugno 2013

Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-2013 5 giugno 2013 Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-201 5 giugno 201 L uso di calcolatrici o testi non è consentito. Motivare chiaramente i procedimenti e i risultati proposti. Rispondere

Dettagli

Calcolo delle Probabilità e Statistica

Calcolo delle Probabilità e Statistica Calcolo delle Probabilità e Statistica Alcuni esercizi Laura Poggiolini Dipartimento di Matematica Applicata Giovanni Sansone Università di Firenze 2 Indice 1 Probabilità: esercizi vari 1 1.1 Combinatorica

Dettagli

COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV -VE

COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV -VE COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV -VE Scheda : Funzioni circolari, Equazioni e disequazioni goniometriche Risolvi la seguente equazione: sin + 4 sin cos + 5 = 0

Dettagli

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTÀ DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA S.I.G.I. STATISTICA II Esercitazione n. 3 Esercizio 1 Una v.c. X si dice v.c. esponenziale

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 16/06/2016 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Cinque lettere

Dettagli

Distribuzione di Poisson Una v. casuale di Poissonè una v. casuale discreta che può assumere qualsiasi valore intero non-negativo

Distribuzione di Poisson Una v. casuale di Poissonè una v. casuale discreta che può assumere qualsiasi valore intero non-negativo Distribuzione di Poisson Una v. casuale di Poissonè una v. casuale discreta che può assumere qualsiasi valore intero non-negativo E' un modello probabilistico adoperato per rappresentare situazioni di

Dettagli

Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4. uscirà il numero 9

Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4. uscirà il numero 9 Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4 o ancora: uscirà il numero 9 Possiamo dire che le previsione del tuo compagno sono la prima certa, la seconda

Dettagli

Teorema del limite centrale TCL

Teorema del limite centrale TCL Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni

Dettagli

PROBLEMI DI PROBABILITÀ

PROBLEMI DI PROBABILITÀ PROBLEMI DI PROBABILITÀ 1. Si dispongono a caso su uno scaffale sette libri, dei quali tre trattano di matematica. Qual è la probabilità che i tre libri di matematica si vengano a trovare l uno accanto

Dettagli

FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 27 gennaio 2006 COGNOME NOME

FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 27 gennaio 2006 COGNOME NOME FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 27 gennaio 2006 COGNOME NOME A. I dati seguenti si riferiscono ad un campione casuale proveniente da una popolazione esponenziale con parametro

Dettagli

Probabilità: valutazione della possibilità che accada (o sia accaduto) r = 1 (c è un asso di cuori nel mazzo)

Probabilità: valutazione della possibilità che accada (o sia accaduto) r = 1 (c è un asso di cuori nel mazzo) Probabilità: valutazione della possibilità che accada (o sia accaduto) un evento. Probabilità di un evento P = r/n dove r = frequenza dell evento N = Numero di possibili eventi Esempio: Evento = estrazione

Dettagli

ES.2.3. è pari ad 1. Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice distribuita

ES.2.3. è pari ad 1. Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice distribuita ES.2.3 1 Distribuzione normale La funzione N(x; µ, σ 2 = 1 e 1 2( x µ σ 2 2πσ 2 si chiama densità di probabilità normale (o semplicemente curva normale con parametri µ e σ 2. La funzione è simmetrica rispetto

Dettagli

Università di Cassino Corso di Statistica 1 Esercitazione del 03/12/2007 Dott. Alfonso Piscitelli. Esercizio 1

Università di Cassino Corso di Statistica 1 Esercitazione del 03/12/2007 Dott. Alfonso Piscitelli. Esercizio 1 Università di Cassino Corso di Statistica Esercitazione del 0/2/2007 Dott. Alfonso iscitelli Esercizio L urna A contiene palline rosse e nere, l urna B contiene 4 palline rosse e 6 nere. Calcolare: a)

Dettagli

DISTRIBUZIONE NORMALE (1)

DISTRIBUZIONE NORMALE (1) DISTRIBUZIONE NORMALE (1) Nella popolazione generale molte variabili presentano una distribuzione a forma di campana, bene caratterizzata da un punto di vista matematico, chiamata distribuzione normale

Dettagli

3 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 7 febbraio 2012

3 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 7 febbraio 2012 3 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 7 febbraio 2012 1) Non sfogliare questo fascicolo finché l insegnante non ti dice di farlo. 2) E ammesso l utilizzo di calcolatrici

Dettagli