Dinamica dei Fluidi. Moto stazionario

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1 FLUIDODINAMICA 1

2 Dinamica dei Fluidi Studia il moto delle particelle di fluido* sotto l azione di tre tipi di forze: Forze di superficie: forze esercitate attraverso una superficie (pressione) Forze di volume : forze esercitate su tutto il volume di liquido (forza peso) Forze d attrito: forze che si oppongono al moto e si esercitano tra i vari elementi di volume Moto stazionario In generale la velocità v di una particella di fluido dipende dalla posizione (x,y,z) in cui si trova e dal tempo t : v = v (x, y, z, t) Il moto è stazionario quando: v = v (x, y, z, t) * Le particelle di fluido non sono le molecole del fluido, ma sono elementi di volume di fluido, sufficientemente grandi affinché le fluttuazioni del numero di molecole contenute in esso siano trascurabili.

3 Legge della portata (legge di Leonardo, equazione di continuità) S Ipotesi Densità indipendente dal tempo Moto stazionario Condotto a pareti rigide Assenza di sorgenti e di pozzi Liquido incompressibile ed indilatabile v 1 S 1 v V 1 = volume di liquido che attraversa S 1 nel tempo t V = volume di liquido che attraversa S nel tempo V t V 1 = V 1 = V Q 1 = Q t t v 1 S 1 t = v S t t t v 1 S 1 = v S Q = V / t = Portata Q = S v = cost (al variare della sezione) Legge di Leonardo 3

4 Legge di Leonardo per una diramazione Per la legge della portata 3 R 3 Q 1 = Q + Q 3 R 1 1 π R 1 v 1 = π R v + π R 3 v 3 R Se R = R 3 = R v = v 3 = v π R 1 v 1 = π R v v = v 1 / Nel caso R 1 = R v = (R 1 / R ) v 1 / 4

5 Ipotesi : liquido ideale Teorema di Bernoulli S 1 La somma del lavoro delle forze di pressione e della forza gravitazionale è uguale alla variazione di energia cinetica del liquido in movimento. 1) E g = V d g ( h h 1 )= L g ) E c = V d (v v 1 )/ Variazione di energia potenziale Variazione di energia cinetica 3) L p = V ( p 1 p ) Lavoro della pressione 4) L p + L g = E c Variazione dell energia meccanica Sostituendo le eq. 1,, 3 nell eq. 4 v S p v v 1 h h 1 V (p 1 p ) + V d g ( h 1 h ) + V d ( v 1 v ) = 0 Teorema di Bernoulli p + d g h + d v / = p 1 + d g h 1 + d v 1 / p + d g h + d v / = cost p = pressione S = sezione v = velocità h = altezza Il termine dv / prende il nome di pressione cinetica p 1 5

6 Applicazioni del teorema di Bernoulli p + d g h + d v / = cost Dividendo tutti i termini dell equazione precedente per d g p/dg + h + v /g = cost Tubo piezometrico p/dg = altezza piezometrica p 0 p h p i = p Equilibrio nel tubo piezometrico p = p 0 + dgh Legge di Stevino p i = p 0 + dgh Pressione relativa interna = p i - p 0 = dgh v /g = altezza d arresto p i Altezza d arresto = altezza massima raggiunta da un corpo lanciato verso l alto con velocità v 6

7 Applicazioni del teorema di Bernoulli Strozzatura di un tubo p + d g h + d v / = cost h h h Consideriamo le due sezioni S 1 e S S 1 S p 1 +dgh 1 +dv 1 / = p +dgh +dv / h 1 h p 1 +dgh 1 +dv 1 / = p +dgh +dv / h 1 = h p p 1 = d ( v 1 v ) / < 0 v 1 S 1 = v S Legge della portata v 1 = v ( S / S 1 ) < v poiché S /S 1 <1 p p 1 < 0 v 1 < v v 1 v < 0 p < p 1 7

8 Applicazioni del teorema di Bernoulli Aspiratore ad acqua corrente Ingresso acqua corrente Forza su un ala d aereo P sup Uscita acqua + aria o liquido Aspirazione aria o liquidi strozzatura P inf L aria che scorre lungo la superficie superiore dell ala, dovendo percorrere un percorso più lungo, ha una velocità maggiore di quella dell aria sulla superficie inferiore: quindi la pressione sulla superficie superiore, P sup è minore di quella sulla superficie inferiore P 8 inf

9 Formula di Torricelli Efflusso di un liquido da un foro Applichiamo il Teorema di Bernoulli h S 1 S v p 1 +dgh 1 +dv 1 / = p +dgh +dv / alle due sezioni S 1 = sezione del recipiente Prendendo come piano di riferimento il piano orizzontale passante per il foro: 1) h 1 = h h = 0 v 1 << v v = v Infatti, applicando il teorema della portata alle sezioni S 1 ed S v 1 S 1 = v S v 1 = v ( S / S 1 ) << v S = sezione del foro << S 1 Inserendo le eq. 1 p 1 = p 0 p 0 +dgh+dv 1 / = p 0 +dgh +dv / p = p 0 dgh = dv / = dv / v = gh 9

10 h V v r S s per la formula di Torricelli v = g h La clessidra ad acqua Nella clessidra il livello del liquido deve abbassarsi a velocità costante, cioè V = cost Applichiamo la legge della portata alle sezioni s ed S: S V = s v π r V = s g h = g s h r = g s h / π V 4 r = ( g s / π V 4 ) h 4 r = cost h La forma della clessidra dipende da s e V. 10

11 S Profilo di velocità S = strato di materiale di densità minore di quella del liquido F = forza applicata tangenzialmente alla superficie del liquido A = Superficie di contatto strato S - liquido Legge di Newton Viscosità di scorrimento τ = F/A = sforzo tangenziale F F v 0 = velocità dello strato di liquido sul fondo del v h recipiente = 0 v = velocità dello strato di liquido che aderisce ad S τ =ηg G = gradiente di velocità = ( v v 0 ) / h = v / h Legge di Newton η = coefficiente di viscosità di scorrimento (più brevemente viscosità ) del liquido η dipende dal tipo di fluido e dalle sue condizioni fisiche 11

12 v Il gradiente G = v / h = tg(α) h v dh h α α v C A v B Profilo di velocità β G è il gradiente medio di velocità tra lo strato più alto e lo strato più basso di liquido. Posso trovare il gradiente di velocità di uno strato, per es. lo strato ad altezza h con velocità v 1) Considero il vettore velocità v ad un altezza h + dh ) Il rapporto ( v v ) / dh è il gradiente all altezza h Nel triangolo ABC, AC = dh, CB = v v e il gradiente all altezza h è uguale a tg(β). Poiché α = β, in questo caso gradiente medio e gradiente all altezza h coincidono. 1

13 Dimensioni e unità di misura della viscosità η = τ / G [τ] = [F] / [S] = M L T - / L = M L -1 T - [G] = [ v] / [ x] = L T -1 / L = T -1 [η] = [τ] / [G] = M L -1 T - / T -1 = M L -1 T -1 τ si misura in N / m = Pa ( S. I.) G si misura in s -1 ( S. I.) η si misura in Pa / s -1 = Pa s ( S. I.) η si misura in dine / cm s -1 = Poise (P) ( c.g.s.) Viscosità dell acqua a 0 C 1 cp 13

14 MECCANICA DEI FLUIDI REGIME LAMINARE η funzione della temperatura t ( C) η (poise) H O... 0 C C C plasma alcool... 0 C etere... 0 C mercurio.. 0 C glicerina C aria C sangue (valore ematocrito 40%) 1 P = 10-1 Pa s 14

15 Legge di Poiseuille Ipotesi: Moto stazionario Liquido newtoniano Condotto cilindrico Gli strati di liquido sono cilindri coassiali che scorrono gli uni sugli altri con attrito interno. Lungo un qualunque diametro di una sezione del cilindro l andamento del Profilo di velocità profilo di velocità è parabolico con parabolico velocità nulla sulle pareti e massima sull asse del cilindro. r La pressione decresce linearmente nella direzione di scorrimento del p fluido (caduta di pressione). La caduta di pressione fornisce il l lavoro che compensa la perdita di energia per attrito interno. 15 p 1 p < p 1

16 ve elocità Rappresentazione 3-D del profilo di velocità nel moto di un liquido newtoniano in un condotto ( Legge di Poiseuille). 16

17 Legge di Poiseuille p 1 r p Q = ( p 1 p ) π r 4 /8ηl η = viscosità del liquido l Analogia con la legge di Ohm Q = p π r 4 /8ηl I = V / R I = q / t Q = V / t p Resistenza idraulica = R = Resistenza elettrica = R = = p / Q = 8 η l / π r 4 = V / I = ρ l / S Resistenze idrauliche in serie Resistenze idrauliche in parallelo R tot = R 1 + R + +R n 1/R tot = 1/R 1 +1/R + +1/R Potenza dissipata = Q p n V R tot = R 1 + R + + R n Resistenze elettriche in serie Resistenze 1/R tot = 1/R 1 + 1/R + + 1/R elettriche n in parallelo Potenza dissipata = I V 17

18 Legge di Poiseuille α 3 = 0 α A tg(α 1 ) -R B α 1 tg(α ) C v Gradiente di velocità profilo di velocità p 1 r G v Il gradiente di velocità G v rappresenta la pendenza del profilo parabolico di velocità. tg(α 3 ) R r La pendenza in un punto P del profilo di velocità è data dalla tangente trigonome_ trica dell angolo α formato tra la tangente geometrica alla parabola in P e l asse orizzontale. G v = tg (α) l R p 18

19 G v Il profilo della velocità lungo il raggio di un condotto cilindrico in cui scorre un fluido viscoso è rappresentato in figura. Quale dei sottostanti grafici può rappresentare il gradiente di velocità? G v G v v G v x x x x x v Il gradiente di velocità è la pendenza del profilo di velocità, cioè della funzione v(x). Pendenza nel punto O ( origine) = tang (α 1 ) α 3 Pendenza nel punto A = tang (α ) Pendenza nel punto B = tang (α 3 ) α O α 1 A B x α 1 < α < α 3 tg(α 1 ) < tg(α ) < tg(α 3 ) 19

20 Nel moto di un liquido perfetto il liquido ha la stessa velocità in tutti i punti di una stessa sezione. Moto alla Poiseuille Legge della portata Portata Q = S v v = velocità comune di tutti i punti della sezione Nel moto di un liquido newtoniano la velocità del liquido lungo ogni diametro di una sezione ha un p 1 r p profilo parabolico. l Portata v Q = S v m = velocità media su tutti i m punti della sezione Per un profilo di velocità parabolico v m = v max / v max è la velocità massima sulla sezione, cioè la velocità sull asse del condotto. 0

21 Moto turbolento Moto laminare: le velocità di tutti gli strati di liquidi si mantengono parallele. Gli strati di liquido mantengono la loro identità. F F Scorrimento semplice Moto alla Poiseuille Moto turbolento: le velocità degli strati non si mantengono parallele. Si formano vortici. Gli strati si mescolano. Per decidere se in una sezione di un condotto il moto è laminare o vorticoso si calcola il numero di Reynolds, R e Re = r v d / η R e 000 R e > 000 Moto laminare Moto turbolento 1