Le incognite del progetto o della verifica si trovano attraverso la scrittura di condizioni di Equilibrio.

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1 Capitolo 4 27 Progetto e verifica a flessione Ipotesi e legami costitutivi Il progetto e la verifica di sezioni inflesse saranno eseguiti sia facendo riferimento al secondo stadio (comportamento elastico lineare dei materiali e Tensioni Ammissibili; esercizio) e allo Stato Limite Ultimo (SLU). Per entrambi i metodi, si assumono le seguenti ipotesi: 1. Planeità delle sezioni, (Hp. Di Bernoulli); 2. Perfetta aderenza tra i materiali; 3. Conoscenza dei legami costitutivi di calcestruzzo e acciaio. 4. Calcestruzzo non reagente a trazione Le incognite del progetto o della verifica si trovano attraverso la scrittura di condizioni di Equilibrio. Le condizioni 1 e 2 consentono di scrivere la linearità delle deformazioni nel calcestruzzo compresso (ε c ), nell armatura tesa (ε s ) e compressa (ε s ). εc = ε s = εs = la distanza dal bordo più compresso, e il punto di nullo delle de - δ d - formazioni (asse neutro); δ = distanza dal bordo della sezione al baricentro delle barre d acciaio (copriferro); d = altezza utile della sezione (h δ). Le condizioni di equilibrio richiedono la conoscenza dei legami costitutivi, ovvero, delle relazioni tensione-deformazione (σ-ε) dei materiali. Se si considera lo stato d esercizio (II stadio), si assumono, sia per il calcestruzzo che per l acciaio, comportamenti elastici-lineare, fino a raggiungere i valori ammissibili σ, amm.

2 Figura 4.1 Legami costitutivi in secondo stadio Nel caso di progetto e verifica allo Stato Limite Ultimo, si considereranno comportamenti non lineari dei materiali. In particolare per il calcestruzzo si potrà assumere un legame parabolorettangolo; per l acciaio assumerà un comportamento elastico-perfettamente plastico. Figura 4.2. Legami costitutivi allo stato limite ultimo Fig Andamenti delle tensioni in secondo stadio e allo stato limite ultimo Le condizioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione assumono l aspetto: (1) C + T T = 0; (2) C dc + T dt + T dt = M. [rispetto all asse neutro] C = risultante della compressione (azione positiva) superiore; T = risultante dell armatura compressa; T = risultante dell armatura tesa (azione negativa).

3 4.2 Progetto di una sezione rettangolare in II stadio (e T.A, esercizio) La fase di progetto riguarda la definizione della geometria e dell armatura della sezione, essendo note le sollecitazione ed i valori limite dei materiali. L andamento delle deformazioni all interno della sezione, nelle ipotesi assunte è riportato in Figura 4.4. Nella stessa figura è riportato l andamento delle relative tensioni. Appare evidente che per la differenza dei moduli elastici di calcestruzzo e acciaio (Es>Ec) l andamento delle tensioni sulla sezione sarebbe non lineare. Al fine di semplificare tale situazione si opera una omogeneizzazione dell acciaio al calcestruzzo attraverso la definizione del fattore d omogenizzazione n, pari al rapporto tra E s ed E c. Fig Andamenti delle deformazioni e tensioni in secondo stadio In tal caso il diagramma delle tensioni omogenizzate risulta lineare: ε c = ε s d = ε ' s δ σ c = σ c σ s σ ' s = = Ec Es ( d ) Es ( δ ) σ s σ ' s = n ( d ) n ( δ ) Il coefficiente n, si assume pari a 15 (anche se il suo valore effettivo, dato dal rapporto dei moduli, sarebbe dell ordine di 7-10), per tener conto degli effetti di fluage del calcestruzzo. Il progetto della sezione rettangolare semplicemente inflessa, di Figura 4.5 si effettua attraverso la scrittura di due condizioni di equilibrio, il che comporta la possibilità di determinare due sole incognite iperstatiche, quali, ad esempio, l altezza e l area di armatura. Le altre incognite geometriche sono da assegnare con altri criteri. In particolare si assumerà nulla l armatura in compressione eseguendo un progetto per semplice armatura (A s = 0, T =0)

4 A s A s Figura 4.5. Andamenti delle tensioni in secondo stadio Nel rispetto delle condizioni ammissibili (o al limite di esercizio) si impone che il valore di tensione massima nel calcestruzzo (σc) e nell acciaio (σs), siano pari ai valori di tensione ammissibile: σc = σc,amm ; σs = σs,amm Nell ipotesi di linearità della sezione omogeneizzata: σc,amm = σs,amm d = σs,amm d = 1 + σs,amm n (d ) σc,amm n σc,amm n = n σc,amm = ξ ~ 0,3-0,33 [asse neutro adimensionalizzato] d n σc,amm + σs,amm Per il calcolo dell altezza della sezione si utilizza una condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all armatura tesa: b/2 σc,amm (d - /3) = M b/2 σc,amm [n σc,amm /(n σc,amm+σs,amm)] d² [1-1/3(/d)] =M b/2 σc,amm ξ d² (1-1/3ξ) = M d² = 2M, dove b ξ (1 - ξ/3) σc,amm r² = 1 k=1/3 (distanza dal baricentro delle compressioni alla corda β ξ (1-kξ) σc,amm più compressa); β=1/2 (il rapporto fra il rettangolo e l effettiva distribuzione). d = r M. altezza utile della sezione b L altezza totale della sezione si otterrà aggiungendo all altezza utile il copriferro δ (3~4cm). Il calcolo dell armatura è effettuato attraverso la scrittura di una condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all armatura compressa, ottenendo: T (d-/3) = M σs,amm As (d-/3) = M σs,amm As 0,9d = M As = M σs,amm 0,9d

5 4.3 Progetto di una sezione rettangolare allo SLU Nell ambito dello stato limite ultimo (SLU), con le ipotesi assunte, l andamento delle deformazioni nella sezione soggetta a flessione semplice, sarà ancora lineare. Attraverso i legami costitutivi sarà possibile definire l andamento delle tensioni. Figura 4.6. Andamenti delle tensioni allo stato limite ultimo Essendo in condizioni di stato limite ultimo, naturalmente, la deformazione nel calcestruzzo e/o nell acciaio dovrà essere pari a quella ultima. Da una prima analisi del diagramma delle deformazioni a rottura, in flessione semplice, è possibile notare vari e possibili campi di rottura, legati alla crisi del calcestruzzo e/o dell acciaio (vedi Fig. 4.7) La retta relativa alla crisi del calcestruzzo e al raggiungimento della deformazione di snervamento nell acciaio teso e definita di rottura bilanciata, e separa i comportamenti duttili da quelli fragili. Comportamento duttile, crisi acciaio Comportamento duttile, crisi cls Comportamento fragile, crisi cls Figura 4.7. Regioni di rottura a flessione (SLU) Il progetto allo Stato Limite Ultimo si effettua ipotizzando il raggiungimento delle deformazioni ultime in entrambi i materiali (calcestruzzo compresso ε cu ed armatura tesa ε su ). Essendo noti i legami costitutivi, dall andamento delle deformazioni si passa all andamento delle tensioni nella sezione e possono scriversi le condizioni di equilibrio. In particolare, può definirsi, per la linearità di deformazioni, l asse neutro di progetto, in funzione dell altezza utile d (incognita): εc,u = εs,u d = εs,u d = 1+ εs,u = εc,u = ξ = 0,2593 d εc,u εc,u d εc,u+ εs,u

6 La condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all armatura tesa fornisce: C dc = M* [Condizione d equilibrio alla rotazione] dove C è la risultante delle compressioni pari all area del legame parabolo-rettangolo (Fig. 4.10), pari a Si introduce un fattore β, di riempimento: ( y) σ dy β = f cd 0 C = b σ 0 ovvero, il rapporto tra l area del diagramma parabolo-rettangolo e l area del rettangolo ad esso circoscritto. Nel caso in cui il diagramma sia tutto sviluppato (fino al valore di deformazione ultima) β sarà pari a 0.8. Si può quindi far riferimento ad un diagramma tensionale equivalente rettangolare con altezza pari a 0.8 (Stress-block). Tale legame semplificato può essere utilizzato anche nel caso di regioni di rottura con deformazione del calcestruzzo inferiore a quella ultima. ( y) dy Figura 4.8. Andamenti delle deformazioni tensioni allo stato limite ultimo Nel caso di utilizzo di legame stress-block del calcestruzzo, la condizione di equilibrio alla rotazione diventa: C = b β fcd b 0.8 fcd C dc = M* b 0,8 fcd (d 0,4) = M* b 0,8 fcd ξ d² (1 0,4 ξ) = M* r² = 1 ; d² = r² (M*/b) 0,8 ξ (1-0,4ξ) fcd

7 r² = 1 β ξ (1-0,kξ) fcd Appare utile evidenziare che il valore di r è qualitativamente analogo a quello ricavato in 2 stadio. La differenza, oltre che nelle tensioni di progetto, è nei coefficienti: β=1/2 in 2 stadio (area triangolare di sollecitazione pari alla metà del rettangolo circoscritto; β=0.8 per lo SLU; k=1/3 per il secondo stadio (distanza risultante delle compressioni rispetto al bordo compresso); k=0.4 per lo SLU) L armatura si calcola attraverso una condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro delle compressioni C: fyd As (d 0,4) = M* ; dove (d 0,4) = 0,9 d As = M*/(0.9d fyd) 4.4 Verifica in 2 stadio Nel caso di verifica, la geometria della trave, è completamente nota e le incognite risultano essere le tensioni e l asse neutro. La verifica consiste nel controllare che i livelli tensionali siano inferiori a quelli di esercizio (o ammissibili), e dunque σc σc,amm σs σs,amm Le equazioni a disposizioni sono quelle di equilibrio: (1) C + T T = 0 ; (2) C dc + T dt + T dt = M C = risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo; T = risultante di tensione nell armatura tesa; T = risultante di compressione nell armatura compressa. e l equazione di la linearità delle deformazioni (Fig. 4.9). Figura 4.9. Andamenti delle deformazioni in secondo stadio Dalla condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all asse neutro si ottiene:

8 b/2 σc + σs As - σs As = 0 => Per la linearità delle tensioni omogenizzate: σc = σs = σs ; n ( - δ) n (d - ) Quindi: ½ b σc + (σc/) n As ( - δ) (σc/) n As (d ) = 0 [semplifico dividendo per σc] ½ b + (1/) n As ( - δ) (1/) n As (d ) = 0 [moltiplico per ] ½ b ² + n As ( - δ) n As (d ) = 0 (Eq. 4.1) L equazione ottenuta è equivalente all annullamento del momento statico della sezione reagente parzializzata: Sn = 0 (Eq. 4.2) Tale importante proprietà implica che in elasticità l asse neutro è baricentrico della sezione reagente, e dipende dalla sola geometria della sezione. Una volta definito l asse neutro, si può ricavare σc, attraverso una condizione d equilibrio alla rotazione, ad esempio, rispetto all asse neutro. ½ b σc (2/3) + σs As ( δ) - σs As (d ) = M 1/3 b σc ² + σc n As ( - δ)² σc n As (d )² = M (moltiplico per ); 1/3 b σc ³ + σc n As ( - δ)² σc n As (d )² = M (raccolgo per σc); σc [1/3 b ³ + n As ( - δ)² n As (d )²] = M σc = M In [Formula di Navier] In maniera analoga, o per linearità delle tensioni omogenizzate si trova: (σs /n) = (M/In) (d ) La verifica consiste nel controllare che i livelli tensionali siano inferiori a quelli di esercizio (o ammissibili, e dunque σc σc,amm σs σs,amm

9 Esiste un altra tipologia di verifica (del tutto analoga alla precedente, dando lo stesso risultato), che è basata sulla definizione di momento resistente Mr, ovvero, il massimo momento che la sezione può assorbire nel rispetto delle tensioni ammissibili. M < Mr (o Mamm) Mr = min {Mr,c ; Mr,s} Il Momento resistete Mr è il minimo tra il momento resistente del calcestruzzo e quello dell acciaio, calcolati come: Mr,c = σc,amm In ; Mr,s = σs,amm In n (d ) OSSERVAZIONE. Il Mr è una caratteristica non legata alle sollecitazioni, ma solo alle tensioni ammissibili e alla geometria della sezione. L asse neutro, essendo una caratteristica geometrica, è valutato con l equazione 4.1 (o 4.2). 4.5 Verifica allo SLU La verifica allo stato limite ultimo consiste nel confrontare il momento agente sulla sezione (valutato con carichi amplificati) con il Momento Ultimo (M u ) della sezione, legato al raggiungimento della deformazione ultima in uno dei due materiali (o in entrambi). Figura 4.17 Il Momento ultimo della sezione è valutato sulla base di condizioni di equilibrio alla traslazione alla rotazione, ma, mancando una condizione di linearità delle tensioni, è necessario fissare alcune ipotesi, che saranno controllate a posteriori Verifica a semplice armatura L asse neutro è ricavato sulla base di una condizione di equilibrio alla traslazione, che nell ipotesi di legame costitutivo del calcestruzzo compresso di tipo stress-block e di acciaio teso in condizioni di snervamento diventa: fcd b 0.8 fyd As = 0 (Eq. 4.3) da cui: = fyd As fcd b 0,8 L ipotesi iniziale di armatura tesa snervata e per esempio crisi legata al calcestruzzo compresso, deve essere verificata con la linearità:

10 εc,u = εs εs = εc,u (d ) (*) (d ) da cui è possibile, riscontrare tre casi possibili: (1) εs,y < εs < εs,u l armatura è snevata, ma non a rottura. La posizione calcolata dell asse neutro è quella esatta. La crisi è dovuta allo schiacciamento del calcestruzzo (2) εs < εs,y la deformazione nell acciaio teso è minore di quella di snervamento. L eq. 4.3 va riscritta come segue: ε fcd b 0,8 Es εs As = 0 con s ε = cu, essendo la crisi dovuta allo schiacciamento del d calcestruzzo (3) εs > εs,u (>10 ) la rottura non sarà del CLS, ma dell acciaio, ma dato nell ipotesi semplificativa, di utilizzo di un legame stress-block per il calcestruzzo in compressione, l equazione resta valida. Calcolato l asse neutro, si determina il valore del momento ultimo, Mu, attraverso una condizione i equilibrio alla rotazione, ad esempio attorno all armatura tesa: Mu = fcd b 0.8 (d 0.4) La verifica è soddisfatta se M* M u Verifica di una sezione rettangolare a doppia armatura Il procedimento da seguire in nel caso di doppia armatura è analogo a quello illustrato nel Par Essendo il numero di incognite maggiore del numero di equazioni a disposizione, è necessario fissare ipotesi sulla modalità di rottura e sullo stato tensionale dell acciaio. Se la sezione è dissimmetrica si potrebbe ipotizzare, ad esempio, che entrambe le armature siano snervate. La condizione di equilibrio alla traslazione diventa: 0.8 b fcd + fyd As - fyd As = 0 Hp = fyd As [Armatura compressa, snervata] Hp = fyd As [Armatura tesa, snervata] da cui si ricava la posizione dell asse neutro : = fyd (As As ) fcd b 0.8 E però necessario un controllo delle ipotesi assunte, sfruttando la linearità delle deformazioni, asserendo un altra ipotesi, Hp, che fissa la modalità di rottura. Nel caso in cui si preveda il raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo: [Hp ] εc,u = εs = εs (Eq. 4.4) d δ

11 dalla quale si eseguirà la verifica delle ipotesi precedenti, Hp e Hp : In particolare si calcolerà il valore della deformazione nell acciaio teso εs = εc,u (d ) Potranno verificarsi 3 casi: (1) εs,y < εs < εs,u l armatura è snevata (vera l ipotesi Hp ),il CLS è a rottura (vera l ipotesi Hp ), e di conseguenza anche l armatura compressa sarà snervata (vera l ipotesi Hp ). Infatti la deformazione del calcestruzzo è pari a quella ultima (3,5 ), la deformazione nell acciaio compresso, che è posizionato ad una distanza dal bordo pari al solo copri ferro, avrà un valore superiore a quello di snervamento. In definitiva la posizione dell asse neutro calcolata è esatta. (2) εs < εs,y la deformazione è minore di quella di snervamento: le ipotesi, Hp e Hp,sono soddisfatte, ma non lo è Hp, poiché l armatura non è snervata (deformazione elastica dell acciaio). In questo caso la condizione di equilibrio alla traslazione va riscritta: fcd b fyd As Es εs As = 0 e dalla linearità di deformazione: fcd b 0,8 + fyd As Es εc,u As (d ) = 0 (3) εs > εs,u (>10 ) la rottura non sarà del CLS, ma dell acciaio. L ipotesi Hp è soddisfatta, ma non la Hp. La linearità di deformazione va riscritta tenendo conto della modalità di crisi legata all acciaio: εc = εs,u = εs ; d δ Il valore da ricavare è la deformazione nell armatura compressa εs, per verificare se questa presenta un comportamento plastico (come ipotizzato) o elastico. In particolare: (3.1) εs > εs,y l ipotesi Hp, è vera, quindi varrà: fcd b fyd As f yd As = 0 ottenendo lo stesso valore di asse neutro per il caso (1); (3.2) εs < εs,y l ipotesi Hp, è falsa, quindi varrà: dove: fcd b 0,8 + Es εs As - fyd As = 0

12 εs = εs,u ( δ) (d ) Calcolato l asse neutro, a seconda della condizione in cui ci si trova, si andrà a definire il valore del momento ultimo, tenendo conto anche dell armatura compressa, attraverso una condizione di equilibrio intorno all armatura tesa, ottenendo: Mu = fcd b 0,8 (d 0,4) + fyd As (d δ) Mu = fcd b 0,8 (d 0,4) + Es εs As (d δ) [Acciaio snervato] [Acciaio elastico]