Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, Qual è la via più breve tra tre punti? o tra quattro punti?

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1 Dov'è Moriart? Cerchiamo la via più breve con Mathcad Potete determinare la distanza più breve da tre punti e trovare Moriart? Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, Qual è la via più breve tra tre punti? o tra quattro punti? Per esempio, fate conto di essere Sherlock Holmes che si sta avvicinando al suo mortale nemico, Moriart. Dalle informazioni che avete in mano, sapete che Moriart ha stabilito basi operative in tre zone diverse della città. Sapete anche che a Moriart piace posizionarsi in un luogo che riduca al massimo le distanze che i suoi uomini devono percorrere per fare rapporto sui percorsi tra queste basi. Nelle pagine seguenti vi verrà chiesto di trovare la distanza più breve tra tre e tra quattro punti. Mentre sperimenterete soluzioni diverse, Mathcad traccerà le soluzioni su un piano coordinato e troverà la lunghezza totale della soluzione. Via più breve da tre punti Per cominciare, supponiamo che le basi operative di Moriart siano dislocate sui vertici di un triangolo equilatero con lati di lunghezza. I vertici A, B e C vengono definiti e tracciati sotto. Con Mathcad è più facile scrivere un punto come vettore con la coordinata sopra e la coordinata sotto. Per facilitare il disegno del grafico porremo i tre vertici in un dato ordine, ripetendo A alla fine, in modo che il triangolo possa essere disegnato completamente. Poiché vorremo disegnare tanti triangoli e dato che con Mathcad trovare funzioni è facile, definiremo una funzione che formi un triangolo con tre punti. A B C tri ABC,, A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 A 1 A 2

2 T tri ABC,, i T 2i, T 1i, Ci sono molti modi per congiungere i tre punti. Sotto ci sono tre soluzioni possibili. D(domanda): Quale di queste soluzioni porta la distanza totale più breve tra i tre punti? D: Se tu fossi Moriart, dove saresti posizionato? Indovinare la Soluzione per un Triangolo Equilatero Nel diagramma sotto, il punto rappresenta il punto di intersezione delle linee blu. Provate a cambiare le coordinate e nella definizione a destra del grafo. Si vede che la lunghezza totale delle linee blu viene calcolata automaticamente e immediatamente. Trasformeremo anche il percorso in una funzione, così da poter riutilizzare la definizione. Tracciamo il grafico percorrendo il tratto tra il primo vertice la nostra intersezione, da qui al secondo vertice e ritorno e poi di nuovo verso il terzo e ultimo vertice. percorso ABC,,,, A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2

3 percorso1 percorso ABC,,,, c j Determineremo anche una funzione di lunghezza totale che sommi le lunghezze dei tre segmenti del percorso. Qui il valore assoluto sta ad indicare la distanza tra due punti usando la formula corrispondente. lunghezza_totale ABC,,,, A B C lunghezza1 lunghezza_totale ABC,,,, 2 T 2i, T 2c, 1 percorso1 2j, 1 2 T, T, percorso1, 1i, 1c, 1j, lunghezza1= D: Avrete la soluzione che vi aspettate se? Se? D: Quali valori interi delle coordinate di e vi daranno le distanze più brevi tra tre punti? Sapete trovare i valori esatti?

4 D: Quando troverete la distanza più breve, osservate gli angoli con il vertice nel punto di intersezione. Formulate una ipotesi generale sulla geometria della distanza più breve tra tre punti. Soluzioni per un triangolo qualsiasi Ampliando questo problema, supponiamo che le tre basi operative si trovino sui vertici di un triangolo rettangolo o scaleno qualsiasi. A destra vengono date le coordinate dei vertici di un triangolo rettangolo. Per prendere in considerazione un triangolo scaleno, provate a cambiare le coordinate alla destra della definizione di X Y (useremo le maiuscole per distinguere questo caso da quello equilatero). A2 B2 13 C2 17 T2 tri A2, B2, C2 percorso2 percorso X, Y, A2, B2, C2 lunghezza2 lunghezza_totale X, Y, A2, B2, C2

5 2 T2 2i, T2 2c, 1 percorso2 2j, Y 1 2 T2, T2, percorso2, X 1i, 1c, 1j, X Y 2 2 lunghezza2= D: Servendovi delle ipotesi che avete sviluppato sopra, trovate i valori interi delle coordinate della X posizione di Moriart. Y D: Per ogni gruppo di tre punti la soluzione è unica? In altre parole, per un dato triangolo, Moriart potrebbe trovarsi in più di un punto? D: Cosa succede se uno degli angoli è uguale o maggiore di 12? Calcolare la soluzione per un triangolo qualsiasi Usando un blocco soluzione, e la funzione Find, Mathcad trova il punto di intersezione in modo che la lunghezza totale venga minimizzata. Provate a cambiare la posizione di A3, B3 e C3. A3 B3 C

6 T3 tri A3, B3, C3 ipotesi iniziale per il punto di intersezione 7 Vogliamo che la lunghezza totale sia la più piccola possibile, e useremo dei calcoli sofisticati per trovare i valori migliori per e. Se conoscete un po' l'analisi matematica, potete capire cosa stiamo facendo: definiamo la lunghezza totale come funzione delle due coordinate del punto che stiamo cercando. Imponendo che la derivata di questa funzione, rispetto ad ogni variabile, sia uguale a, si pone una condizione che viene soddisfatta dal punto migliore. (Per gli appassionati di analisi matematica, queste sono derivate parziali). Dapprima si definisce la funzione lunghezza: f, lunghezza_totale,, A3, B3, C3 Il blocco risolutivo di Mathcad (basato anch'esso su concetti di analisi matematica) dà come soluzione per le coordinate: Given d d f, d d f, find, percorso3 percorso,, A3, B3, C3 Ecco la soluzione trovata da Mathcad:

7 Le coordinate del punto di intersezione: = La distanza più breve tra tre punti è: f, = Il problema per un quadrato Ora, supponiamo che ci siano quattro basi operative situate sui vertici di un quadrato di lato As Bs Cs Ds S As 1 As 2 Bs 1 Bs 2 Cs 1 Cs 2 Ds 1 Ds 2 As 1 As 2

8 La figura è ora un quadrilatero. Quattro soluzioni tipiche per collegare i vertici appaiono sotto D: Quale di queste soluzioni è la più breve? Notare che alcune di queste soluzioni presentano due punti di intersezione. Ciò significa che Moriart potrebbe trovarsi nell'uno o nell'altro! Nella pagina seguente vi verrà chiesto di trovare due punti di intersezione. Ricordatevi che due punti possono anche essere lo stesso punto. Ora provate l'esperimento con un quadrato. Nota: per questo lavoro non supporre che P sia alla destra di S. Poiché ora abbiamo più vertici, dovremo definire espressioni nuove per il percorso e la lunghezza, e alcune variabili di campo per il disegno. i c 1.. j percorso As 1 As 2 P 1 P 2 Bs 1 Bs 2 P 1 P 2 R 1 R 2 Cs 1 Cs 2 R 1 R 2 Ds 1 Ds 2 lunghezza_totale s As P Bs P P R Cs R Ds R Stabilite le coordinate di P e R e verificate quanto breve sia la lunghezza totale che riuscite ad ottenere

9 P 3 5 R 9 9 lunghezza_totale s = 5.75 D: Quando trovate la distanza più breve, osservate gli angoli che si formano nei punti di intersezione. formulate una ipotesi generale sulla geometria della distanza più breve tra quattro punti. Q(questione): La soluzione è unica? Ci sono altri punti dove potrebbe nascondersi Moriart? La soluzione per un quadrilatero qualsiasi Determinate i quattro vertici del quadrilatero da collegare nell'ordine Aq, Bq, Cq, Dq, Aq. Aq Bq Cq Dq Ecco il quadrilatero Q Aq 1 Aq 2 Bq 1 Bq 2 Cq 1 Cq 2 Dq 1 Dq 2 Aq 1 Aq 2 Poste le ipotesi iniziali per le coordinate e dei due punti di intersezione u e v. Cercate di scegliere valori che siano il più vicini possibile al risultato che vi aspettate. Ciò accelererà i calcoli sotto. Generalmente fissate v all'intersezione più in basso o più a sinistra.

10 u 1 5 u 2 2 v 1 v Ci sono due modi per fare le connessioni: collegare i due vertici più in basso o più a sinistra. La funzione di distanza sceglierà il percorso più breve e la funzione di percorso la disegnerà. Per rendere le nostre equazioni più ordinate cambieremo leggermente la notazione rispetto al quadrato e triangolo, ma le definizioni di funzione sono lo stesso lunghe e complicate. Riconoscerete la prima funzione come una prova di distanza per vedere quale schema di connessione risulterà nel percorso più breve. Successivamente la funzione dist si servirà di questa prova per calcolare la lunghezza complessiva del percorso, e la funzione percorso metterà in riga i corrispondenti vertici di percorso in una arra orizz Cq Bq Dq Aq Bq Aq Cq Dq dist UV, if orizz, Aq U Bq U U V..., Aq U Dq U U V + Cq V Dq V + Cq V Bq V... Aq 1 U 1 Bq 1 U 1 V 1 Cq 1 V 1 Dq 1 percorso UV, if orizz,, Aq 2 U 2 Bq 2 U 2 V 2 Cq 2 V 2 Dq 2 Aq 1 Aq 2 U 1 U 2 Dq 1 Dq 2 U 1 U 2 V 1 V 2 Cq 1 Cq 2 V 1 V 2 Bq 1 Bq 2 Questa volta useremo la funzione Minerr, che rende le equazioni nel solve bo il più possibile vere. Solo l'equazione che implica dist è importante. Le altre sono sempre vere; compaiono solo perché il solve bo vuole tante equazioni quante sono le variabili per cui sta risolvendo: nel nostro caso quattro. Given u 1 dist, u 2 v 1 v

11 Q: u 1 u 2 v 1 v 2 minerr u 1, u 2, v 1, v 2 u 1 p percorso, u 2 v 1 v 2 Ecco rappresentato il percorso più breve per il quadrilatero. Controllate gli angoli dove si incontrano i segmenti di percorso nei quadratini blu Le coordinate dei punti di intersezione per il percorso di collegamento più breve: u = u v = v Provate con diversi quadrilateri cambiando le definizioni evidenziate di Aq, Bq, Cq, e Dq sopra. Cosa succede quando il quadrilatero non è convesso? Man mano che aumenta il numero di punti n, la risposta alla domanda "Qual è la distanza più breve tra n punti?" diventa sempre più difficile da trovare. Vedete cosa c'è da scoprire nel caso successivo dove i punti che collegherete sono i vertici di un pentagono...