Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza

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1 Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento Il campionamento e l inferenza Si definisce campionamento un procedimento attraverso il quale da un insieme di unità costituenti l oggetto dello studio, si estrae un numero ridotto di casi scelti con criteri tali da consentire la generalizzazione all intera popolazione dei risultati ottenuti. Estrazione casuale Pop C Inferenza Il campione deve essere rappresentativo della popolazione campionamento casuale Il calcolo delle probabilitàesamina i risultati che si ottengono sotto l influenza del caso Campione Calcolo delle probabilità Popolazione

2 Il campionamento probabilistico Le unità sono scelte in modo casuale (ma non a casaccio!). La casualità interviene nella selezione delle unità e si ottiene attribuendo ad ogni unità della popolazione una probabilità nota e diversa da zero di essere selezionata. Quando la probabilità di estrazione, oltre ad essere nota, è posta uguale per tutte le unità, si parla di campionamento casuale semplice. In particolare, la casualità interviene nella selezione delle unità e si ottiene: Campionamento casuale con reintroduzione Ogni elemento che viene estratto viene reintrodotto nella popolazione in modo tale che ad ogni estrazione successiva non venga alterata la composizione della popolazione ed ogni elemento estratto ha sempre la stessa probabilità di venire scelto. Probabilità di estrazione di ciascun elemento: (o bernoulliano) a. b. attribuendo ad ogni unità della popolazione una probabilità nota e diversa da zero di essere selezionata; utilizzando in modo appropriato le tecniche per la selezione. Universo campionario Un esempio Si consideri la popolazione costituita da N=4 quattro ipermercati A, B, C, D. Le vendite effettuate da ciascuno di essi nel periodo 01/01/04-31/12/04 sono riportate nella seguente tabella: Esempio X1 X2 Campioni di ampiezza 2 estratti con ripetizione Universo dei campioni (n=2) estratti con ripetizione: 4 2

3 Campionamento casuale senza reintroduzione Ogni elemento, una volta estratto, non viene reimmesso nella popolazione per cui, dopo ogni estrazione, la probabilità che gli elementi restanti entrino a far parte del campione viene modificata. Probabilità di estrazione di ciascun elemento (o esaustivo) Esempio Campioni di ampiezza 2 estratti senza ripetizione Universo dei campioni (n=2) estratti senza ripetizione: ( ) X1 X2 Universo campionario Il campionamento Un campione casuale di n elementi estratto da una v.c. X è rappresentato dalle n v.c X 1, X 2,, X n dove X i è la i-esima estrazione della v.c. X Popolazione: Altezza X degli studenti presenti in aula durante la lezione di Statistica X 1 : Altezza del primo studente da estrarre X 2 : Altezza del secondo studente da estrarre X i : Altezza dell i-esimo studente da estrarre X n : Altezza dell n-esimo studente da estrarre Il campionamento Ogni v.c. X 1, X 2,, X n ha la stessa funzione di densità di probabilità f(x i ) che sarà uguale alla f(x) della popolazione originaria Popolazione X N(µ,σ) v.c. v.c. v.c. X 1 N(µ,σ). X i N(µ,σ) X n N(µ,σ) Dopo aver effettuato l esperimento, la determinazione numerica è rappresentata da n numeri reali x 1, x 2,, x n che rappresentano il campione osservato Ogni x i è la realizzazione di una v.c X i detta v.c. della i-esima estrazione

4 Processo inferenziale Inferenza: utilizza statistiche del campione per effettuare la stima dei corrispondenti veri valori della popolazione In pratica, viene selezionato a caso dalla popolazione un campione unico di ampiezza predeterminata Bisognerebbe prendere in esame ogni campione che avrebbe potuto manifestarsi Un esempio Si consideri la popolazione costituita da N=4 quattro ipermercati A, B, C, D. Le vendite effettuate da ciascuno di essi nel periodo 01/01/04-31/12/04 sono riportate nella seguente tabella: Distribuzioni campionarie Un esempio Esempio Estrazione casuale di un campione di 2 supermercati 4 Estrazione casuale di un campione di 2 supermercati Campioni di ampiezza 2 estratti con ripetizione Universo dei campioni (n=2) estratti con ripetizione: 4 2

5 Esempio Campioni di ampiezza 2 estratti con ripetizione Esempio Campioni di ampiezza 2 estratti senza ripetizione Universo dei campioni (n=2) estratti senza ripetizione: ( ) V.C. Media Campionaria Popolazione X N(µ,σ) Campioni casuali di n elementi: Parametri e statistiche Popolazione Parametri Valori fissi, spesso non noti v.c. Campione Statistiche o Stimatori Variabili casuali, le cui determinazioni dipendono dalle particolari osservazioni scelte

6 Parametri e statistiche Distribuzioni campionarie Parametri: valori caratteristici della popolazione Statistiche o v.c. campionarie o stimatori o statistiche test: funzioni delle osservazioni campionarie Statistica calcolata o stima: numero ottenuto applicando la statistica al campione osservato Distribuzione campionaria: valori che la statistica assume al variare del campione nell universo campionario Le conclusioni inferenziali, basate sull unico campione osservato, devono essere giudicate sulla base della distribuzione di probabilità dei possibili campioni che potevano essere generati e dei quali quello osservato costituisce una realizzazione particolare. Riepilogo sulla v.c. media campionaria V.C. Media Campionaria V.C. media campionaria: medie aritmetiche calcolate su tutti i campioni appartenenti allo spazio campionario Le medie variano al variare del campione estratto e, poiché i campioni sono estratti casualmente, i valori che può assumere la media campionaria sono realizzazioni di una v.c La distribuzione della v.c media campionaria dipende dalla distribuzione della popolazione X Quando la dimensione del campione è sufficientemente grande, la distribuzione della media campionaria può essere approssimata alla distribuzione normale qualunque sia la distribuzione della popolazione (Teorema del Limite Centrale).

7 Teorema del limite centrale Se X 1, X 2,, X n sono n v.c. indipendenti con media µ e varianza σ 2, la v.c X=X 1 +X 2 + +X n, somma delle n v.c., può essere approssimata con una v.c normale con media nµ e varianza σ 2,se n è sufficientemente grande Applicazioni del teorema del limite centrale Approssimazione normale della distribuzione della media campionaria Quando la dimensione del campione è sufficientemente grande, la distribuzione campionaria della media aritmetica può essere approssimata dalla distribuzione normale qualunque sia la distribuzione della popolazione. La distribuzione normale e la distribuzione della media campionaria 1. Per la maggior parte delle popolazioni, indipendentemente dalla forma della loro distribuzione, la distribuzione della media campionaria è approssimativamente normale, purché si considerino campioni di almeno 30 osservazioni. 2. Se la distribuzione della popolazione è abbastanza simmetrica, la distribuzione della media campionaria è approssimativamente una normale, purché si considerino campioni di almeno 15 osservazioni. 3. Se la popolazione ha una distribuzione normale, la media campionaria è distribuita secondo la legge normale, indipendentemente dall ampiezza del campione. Riepilogo sulla v.c. media campionaria V.C. t e Z n >30? NO X N? NO? SI SI σ noto? NO SI 0

8 V.C. t Esercizio sulla v.c. Media Campionaria Nell'azienda Package i sacchetti di carta utilizzati per contenere generi alimentari sono prodotti in modo che il carico di resistenza del sacchetto si distribuisca normalmente con una media aritmetica di 352 grammi per centimetro quadrato e s.q.m. di 70 grammi per centimetro quadrato. a) Calcolare la probabilità che i sacchetti prodotti abbiano carico di resistenza tra 352 e 386 grammi per centimetro quadrato. - b) Selezionando un campione casuale di 16 sacchetti dalla produzione dell'azienda, calcolare la probabilità che il carico di resistenza medio calcolato sul campione sia compreso tra 352 e 386 grammi per centimetro quadrato. Esercizio sulla v.c. Media Campionaria X: carico di resistenza del sacchetto X~ N(352; 70) P(352<X<386)?? a) b)

9 V.c. Proporzione Campionaria N=2 Esperimento: estrazione casuale di due palline X: numero di palline rosse in 2 estrazioni : numero di successi in n prove V.c. Proporzione Campionaria N=2 Esperimento: estrazione casualecon ripetizione di due palline X: numero di palline rosse in 2 estrazioni p Prob. : proporzione di successi in n prove π proporzione di successi nella popolazione p proporzione di successi in un campione di ampiezza n V.c. Proporzione Campionaria : numero di successi in n prove : proporzione di successi in n prove Teorema del limite centrale Se X 1, X 2,, X n sono n v.c. indipendenti con media µ e varianza σ 2, la v.c X=X 1 +X 2 + +X n, somma delle n v.c., può essere approssimata con una v.c normale con media nµ e varianza σ 2 Applicazioni del teorema del limite centrale π proporzione di successi nella popolazione p proporzione di successi in un campione di ampiezza n P: v.c proporzione campionaria Approssimazione normale della distribuzione binomiale (Teorema di De Moivre-Laplace) Quando la dimensione del campione è sufficientemente grande, la distribuzione di un v.c binomiale può essere approssimata dalla distribuzione normale con parametri np e npq

10 Teorema del limite centrale Se X 1, X 2,, X n sono n v.c. indipendenti con media µ e varianza σ 2, la v.c X=X 1 +X 2 + +X n, somma delle n v.c., può essere approssimata con una v.c normale con media nµ e varianza σ 2 V.c. Proporzione Campionaria Campionamento con ripetizione Applicazioni del teorema del limite centrale Approssimazione normale della distribuzione binomiale relativa (Teorema di De Moivre-Laplace) Campionamento senza ripetizione Quando la dimensione del campione è sufficientemente grande, la distribuzione di un v.c binomiale relativa può essere approssimata dalla distribuzione normale Dove e come studiare S. Borra, A. Di Ciaccio (2008) Statistica Metodologie per le scienze economiche e sociali McGraw-Hill. Cap. 10 (escluso paragrafi , ). D. Piccolo (2004) Statistica per le decisioni Il Mulino. Cap. 11 (escluso paragrafi 11.4, 11.5), Cap. 12 (escluso paragrafi 12.7, 12.8). File esercizi variabili casuali e distribuzioni campionarie.pdf Riepilogo Le distribuzioni campionarie Popolazione e campione Il campionamento nell inferenza Il campionamento casuale semplice Il campionamento casuale con reintroduzione Il campionamento casuale senza reintroduzione Le distribuzioni campionarie La variabile casuale media campionaria La variabile casuale proporzione campionaria La v.c T di Student Il teorema del Limite Centrale Applicazioni del Teorema del Limite Centrale Approssimazione normale della distribuzione binomiale Approssimazione normale della distribuzione binomiale relativa

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