Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale

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1 Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale Francesca Poggiolesi Facoltà di Medicina e Chirurgia 26 Agosto 2010, Firenze

2 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 1

3 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 1 Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

4 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 1 Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non compra, non disprezza,

5 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 1 Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non compra, non disprezza, chi non compra, disprezza,

6 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 1 Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non compra, non disprezza, chi non compra, disprezza, chi non disprezza, non compra,

7 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 1 Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non compra, non disprezza, chi non compra, disprezza, chi non disprezza, non compra, chi non disprezza, compra,

8 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 2 Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente...

9 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 2 Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica,

10 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 2 Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica, se Anna non è bella, allora non è simpatica,

11 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 2 Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica, se Anna non è bella, allora non è simpatica, non si dà il caso che Anna non è bella né simpatica,

12 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 2 Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica, se Anna non è bella, allora non è simpatica, non si dà il caso che Anna non è bella né simpatica, Anna non è bella o non è simpatica.

13 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Sei un artista. Dunque:

14 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Sei un artista. Dunque: hai talento,

15 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Sei un artista. Dunque: hai talento, non hai talento,

16 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Sei un artista. Dunque: hai talento, non hai talento, non è possibile inferire alcuna conclusione,

17 Dal test alla logica Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Sei un artista. Dunque: hai talento, non hai talento, non è possibile inferire alcuna conclusione, non sei artista e hai talento.

18 Dal test alla logica Strategie differenti Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test:

19 Dal test alla logica Strategie differenti Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test: rispondere a caso,

20 Dal test alla logica Strategie differenti Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test: rispondere a caso, ragionare,

21 Dal test alla logica Strategie differenti Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test: rispondere a caso, ragionare, applicare un metodo.

22 Dal test alla logica Logica come metodo In questo corso cercherò di spiegarvi (brevemente) quella parte di logica, detta proposizionale, che in questo contesto può essere vista come il metodo per risolvere i tipi di domande sopra esposte.

23 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati atomici Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

24 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati atomici Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati. Esempi:

25 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati atomici Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati. Esempi: piove,

26 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati atomici Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati. Esempi: piove, Paolo ama Francesca,

27 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati atomici Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati. Esempi: piove, Paolo ama Francesca, Firenze è il capoluogo della Toscana.

28 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati composti Si dicono composti quegli enunciati che possono essere considerati il risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciati in enunciati.

29 Logica proposizionale: formalizzazione Enunciati composti Si dicono composti quegli enunciati che possono essere considerati il risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciati in enunciati. Si possono isolare cinque operazioni fondamentali.

30 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo:

34 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo: A

35 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo: B

36 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo: C

38 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo: A

39 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo: B

40 Logica proposizionale: formalizzazione Prima operazione: negazione Partiamo con l analizzare i seguenti enunciati (composti): non piove Anna non è sorella di Marco 4 non è un numero primo Formalmente, abbiamo: C

41 Logica proposizionale: formalizzazione Seconda operazione: congiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Maria è bella e (Maria è) ricca 2 è pari e 3 è dispari nevica e fa freddo nevica e nevica Formalmente, abbiamo:

46 Logica proposizionale: formalizzazione Seconda operazione: congiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Maria è bella e (Maria è) ricca 2 è pari e 3 è dispari nevica e fa freddo nevica e nevica Formalmente, abbiamo: A B

47 Logica proposizionale: formalizzazione Seconda operazione: congiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Maria è bella e (Maria è) ricca 2 è pari e 3 è dispari nevica e fa freddo nevica e nevica Formalmente, abbiamo: C D

48 Logica proposizionale: formalizzazione Seconda operazione: congiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Maria è bella e (Maria è) ricca 2 è pari e 3 è dispari nevica e fa freddo nevica e nevica Formalmente, abbiamo: E F

49 Logica proposizionale: formalizzazione Seconda operazione: congiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Maria è bella e (Maria è) ricca 2 è pari e 3 è dispari nevica e fa freddo nevica e nevica Formalmente, abbiamo: E E

50 Logica proposizionale: formalizzazione Terza operazione: disgiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Piove o nevica Carlo è pazzo o (Carlo è) bugiardo il vincitore è Alberto o il vincitore è Alessandro Formalmente, abbiamo:

55 Logica proposizionale: formalizzazione Terza operazione: disgiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Piove o nevica Carlo è pazzo o (Carlo è) bugiardo il vincitore è Alberto o il vincitore è Alessandro Formalmente, abbiamo: A B

56 Logica proposizionale: formalizzazione Terza operazione: disgiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Piove o nevica Carlo è pazzo o (Carlo è) bugiardo il vincitore è Alberto o il vincitore è Alessandro Formalmente, abbiamo: C D

57 Logica proposizionale: formalizzazione Terza operazione: disgiunzione Continuiamo con i seguenti enunciati (composti): Piove o nevica Carlo è pazzo o (Carlo è) bugiardo il vincitore è Alberto o il vincitore è Alessandro Formalmente, abbiamo: E F

58 Logica proposizionale: formalizzazione Quarta operazione: implicazione Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti): Se è domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l ombrello se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa Formalmente, abbiamo:

63 Logica proposizionale: formalizzazione Quarta operazione: implicazione Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti): Se è domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l ombrello se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa Formalmente, abbiamo: A B

64 Logica proposizionale: formalizzazione Quarta operazione: implicazione Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti): Se è domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l ombrello se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa Formalmente, abbiamo: C D

65 Logica proposizionale: formalizzazione Quarta operazione: implicazione Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti): Se è domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l ombrello se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa Formalmente, abbiamo: E F

66 Logica proposizionale: formalizzazione Quinta operazione: bicondizionale Terminiamo con i seguenti enunciati (composti): I funghi nascono se, e solo se, la stagione è adatta L esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L acquisto si farà se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilità Formalmente, abbiamo:

71 Logica proposizionale: formalizzazione Quinta operazione: bicondizionale Terminiamo con i seguenti enunciati (composti): I funghi nascono se, e solo se, la stagione è adatta L esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L acquisto si farà se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilità Formalmente, abbiamo: A B

72 Logica proposizionale: formalizzazione Quinta operazione: bicondizionale Terminiamo con i seguenti enunciati (composti): I funghi nascono se, e solo se, la stagione è adatta L esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L acquisto si farà se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilità Formalmente, abbiamo: C D

73 Logica proposizionale: formalizzazione Quinta operazione: bicondizionale Terminiamo con i seguenti enunciati (composti): I funghi nascono se, e solo se, la stagione è adatta L esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L acquisto si farà se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilità Formalmente, abbiamo: E F

74 Logica proposizionale: formalizzazione Riassumendo...

75 Logica proposizionale: formalizzazione Riassumendo... Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B,...)

76 Logica proposizionale: formalizzazione Riassumendo... Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B,...) ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:,,,,

77 Logica proposizionale: formalizzazione Da notare

78 Logica proposizionale: formalizzazione Da notare i connettivi fin qui introdotti non operano soltanto su enunciati atomici ma anche su enunciati composti, e.g.

79 Logica proposizionale: formalizzazione Esempio 1 Se Anna non è sorella di Marco, allora è amica di Lucia e cugina di Mauro

80 Logica proposizionale: formalizzazione Esempio 1 Se Anna non è sorella di Marco, allora è amica di Lucia e cugina di Mauro A B C

84 Logica proposizionale: formalizzazione Esempio 1 Se Anna non è sorella di Marco, allora è amica di Lucia e cugina di Mauro A ( B C )

85 Logica proposizionale: formalizzazione Esempio 2 Anna non è sorella di Marco e se è cugina di Giovanni allora è parente di Cristina

86 Logica proposizionale: formalizzazione Esempio 2 Anna non è sorella di Marco e se è cugina di Giovanni allora è parente di Cristina A B C

90 Logica proposizionale: formalizzazione Esempio 2 Anna non è sorella di Marco e se è cugina di Giovanni allora è parente di Cristina A ( B C )

91 Logica proposizionale: formalizzazione Da notare

92 Logica proposizionale: formalizzazione Da notare nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressioni sincategorematiche, che si lasciano però assimilare ai connettivi classici, e.g.

93 Logica proposizionale: formalizzazione Da notare nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressioni sincategorematiche, che si lasciano però assimilare ai connettivi classici, e.g. Anna è bella ma insensibile, Gianni studia nonostante sia malato. Equivalgono a. Gianni sta male quando vola, 28 è pari perché è divisibile per due. Equivalgono a.

94 Domanda Quand è che un enunciato della forma non piove è vero?

95 Domanda Quand è che un enunciato della forma se piove, prendo l ombrello è vero?

96 Domanda Come si fa a determinare la verità di un enunciato composto?

97 Domanda Rispettando i tre principi di determinatezza, bivalenza e verofunzionalità, la risposta si articola nel modo seguente...

98 Valori di verità Assumiamo di denotare la verità con il numero 1, e la falsità con il numero 0.

99 Valori di verità Assumiamo di denotare la verità con il numero 1, e la falsità con il numero 0. Mostriamo le tavole di verità di ciascuno dei nostri connettivi.

100 Tavole di verità. Negazione

101 Tavole di verità. Negazione A

102 Tavole di verità. Negazione A 1

103 Tavole di verità. Negazione A 1 0

104 Tavole di verità. Negazione A 1 0 A

105 Tavole di verità. Negazione A A 1 0 0

106 Tavole di verità. Negazione A A

107 Tavole di verità. Negazione A A A è vero (falso) se e solo se A è falso (vero)

108 Tavole di verità. Congiunzione

109 Tavole di verità. Congiunzione A B

110 Tavole di verità. Congiunzione A B 1 1

114 Tavole di verità. Congiunzione A B A B

119 Tavole di verità. Congiunzione A B A B A B è vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A è falso o B è falso).

120 Tavole di verità. Disgiunzione

121 Tavole di verità. Disgiunzione A B

122 Tavole di verità. Disgiunzione A B A B

127 Tavole di verità. Disgiunzione A B A B A B è vero (falso) se e solo se A è vero o B è vero (A e B sono entrambi falsi).

128 Tavole di verità. Implicazione

129 Tavole di verità. Implicazione A B

130 Tavole di verità. Implicazione A B A B

135 Tavole di verità. Implicazione A B A B A B è vero (falso) se e solo se A è falso o B è vero (A è vero e B è falso).

136 Tavole di verità. Bicondizionale

137 Tavole di verità. Bicondizionale A B

138 Tavole di verità. Bicondizionale A B A B

143 Tavole di verità. Bicondizionale A B A B A B è vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di verità (A e B hanno valori di verità distinti).

144 Esempio 1 Prendiamo l enunciato oggi piove e fa freddo

145 Esempio 1 Sappiamo che si formalizza con: A B

146 Esempio 1 Supponiamo che qualcuno ci chieda se da questo enunciato segue necessariamente che piove

147 Esempio 1 Formalizziamo anche tale domanda: A B A?

148 Esempio 1 Facciamo la tavola di verità di A B A

149 Esempio 2 Prima di cominciare a fare la tavola di verità di A B A, una osservazione importante

150 Esempio 2 Quando si fa la tavola di verità di enunciati contenenti più di un connettivo, bisogna stabilire qual è il connettivo principale.

151 Esempio 2 In A B A il connettivo principale è.

152 Esempio 2

153 Esempio 2

154 Esempio 2

155 Esempio 2 A B A

156 Esempio 2 A B A

157 Esempio 2 A 1 B 2 A

161 Esempio 2 A 1 B 2 A La risposta è affermativa: da piove e fa freddo segue necessariamente che piove

162 Tautologie La tautologie sono quegli enunciati composti il cui valore di verità è sempre 1

163 Tautologie Ad esempio:

164 Tautologie A A B

165 Tautologie A (B A) a fortiori

166 Tautologie (A B) ( A B) (A B) ( A B) De Morgan I De Morgan II

167 Ritorniamo al nostro test

168 Ritorniamo al nostro test Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

169 Ritorniamo al nostro test Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non disprezza, non compra,

170 Ritorniamo al nostro test Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non disprezza, non compra, chi non compra, non disprezza,

171 Ritorniamo al nostro test Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non disprezza, non compra, chi non compra, non disprezza, chi non compra, disprezza,

172 Ritorniamo al nostro test Se è vero che chi disprezza, compra, sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti: chi non disprezza, non compra, chi non compra, non disprezza, chi non compra, disprezza, chi non disprezza, compra,

173 Applichiamo il nostro metodo... Prendiamo l enunciato chi disprezza, compra

174 Applichiamo il nostro metodo... Sappiamo che si formalizza con: A B

175 Applichiamo il nostro metodo... Controlliamo se da questo enunciato segue necessariamente la prima delle nostre opzioni: chi non compra, non disprezza, ossia: B A

176 Applichiamo il nostro metodo... Formalizziamo tale domanda: (A B) ( B A)?

177 Applichiamo il nostro metodo... A questo punto abbiamo due opzioni:

178 Applichiamo il nostro metodo Sappiamo che (A B) ( B A) è (o non è) una tautologia e diamo direttamente la nostra risposta

179 Applichiamo il nostro metodo Non ci ricordiamo se (A B) ( B A) è una tautologia oppure no, dunque facciamo la tavola di verità

180 Analisi de test (A B) ( B A)

187 Analisi de test Mettiamo in pratica quanto abbiamo appena detto.

188 Analisi de test

189 Analisi de test A B B A

199 Analisi de test A B B A La risposta è affermativa: da chi disprezza, compra segue necessariamente che chi non compra, non disprezza

200 Secondo esempio di test Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente...

201 Secondo esempio di test Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica,

202 Secondo esempio di test Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica, se Anna non è bella, allora non è simpatica,

203 Secondo esempio di test Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica, se Anna non è bella, allora non è simpatica, non si dà il caso che Anna non è bella né simpatica,

204 Secondo esempio di test Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica. O, equivalentemente... Anna è bella e simpatica, se Anna non è bella, allora non è simpatica, non si dà il caso che Anna non è bella né simpatica, Anna non è bella o non è simpatica.

205 Applichiamo il nostro metodo... Prendiamo l enunciato Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica

206 Applichiamo il nostro metodo... Sappiamo che si formalizza con: (A B)

207 Applichiamo il nostro metodo... Questa volta dobbiamo controllare che:

208 Applichiamo il nostro metodo... (A B)

209 Applichiamo il nostro metodo... (A B) è equivalente con

211 Applichiamo il nostro metodo... (A B) Anna è bella e simpatica

212 Applichiamo il nostro metodo... (A B) A B

213 Applichiamo il nostro metodo... (A B) se Anna non è bella, allora non é simpatica

215 Applichiamo il nostro metodo... (A B) non si dà il caso che Anna non è bella né simpatica

216 Applichiamo il nostro metodo... (A B) ( A B)

217 Applichiamo il nostro metodo... (A B) Anna non è bella o non è simpatica

221 Applichiamo il nostro metodo... De Morgan!

222 Applichiamo il nostro metodo... La risposta è affermativa: Non si dà il caso che Anna è bella e simpatica è equivalente a Anna non è bella o non è simpatica

223 Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Dunque se sei un artista:

224 Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Dunque se sei un artista: hai talento,

225 Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Dunque se sei un artista: hai talento, non hai talento,

226 Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Dunque se sei un artista: hai talento, non hai talento, non è possibile inferire alcuna conclusione,

227 Alcuni esempi di test 3 Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista. Dunque se sei un artista: hai talento, non hai talento, non è possibile inferire alcuna conclusione, non sei artista e hai talento.

228 Hai capito? Da fare a casa...

229 Bibliografia A. Cantini e P. Minari, Introduzione alla logica, Le Monnier Università, Firenze, 2009.