3. Segni della funzione (positività e negatività)

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1 . Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della funzione) al variare della variabile indipendente x. Tale studio diventa importante poiché consente di stabilire le parti di piano che interessano la funzione e quelle in cui il grafico non c è. Per comodità, convenzionalmente, si studia la positività della funzione risolvendo la disequazione y > 0 ovvero f(x) > 0 ma è possibile utilizzare anche procedimenti grafici o regole pratiche. Ovviamente, nel campo di esistenza, si avrà un intervallo di negatività dove la funzione non è positiva. L'intervallo di positività (negatività) di una funzione è l'insieme dei valori di x per i quali la variabile y è positiva (negativa). Per riportare nel piano cartesiano il risultato di questo studio si anneriscono le parti in cui il grafico della funzione non può passare: negli intervalli in cui la funzione è positiva il grafico è situato sopra l'asse x, quindi si annerisce la zona corrispondente di piano sotto l'asse x; negli intervalli in cui la funzione è negativa il grafico è al di sotto dell'asse x, quindi si annerisce la zona corrispondente di piano sopra l'asse x. Nota: Per una funzione continua è importante determinare sempre i valori di x per cui si annulla, perché questi sono i punti in cui la funzione potrebbe cambiare di segno. 8

2 Sintesi dei segni di alcune funzioni di base: Polinomio di 1 grado se a > 0 se a < 0 Polinomio di grado se a > 0 e > 0 ax + b x x 1 ax + bx + c x x 1 se a < 0 e > 0 se a > 0 e = 0 se a < 0 e = 0 se a > 0 e < 0 se a < 0 e < x x x 1 0 x Radicale n f ( x) Con indice n pari: sempre positivo dove non si annulla. Con indice n dispari: stessi segni del radicando f (x). Logaritmo log n f ( x) (si annulla quando f ( x) = 1). Con base n maggiore di 1 è positivo quando f ( x) > 1, negativo altrove. Con base n minore di 1 è positivo quando f ( x) < 1, negativo altrove. f ( x) Esponenziale n Sempre positivo. Potenza di funzione [ f ( x) ] n Con esponente n è pari: sempre positiva dove non si annulla. Con esponente n dispari: stessi segni di f (x). Quando possibile: - scrivere la funzione come prodotto di funzioni di base, - studiare il segno di ogni fattore, - fare il prodotto dei segni in verticale in ogni intervallo. Fare sempre attenzione al campo di esistenza. 9

3 Esempi: Funzione polinomiale di 1 grado y = ax + b y = x 6 (coefficiente di x positivo) D = R Determino dove la funzione si annulla (cioè troviamo gli zeri della funzione) risolvendo l equazione x 6 = 0 che, essendo di primo grado, ha sempre una e una sola soluzione, in questo caso x =. Posso già mettere il punto 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore x =. 1 modo: algebrico Trovo dove la funzione è positiva risolvendo la disequazione x 6 > 0 che ha soluzione x >. La funzione è negativa per i rimanenti valori di x cioè per x < modo: grafico La funzione di 1 grado rappresenta sempre una retta, in questo caso di coefficiente angolare positivo () che interseca l asse x nel punto x = A destra dell intersezione il grafico sta al di sopra dell asse x, quindi la funzione è positiva, a sinistra dell intersezione il grafico sta al di sotto dell asse x, quindi la funzione è negativa. metodo: pratico Regola generale per i polinomi: si considera solo il termine in x di grado massimo; nell intervallo più a destra il segno è uguale a quello del coefficiente di x; nell intervallo più a sinistra il segno è uguale se l esponente di x è pari, diverso se l esponente di x è dispari. In questo caso il termine di grado massimo è x Il coefficiente è positivo (), quindi a destra metto i segni + L esponente di x è dispari (1) quindi a sinistra metto i segni contrari, cioè In tutti i casi giungo alla stessa conclusione che posso rappresentare nel piano cartesiano: 10

4 y = x + 6 (coefficiente di x negativo) D = R Risolvo l equazione x 6 = 0 che ha come soluzione x =. Metto il punto 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore x =. 1 modo: algebrico La funzione è positiva quando x + 6 > 0 cioè per x < ; ed è negativa per i rimanenti valori di x cioè per x > modo: grafico La funzione rappresenta una retta di coefficiente angolare negativo ( ) che interseca l asse x nel punto x = A destra dell intersezione il grafico sta al di sotto dell asse x, quindi la funzione è negativa, a sinistra dell intersezione il grafico sta al di sopra dell asse x, quindi la funzione è positiva. metodo: pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è negativo ( ), quindi a destra metto i segni L esponente di x è dispari (1) quindi a sinistra metto i segni contrari, cioè Riporto nel piano cartesiano: 11

5 Funzione polinomiale di grado y = ax + bx + c y = x + x 4 (coefficiente di x positivo e > 0) D = R Cerco gli zeri del polinomio risolvendo l equazione x + x 4 = 0 che in questo caso ha due soluzioni x 1 = 1 e x = 4. Metto gli 0 nel grafico dei segni in corrispondenza dei valori trovati: in questo caso si formano tre intervalli modo: algebrico Risolvo la disequazione x + x 4 > 0 per trovare dove la funzione è positiva: la soluzione è x > 1 o x < 4. La funzione è negativa per i rimanenti valori di x cioè per 4 < x < modo: grafico La funzione di grado rappresenta sempre una parabola con asse di simmetria parallelo all asse y, nel nostro caso con concavità verso l alto (a > 0) che interseca l asse x nei due punti x 1 = 1 e x = 4. 1 x x 1 A destra di x 1 e a sinistra di x il grafico sta al di sopra dell asse x, quindi la funzione è positiva, tra le due intersezioni il grafico sta al di sotto dell asse x, quindi la funzione è negativa modo: pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è positivo (1), quindi a destra metto i segni + L esponente di x è pari () quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè + Nell intervallo intermedio metto i segni contrari, quindi (ottengo il grafico dei segni come sopra) Riporto i segni nel piano cartesiano: 1

6 y = x + x + (coefficiente di x negativo e > 0) D = R La funzione si annulla quando x + x + = 0 cioè per x 1 = e per x = 1; Metto gli 0 nel grafico dei segni in corrispondenza dei valori trovati: si formano tre intervalli. Metodo algebrico La funzione è positiva quando x + x + > 0 cioè per 1 > x > ; è negativa per i rimanenti valori di x cioè per x < 1 o x >. Grafico dei segni: Metodo grafico La parabola rappresentata dalla funzione di ha concavità verso il basso (a < 0) e interseca l asse x nei due punti x 1 = e x = 1. x x 1 A destra di x 1 e a sinistra di x il grafico sta al di sotto dell asse x, quindi la funzione è negativa, tra le due intersezioni il grafico sta al di sopra dell asse x, quindi la funzione è positiva Metodo pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è negativo ( 1), quindi a destra metto i segni L esponente di x è pari () quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè Nell intervallo intermedio metto i segni contrari, quindi + (ottengo il grafico dei segni come sopra) Riporto i segni nel piano cartesiano: 1

7 y = x + 4x + 4 (coefficiente di x positivo e = 0) D = R La funzione si annulla quando x + 4x + 4 = 0 cioè solo per x =. Metto lo 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore trovato x = ; in questo caso si formano due intervalli. 0 Metodo algebrico La funzione è positiva quando x + 4x + 4 > 0 cioè per x ; è negativa per i rimanenti valori di x cioè mai Metodo grafico La funzione una parabola con concavità verso l alto (a > 0) che interseca l asse x solo nel punto x =. Sia a destra che a sinistra di il grafico sta al di sopra dell asse x, quindi la funzione è positiva, il grafico non sta mai al di sotto dell asse x Metodo pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è positivo (1), quindi a destra metto i segni + L esponente di x è pari () quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè + Non c è intervallo intermedio Riporto nel piano cartesiano: 14

8 y = x + x 1 (coefficiente di x negativo e = 0) D = R La funzione si annulla quando x + x 1 = 0 cioè solo per x = 1. Metto lo 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore trovato x = ; si formano due intervalli. 0 Modo algebrico La funzione è positiva quando x + x 1 > 0 cioè mai; è negativa per tutti gli altri valori, quindi per x Metodo grafico La funzione una parabola con concavità verso il basso (a < 0) che interseca l asse x solo nel punto x = 1. 1 Sia a destra che a sinistra di 1 il grafico sta al di sotto dell asse x, quindi la funzione è negativa, il grafico non sta mai al di sopra dell asse x. 0 Metodo pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è negativo ( 1), quindi a destra metto i segni L esponente di x è pari () quindi a sinistra metto i segni uguali, cioè Non c è intervallo intermedio. 0 1 Riporto nel piano cartesiano: 15

9 y = x x + 4 (coefficiente di x positivo e < 0) D = R La funzione si annulla quando x x + 4 = 0 cioè mai ( < 0). Non ci sono zeri: l intervallo è unico. Metodo algebrico La funzione è positiva quando x x + 4 > 0 cioè sempre; è negativa per i rimanenti valori di x cioè mai Metodo grafico La funzione una parabola con concavità verso l alto (a > 0) che non interseca l asse x. Il grafico sta sempre al di sopra dell asse x, quindi la funzione è sempre positiva Metodo pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è positivo (1), quindi (a destra) metto i segni + Non ci sono altri intervalli Riporto nel piano cartesiano: 16

10 y = x + x (coefficiente di x negativo e < 0) D = R La funzione si annulla quando x + x = 0 cioè mai ( < 0). Non ci sono zeri: l intervallo è unico. Metodo algebrico La funzione è positiva quando x + x > 0 cioè mai; è negativa per i rimanenti valori di x cioè sempre. Metodo grafico La funzione una parabola con concavità verso il basso (a < 0) che non interseca l asse x. Il grafico sta sempre al di sotto dell asse x, quindi la funzione è sempre negativa. Metodo pratico Il termine di grado massimo è x. Il coefficiente è negativo ( 1), quindi (a destra) metto i segni Non ci sono altri intervalli. Riporto nel piano cartesiano: 17

11 Funzione polinomiale di grado superiore a Si riscrive la funzione come prodotto di polinomi (o potenze) ciascuno di grado non superiore a, si studia il segno di ogni fattore poi si effettua il prodotto dei segni in ogni intervallo trovato. y = x x x + Scomponendo in fattori la funzione si può scrivere come y = ( x ) ( x 1) Il fattore x (polinomio di 1 grado con a > 0) si annulla quando x = è positivo quando x > è negativo quando x < Il fattore x 1 ( grado con a > 0 e > 0) si annulla per x = ± 1 è positivo per x > 1 o x < 1 è negativo per 1 < x < 1 Il segno della funzione è il prodotto (fatto in verticale) dei segni dei suoi fattori x x 1 y Piano cartesiano: 18

12 Funzione irrazionale Se il radicale ha indice pari: - esiste solo quando il radicando non è negativo; - si annulla quando si annulla il radicando; - è positiva per tutti gli altri valori del suo dominio; - non è mai negativa Se il radicale ha indice dispari: - è sempre definito; - ha gli stessi segni del radicando. y = x (radicale con indice pari) D = [ ; + ) si annulla quando x = 0 cioè per x = ; è positiva per x ; è negativa mai. Grafico dei segni: Piano cartesiano: y = x (radicale con indice dispari) D = ( ; + ) Ha lo stesso segno di x si annulla quando x = 0 cioè per x = ; è positiva quando x > 0 cioè per x > ; è negativa quando x < 0 cioè per x <. Grafico dei segni: Piano cartesiano:

13 Funzione logaritmica Se la base è maggiore di 1: - esiste solo quando l argomento è positivo; - si annulla quando l argomento è 1; - è positiva quando l argomento è maggiore di 1; - è negativa quando l argomento è minore di 1. Se la base è minore di 1: - esiste solo quando l argomento è positivo; - si annulla quando l argomento è 1; - è positiva quando l argomento è minore di 1; - è negativa quando l argomento è maggiore di 1. = log( x ) y (base maggiore di 1) D = ( ; + ) si annulla quando x = 1 cioè per x = ; è positiva quando x > 1 cioè per x > ; è negativa quando x < 1 cioè per x <. Grafico dei segni: Piano cartesiano: x Funzione esponenziale - esiste quando la base è positiva; - non si annulla mai; - è positiva in tutto il suo dominio. y = 5 x+ D = ( ; + ) si annulla mai è positiva sempre è negativa mai Grafico dei segni: Piano cartesiano:

14 Potenza di funzione y = [ f ( x) ] n Se l esponente è pari: - si annulla quando si annulla la base; - è positiva per tutti gli altri valori del dominio; - non è mai negativa. Se l esponente è dispari: - ha gli stessi segni della base. 4 y = ( x ) (esponente pari) si annulla quando x = 0 cioè per x = ; è positiva per x ; è negativa mai. Grafico dei segni: Piano cartesiano: y = ( x ) (esponente dispari) Ha gli stessi segni di x si annulla quando x = 0 cioè per x = ; è positiva quando x > 0 cioè per x > ; è negativa quando x < 0 cioè per x <. Grafico dei segni: Piano cartesiano:

15 Funzione scomponibile in fattori Si studia il segno di ogni fattore poi si effettua il prodotto dei segni in verticale in ogni intervallo trovato. Attenzione: quando ci sono denominatori, occorre eliminare i valori in cui questi si annullano. (La discussione dovrebbe essere già stata fatta nello studio del dominio) ( x + )( x) y = x 4 ( ; 4) ( 4 ; + ) D = U Numeratore: Il fattore x + (polinomio di 1 grado con a > 0) si annulla quando x = è positivo quando x > è negativo quando x < x Il fattore x (polinomio di 1 grado con a < 0) si annulla per x = è positivo per x < è negativo per x < Denominatore: Il fattore 4 si annulla quando x = 4 è positivo quando x > 4 è negativo quando x < 4 x (polinomio di 1 grado con a > 0) x x 4 x Il segno della funzione è il prodotto (fatto in verticale) dei segni dei suoi fattori. Piano cartesiano: y x x

16 y = x ( x ) (1 x ) 5 Il fattore x (potenza dispari) ha lo stesso segno di x (polinomio di 1 grado con a > 0) si annulla quando x = 0 è positivo quando x > 0 è negativo quando x < 0 Il fattore ( ) si annulla per x = è positivo per x è negativo mai x (potenza pari) Il fattore ( 1 x) (potenza dispari) ha lo stesso segno di 1 x (polinomio di 1 grado con a < 0) si annulla quando x = 1 è positivo quando x < 1 è negativo quando x > 1 Il segno della funzione è il prodotto (fatto in verticale) dei segni dei suoi fattori. x (x ) (1 x) y Piano cartesiano:

17 ( x + ) x 4 4x x ( x + ) x 4 Scompongo in fattori il denominatore y = x (4 x) Determino il dominio: x 4 0 D : x 0 D = [ ; 4) U ( 4 ; + ) 4 x 0 y = Studio i segni dei fattori facendo attenzione alle condizioni del dominio: Numeratore: Il fattore ( x + ) (potenza dispari) ha lo stesso segno di x + (polinomio di 1 grado con a > 0) si annulla quando x = è positivo quando x > è negativo quando x < Il fattore x 4 (radice con indice pari) si annulla per x = è positivo per gli altri valori del dominio è negativo mai Denominatore: Il fattore x (potenza pari) si annulla per x = 0 è positivo per gli altri valori del dominio è negativo mai Il fattore x si annulla quando x = 4 è positivo quando x < 4 è negativo quando x > 4 4 (polinomio di 1 grado con a < 0) Il segno della funzione è il prodotto dei segni dei suoi fattori (x + ) x x 4 4 x y x x x Riporto nel piano cartesiano: x 4

18 Funzione non scomponibile in fattori di base y = x x D = [ 0 ; + ) La funzione si annulla quando x x = 0 Risolvo l equazione: isolo il radicale x = x poiché entrambi i membri non sono negativi (vedi dominio) li elevo al quadrato risolvo l equazione di secondo grado trovata x x = 0 che ha soluzione x 1 = 0 e x = 1. La funzione è positiva quando x x > 0 Con considerazioni analoghe all equazione trovo la soluzione x > 1. La funzione è negativa per gli altri valori del dominio, cioè 0 < x < 1. x = x 1 y = 1 log x D = ( 0 ; + ) La funzione si annulla quando 1 log x = 0 cioè log x = 1, quindi x = 10. La funzione è positiva quando 1 log x > 0 cioè log x < 1, quindi x < 10. La funzione è negativa per gli altri valori del dominio, cioè x > 10. x 10 5