dove per i simboli si sono adottate le seguenti notazioni: 2 Corpo girevole attorno ad un asse fisso

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1 Il volano 1 Dinamica del copo igido Il poblema dello studio del moto di un copo igido libeo è il seguente: data una ceta sollecitazione F e del copo, cioè cete foze estene F i applicate nei punti del copo individuati dai vettoi i, deteminae il moto del cento di massa (te paameti) e la otazione del copo attono ad un asse pe il cento di massa (te paameti). Valgono le due equazioni cadinali: F e = Fi = d P (1) dt d J dt totale = N esteno (2) dove pe i simboli si sono adottate le seguenti notazioni: N i i F i momento della foza; P M V c quantità di moto del copo; V c velocità del cento di massa; J totale = J c.m. + R c.m. P ; J c.m. momento della quantità di moto ispetto al cento di massa; R c.m. P momento della quantità di moto del cento di massa ispetto all oigine abitaia; i detemina il punto di applicazione della geneica foza F i ispetto all oigine abitaia. 2 Copo gievole attono ad un asse fisso Pe un copo che può solo uotae attono ad un asse fisso passante pe il cento di massa è conveniente scegliee come oigine O del sistema di ifeimento il cento di massa pe cui la (2) si iduce a: d dt J c.m. = N esteno (3) ed i gadi di libetà si iducono ad uno: l angolo α che fissa ad ogni istante la posizione del vettoe i = OP i e quindi la posizione di tutti i punti del copo. 1

2 3 T R T µ a m g Figua 1: Volano Pe deteminae l equazione oaia α(t) si ichiede l applicazione delle due equazioni cadinali ed è conveniente poiettae i momenti ifeiti all asse fisso lungo l asse stesso. Con ifeimento al disegno di Fig. (1) tenendo pesente che la velocità v con cui cade la massa m è legata alla velocità angolae ω del disco dalla elazione v = ω, possiamo scivee il seguente sistema: M a = I dω dt M a = T M p (4) ma = mg T a = dω dt dove si è indicato con I il momento d inezia del disco, con M p una quantità non negativa che compende i momenti delle foze passive, con M a il momento delle foze attive e con T la tensione del filo. La soluzione del sistema di equazioni pemette di deteminae l acceleazione a con cui cade la massa m: a = mg2 M p m 2 (5) + I 2

3 che è legata all angolo di cui uota il disco dalla elazione: α(t) = α 0 + ω 0 t + at2 2 in cui i pimi due temini a desta appesentano l angolo e la velocità angolae al tempo t = 0. 3 Mateiale a disposizione Il volano a disposizione è costuito in modo da consentie di taguadae su di un sostegno veticale la caduta di un cilindo di ottone vincolato mediante un filo avvolto ad una puleggia solidale con il disco. Il cilindo è scomponibile in quatto pezzi: il pimo, che funge anche da sostegno pe gli alti, ha una massa di 198 ± 1 gammi mente gli alti e te 185 ± 1 gammi ciascuno. Petanto nell espeienza a M p = costante si potanno deteminae quatto coppie (m, a). Il disco del volano è pedisposto inolte pe l applicazione di 20 bulloni disposti a simmetia adiale ciascuno di massa µ = 53 ± 0.5 gammi, che consentono di vaiae in maniea nota il momento di inezia del sistema. È inolte possibile l applicazione al disco di due palette pe modificae il momento delle foze passive. Pe le misue di tempo e di spazio si ha a disposizione un conometo al centesimo di secondo ed un meto di sensibilità di un millimeto. 4 Misua dell acceleazione a L acceleazione data dalla espessione (5) può essee misuata taguadando la caduta della massa m legata al filo che fa uotae il disco del volano. Fissando un oientamento veso il basso ed una quota di patenza h 0 a cui al tempo t = 0 si abbia una velocità v 0, dall integazione della (5) otteniamo: h(t) = h 0 + v 0 t at2 Se poi pe t = 0 v 0 = 0 la elazione da consideae si iduce a: h(t) = h at2 (6) che può essee lineaizzata gaficando h in funzione di t 2 ottenendo una etta di coefficiente angolae a/2 e intecetto h 0. Il contollo gafico della dipendenza funzionale di h(t) da t può essee eseguito solo una volta; pe le misue successive delle acceleazioni, pe ispamiae tempo, si possono calcolae pe ogni coppia (h i, t i ) i appoti: a i = 2 h i h 0 t 2 i e pendee pe a il valoe medio delle a i. 3

4 5 Caso in cui M p = costante L acceleazione a con cui cade la massa m data dalla (5) isulta costante se il momento M p delle foze passive esta costante duante il moto in quanto tutte le alte gandezze ovviamente lo sono. In seguito applicheemo un metodo specifico pe veificae tale ipotesi; adesso illustiamo una pocedua che pemette di misuae contempoaneamente il momento M p, che assumiamo costante, e il momento di inezia I del disco eseguendo misue di a pe divesi valoi della massa m. Risciviamo la (5) nel modo seguente: m(g a) = I 2 a + M p (7) ed osseviamo peliminamente che al pimo membo compae la diffeenza (g a) dove sicuamente a < g; ciò che non è veo in geneale è che a << g in quanto dipende dalla costuzione del volano. Anticipiamo che il volano a disposizione è stato pogettato in modo da avee appoti a/g 0.01 pechè ciò ende più agevoli le misuazioni; alloa si potebbe tascuae il temine a che compae al pimo membo della (7) ed ottenee immediatamente la elazione lineae ta m ed a: m = I g 2 a + M p (8) g Gaficando m in funzione di a si ottiene una etta del tipo Y = px + q da cui icavae I = pg 2 e M p = gq. In geneale la (7) può essee utilizzata allo stesso scopo gaficando m(g a) in funzione di a; in questo caso, sempe ifeendoci alla etta del tipo Y = px + q si avà che I = p 2 e M p = q. 6 Dipendenza di a dal momento di inezia del disco Ci poponiamo adesso di studiae la dipendenza dell acceleazione data dalla elazione (5)in funzione del momento di inezia I che compae al denominatoe; lo studio consentià inolte un ulteioe misua del momento delle foze passive M p. Il momento di inezia ispetto all asse baicentale può essee vaiato aggiungendo in modo simmetico delle masse µ (dei bulloni) alla peifeia del disco che costituisce il volano. Indicando con I 0 il momento di inezia iniziale avemo: I = I 0 + 2nµR 2 dove n è il numeo di coppie di bulloni aggiunti e µ è la massa di ciascun bullone. In questo caso l acceleazione è data da a = mg 2 M p m 2 + I 0 + 2nµR 2 4

5 che dopo alcuni aangiamenti pemette di scivee una dipendenza funzionale n = f(1/a) di tipo lineae: avendo indicato con n = 1 a K K 0 K = mg2 M p 2µR 2 (9) K 0 = m2 + I 0 2µR 2 (10) Ripotando in un gafico n in funzione di 1/a si ottiene una etta il cui coefficiente angolae ed il cui intecetto sono K e K 0 ; dalla conoscenza di queste due costanti si possono calcolae M p e I 0 in funzione di tutte le alte gandezze note 7 Lavoo delle foze dissipative M p = mg 2µ R2 K (11) I 0 = 2µR 2 K 0 m 2 (12) Se il momento delle foze dissipative M p è indipendente dalla velocità, (come si è supposto fino ad oa), la massa m, patendo dalla quota h 0, dopo ave svolto completamente il filo con moto unifomemente acceleato, isale fino ad una ceta altezza h 1 con moto unifomemente itadato. La pedita di enegia pai a U = mg(h 0 h 1 ) è uguale al lavoo delle foze dissipative dato da L = α 0 M p dα = M p α Poichè l angolo complessivo di cui ha uotato il disco in un ciclo è avemo ed infine M p (h 0 + h 1 ) α = h 0 + h 1 = mg(h 0 h 1 ) M p mg = (h 0 h 1 ) (h 0 + h 1 ) (13) Da ciò si può icavae un metodo pe contollae la validità dell ipotesi fatta sulla costanza di M p. Se M p è costante, deve essee costante anche il appoto 5

6 che compae alla desta dell espessione (13) e questa quantità deve essee costante pe tutte le discese e le successive isalite, cioè deve essee (h i h i+1 ) = costante (14) (h i + h i+1 ) Nell esecuzione dell espeienza bisogneebbe evitae che l enegia cinetica posseduta dal sistema quando la massa è a fine cosa sia dissipata da oscillazioni smozate del filo dovute alla sua estensibilità. Ciò può essee eso tascuabile utilizzando la massa più piccola lasciata cadee da un altezza agionevole. 8 Caso in cui M p non è costante Passiamo adesso a consideae il caso in cui il momento delle foze dissipative M p non è costante, ma dipende lineamente dalla velocità M p = M 0 + Kv Il momento delle foze dissipative si ende dipendente dalla velocità applicando al volano due palette. Il temine M 0 è, con buona appossimazione l attito pesente già nel caso pecedente ed il temine Kv è dato dalla esistenza dell aia alle palette. Ripetendo le consideazioni pecedenti l acceleazione a data dall equazione (5) possiamo iscivela come a dv dt = mg2 M 0 Kv m 2 + I (15) che con semplici aangiamenti diventa dv mg M 0 Kv = Integando pe sepaazioni di vaiabili m 2 + I dt 1 K v v 0 d(mg M 0 Kv) mg M 0 Kv = t m 2 dt + I 0 otteniamo ( ) mg M0 Kv ln = Kt mg M 0 Kv 0 m 2 + I e quindi icaviamo la velocità di caduta della massa m v(t) = mg M 0 K mg M 0 Kv 0 K ( exp Kt ) m 2 + I (16) 6

7 Questa espessione ha un temine costante ed un temine decescente e tendente a zeo pe t ossia lim v(t) = mg M 0 t K che viene indicata come velocità limite, mente lim t 0 v(t) = v 0 v l cioè la velocità iniziale. Si ossevi che v l dipende dalla diffeenza ta il momento della foza attiva e M 0 ma non dipende dal momento di inezia I del disco e quindi neanche dal numeo di coppie di bulloni aggiunti; dipende da I, invece, il tempo necessaio pe aggiungee la velocità limite. Indicando con τ una costante di tempo pai a τ = m2 + I K possiamo iscivee sinteticamente la (16) (17) v(t) = v l (v l v 0 )e t/τ che nel caso paticolae in cui v 0 = 0 si iduce a il cui gafico in unità τ è mostato in Fig. (2) v(t) = v l (1 e t/τ ) (18) 8.1 Calcolo dello spazio in funzione del tempo L equazione (18) si intega immediatamente da cui ed infine h = t dh = v l (1 e t/τ )dt 0 t v l dt v l e t/τ dt + h c h(t) = v l t + v l τe t/τ + h c Pe deteminae la costante di integazione h c notiamo che pe t = 0 abbiamo che h(0) = h 0 e petanto La soluzione diventa alloa 0 h c = h 0 v l τ h(t) = h 0 + v l [t + τ(e t/τ 1)] (19) 7

8 v l v(t) τ 2τ 3τ t Figua 2: Velocità asintotica 8.2 Veifica speimentale del egime asintotico L analisi dell equazione oaia (19) mosta che pe t >> τ h(t) h 0 v l (t τ) ossia che la tangente asintotica alla cuva h(t) h 0 ha pendenza pai a v l ; inolte la tangente inteseca l asse delle ascisse pe t = τ (Fig. 3). Petanto un gafico di h(t) h 0 in funzione del tempo pemette di deteminae la tangente asintotica e quindi la velocità limite v l e la costante di tempo τ. Utilizzando poi la elazione (17) è possibile deteminae il valoe della costante che compae nel momento delle foze passive: K = m2 + I τ (20) 8

9 h(t) h 0 τ 2τ 3τ t Figua 3: Regime asintotico 9