Corso di Fisica. Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1
|
|
- Graziana Di Giovanni
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso di Fisica Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1
2 Scalari e vettori Consideriamo una libreria. Per determinare quanti libri ci sono su uno scaffale basta individuare lo scaffale in questione e contare il numero di libri. Si ottiene l informazione cercata dando un numero. Si tratta di uno scalare Ma per individuare lo scaffale non basta dare un semplice numero ma piuttosto una sequenza di informazioni. Ad esempio: 1) Il secondo da destra 2) Il quinto dal basso In questo caso per definire l informazione occorre dare una sequenza ordinata di informazioni. Si tratta di un vettore Corso di Fisica 2
3 Proprietà degli scalari Dal punto di vista matematico uno scalare è caratterizzato da una particolare regola di trasformazione. Con linguaggio semplice possiamo dire che: Uno scalare è un invariante rispetto ad un cambio di riferimento. Di conseguenza tutti gli osservatori utilizzeranno lo stesso numero per indicare uno scalare Dal punto di vista matematico un vettore è caratterizzato da un altra regola di trasformazione. Con linguaggio semplice possiamo dire che: Un vettore, rispetto ad un cambio di riferimento, si trasforma secondo una opportuna regola. Di conseguenza ogni diverso osservatore utilizzerà una sequenza di indicazioni diverse per indicare un vettore Corso di Fisica 3
4 Rappresentazione di un vettore Come abbiamo detto un vettore è una grandezza descrivibile solo dando una n- tupla di valori. Di conseguenza possiamo rappresentarlo analiticamente dando proprio questa n-tupla ordinata: a = (x 1, x 2,., x n ) Dal punto di vista grafico, invece un vettore può essere rappresentato da un segmento orientato che ha origine in un punto A e termina in un punto B A B ccorre ora stabilire come collegare queste due rappresentazioni. A tale scopo dobbiamo definire un sistema di rappresentazione Corso di Fisica 4
5 Sistema di rappresentazione Per semplicità grafica riferiamoci ad un mondo a due dimensioni Consideriamo ora due assi orientati inclinati. Per poter usare il teorema di Pitagora e le formule della trigonometria conviene, ma non è obbligatorio, utilizzare assi orientati perpendicolari L intersezione dei due assi si chiama origine y asse delle ordinate Uno degli assi prende il nome di asse delle ascisse l altro prende il nome di asse delle ordinate asse delle ascisse x Corso di Fisica 5
6 Il vettore in coordinate rettangolari Costruiamo un sistema di due assi cartesiani ortogonali La rappresentazione che otterremo viene detta in coordinate rettangolari Prendiamo il vettore y a P a = (a x, a y ) x e disegniamolo sul sistema di assi in modo che l inizio del vettore coincida con l origine del riferimento ed il suo punto finale sia P Corso di Fisica 6
7 Rappresentazione del punto Consideriamo ora soltanto il punto P e tracciamo la proiezione di P sull asse delle ascisse, ottenendo il punto P x Tracciando poi la proiezione del punto P sull asse delle ordinate si ottiene il punto P y y P y P Il segmento P x prende il nome di coordinata di P lungo l asse x mentre Il segmento P y prende il nome di coordinata di P lungo l asse y P x x e scriveremo P (P x, P y ) Corso di Fisica 7
8 Rappresentazione del vettore Torniamo ora nostro vettore a = (a x, a y ) Proiettando il vettore sull asse x individuiamo un segmento orientato P x di lunghezza a x y P y P indicato col nome di componente del vettore a lungo l asse x La proiezione lungo l asse y individua un segmento orientato P y, di lunghezza a y a y a P x x indicato col nome di a x componente del vettore a lungo l asse y Corso di Fisica 8
9 Coordinate rettangolari L esistenza di una terza dimensione genera anche una a z indicata col nome di componente del vettore a lungo l asse z Indicheremo allora il vettore con la terna orientata a = (a x, a y, a z ) Poiché abbiamo utilizzato un sistema di assi ortogonali, questa tecnica di rappresentazione viene detta rappresentazione in coordinate rettangolari Tutte le leggi fisiche di carattere vettoriale devono essere scritte in coordinate rettangolari. Corso di Fisica 9
10 Altri sistemi di coordinate Anche se il sistema di coordinate di riferimento è il sistema di coordinate rettangolari è anche possibile costruire altri sistemi di coordinate, particolarmente utili a trattare alcuni problemi particolari. Ad esempio, consideriamo un punto appartenente ad una circonferenza. Per poterlo rappresentare in coordinate rettangolari dobbiamo fare uso delle due coordinate: P = (x P, y P ) Tutto ciò va bene ma non abbiamo fatto uso di una proprietà caratteristica del sistema La simmetria circolare Corso di Fisica 10 y y P x P P x
11 Sistema di coordinate polari Per sfruttare questa simmetria circolare costruiamo un nuovo sistema di coordinate: il sistema di coordinate polari A tale scopo utilizziamo a) Una semiretta orientata b) Un polo c) Un verso di rotazione Corso di Fisica 11
12 Coordinate polari In questo sistema di riferimento consideriamo un punto P: Questo punto P apparterrà ad una circonferenza di raggio R e la retta passante per il punto P ed il polo formerà, rispetto alla semiretta orientata un angolo θ La relazione tra la posizione del punto P e la coppia ordinata (R, θ) è biunivoca nel senso che ad ogni coppia corrisponde uno ed un sol punto e viceversa. R θ P Corso di Fisica 12
13 Vettore in coordinate polari Vediamo ora in un sistema di coordinate polari come possiamo rappresentare un vettore a Il raggio del cerchio di centro in e passante per l estremo finale del vettore ha lunghezza pari al vettore e viene detto a modulo del vettore mentre l angolo che tale vettore forma con la semiretta orientata prende il nome di θ angolo al polo Rappresenteremo allora il vettore con la coppia ordinata a = ( a, θ) a θ P Corso di Fisica 13
14 Coordinate rettangolari e polari Studiamo ora la relazione che esiste tra le coordinate rettangolari e quelle polari di un vettore. Consideriamo pertanto un sistema di coordinate rettangolari e sovrapponiamo ad esso un sistema di coordinate polari tali che il polo coincida con l origine e che la semiretta orientata coincida con l asse x. Individuando sia le coordinate rettangolari che quelle polari del vettore si genera un triangolo tale che AP a) L ipotenusa P coincide col vettore b) I cateti coincidono con le componenti c) L angolo in è l angolo al polo y a y a θ a x P A x Corso di Fisica 14
15 Conversione di coordinate Studiamo ora la relazione che esiste tra le coordinate rettangolari e quelle polari di un vettore. sservando il triangolo PA si vede che, per il teorema di Pitagora. a 2 = a x2 + a y 2 mentre, per le definizioni trigonometriche a x = sin(θ) a y = cos(θ) Queste tre relazioni permettono di passare agevolmente da un sistema di rappresentazione all altro. a θ a x P a y A Corso di Fisica 15
16 Caratteristiche di un vettore Vediamo ora alcune caratteristiche di un vettore. Per prima cosa possiamo osservare che un qualunque vettore ha una determinata lunghezza. a detta modulo del vettore Successivamente notiamo che esso si appoggia su una retta, detta di giacitura. ha cioè una direzione a ed infine notiamo che punta verso una regione dello spazio ha cioè un verso Possiamo allora dire che un vettore è caratterizzato dall avere un modulo, una direzione ed un verso Corso di Fisica 16
17 Versore Studiamo ora un vettore che abbia la caratteristica di avere modulo unitario. a = 1 Un vettore con questa caratteristica viene detto versore e viene rappresentato col simbolo a Si noti che la freccetta sopra la lettera rappresentativa del vettore è stata sostituita da un simbolo diverso Corso di Fisica 17
18 Versore di un asse Un sistema di coordinate rettangolari è costituito da tre assi mutuamente ortogonali. Prendiamo ora il vettore di componenti i = (1, 0, 0) Questo vettore ha modulo unitario e direzione e verso dell asse x. Viene detto Corrispondentemente vengono definiti il ed il versore dell asse x i = (0, 1, 0) versore dell asse y j = (0, 1, 0) versore dell asse z k = (0, 0, 1) Corso di Fisica 18
19 Rappresentazione di un vettore Per quanto detto prima un vettore di componenti a = (a x, a y, a z ) può essere rappresentato anche per mezzo dei versori degli assi a = a x i + a y j + a z k Di conseguenza una qualunque identità vettoriale è semplicemente una abbreviazione di { az a = b a x = b x a y = b y = b z Corso di Fisica 19
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione
DettagliVETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:
DettagliVettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliProdotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
DettagliStabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.
Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
DettagliCoordinate e Sistemi di Riferimento
Coordinate e Sistemi di Riferimento Sistemi di riferimento Quando vogliamo approcciare un problema per risolverlo quantitativamente, dobbiamo per prima cosa stabilire in che sistema di riferimento vogliamo
DettagliArgomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
DettagliLA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;
DettagliTrigonometria angoli e misure
Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico 27-28 R. Folgieri 27-28 1 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si
DettagliGeometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema
DettagliI numeri complessi. Andrea Corli 31 agosto Motivazione 1. 2 Definizioni 1. 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3
I numeri complessi Andrea Corli 3 agosto 009 Indice Motivazione Definizioni 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3 4 Radici di un numero complesso 4 5 Equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
Dettagli( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come
Coordinate polari Il sistema delle coordinate cartesiane è uno dei possibili sistemi per individuare la posizione di un punto del piano, relativamente ad un punto fisso O, mediante una coppia ordinata
Dettagli1 Nozioni utili sul piano cartesiano
Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliFunzioni goniometriche
Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione
DettagliV il segmento orientato. V con VETTORI. Costruzione di un vettore bidimensionale
VETTORI Costruzione di un vettore bidimensionale Nel piano con un righello si traccia una retta r tratteggiata Su r si disegna un segmento di lunghezza l d una delle estremità si disegni la punta di una
DettagliNel triangolo ABC la retta DE sia parallela alla base BC. La proposizione VI.2 afferma che AD: BD = AE: EC
OTTAVA LEZIONE- LE ISOMETRIE Talete e primo criterio di similitudine Prima di iniziare il nuovo argomento delle isometrie terminiamo l'esame dei libri di Euclide con l'enunciato (senza dimostrazione) del
DettagliTRIGONOMETRIA E COORDINATE
Y Y () X O (Y Y ) - α X (X X ) 200 c TRIGONOMETRI E OORDINTE ngoli e sistemi di misura angolare Funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei triangoli
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)
Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto
Dettagli1.4 Geometria analitica
1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le
DettagliLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
pag. 1 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Trasformazione geometrica Movimento rigido Traslazione Simmetria Costruzione di due punti simmetrici rispetto ad una retta Poligoni aventi assi di simmetria Rotazione
DettagliGrandezze geometriche e fisiche. In topografia si studiano le grandezze geometriche: superfici angoli
Topografia la scienza che studia i mezzi e i procedimenti operativi per il rilevamento e la rappresentazione grafica, su superficie piana (un foglio di carta) di una porzione limitata di terreno.... è
DettagliCENNI DI TRIGONOMETRIA
CENNI DI TRIGONOMETRIA Seno Consideriamo una circonferenza C e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che la circonferenza C sia centrata nell origine degli assi e abbia raggio. Dall origine
Dettagliil discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere
Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
DettagliLa lunghezza dei vettori e legata alle operazioni sui vettori nel modo seguente: Consideriamo due vettori v, w e il vettore v + w loro somma.
Matematica II, 20.2.. Lunghezza di un vettore nel piano Consideriamo il piano vettoriale geometrico P O. Scelto un segmento come unita, possiamo parlare di lunghezza di un vettore v P O rispetto a tale
DettagliPROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE ISTITUTO PROFESSIONALE COMMERCIALE MATEMATICA
PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE ISTITUTO PROFESSIONALE COMMERCIALE MATEMATICA CLASSE TERZA IPC COMPETENZE 42) Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliGEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO
GEOMETRI NLITIC 1 IL PINO CRTESINO Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate e tra loro perpendicolari chiamate assi cartesiani, generalmente una orizzontale e l altra verticale, sulle quali
DettagliTRIGONOMETRIA. Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto.
TRIGONOMETRIA DA RICORDARE: Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 80 Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90 Due angoli si dicono opposti quando la
Dettagli1- Geometria dello spazio. Vettori
1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliUna circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto
La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliC C B B. Fig. C4.1 Isometria.
4. Isometrie 4.1 Definizione di isometria Date due figure congruenti è possibile passare da una all altra con una trasformazione. Una trasformazione geometrica in un piano è una funzione biunivoca che
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
DettagliIllustrazione 1: Telaio. Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali
Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali Materiale utilizzato: Telaio (carrucole,supporto,filo), pesi, goniometro o foglio con goniometro stampato, righello Premessa
Dettaglia) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni
Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
DettagliUna libreria di funzioni per la geometria analitica
Una libreria di funzioni per la geometria analitica Michele Impedovo La geometria analitica del piano costituisce uno dei più importanti e consolidati argomenti di matematica. Un lavoro interessante parallelo
DettagliIl valore assoluto (lunghezza, intensita )
Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza
DettagliLa matematica del CAD. Vettori e Matrici
La matematica del CAD Vettori e Matrici IUAV Disegno Digitale Camillo Trevisan I programmi CAD riducono tutti i problemi geometrici in problemi analitici: la proiezione di un punto su un piano viene, ad
DettagliCORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica
ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo
DettagliEsercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia
Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia dott.ssa Marilena Ligabò November 24, 2015 1 Esercizi sulla notazione scientifica Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando
DettagliLiceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Reggio Calabria. PROGRAMMA DI MATEMATICA Per la classe IV sez.d Anno scolastico 2012/13
Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Reggio Calabria PROGRAMMA DI MATEMATICA Per la classe IV sez.d Anno scolastico 2012/13 Modulo 1: Le coniche Geometria elementare retta e circonferenza nel piano
DettagliCerchio di Mohr. n y. n x
t nm m t n P n s n Sia P un punto generico del continuo e z una generica retta passante per esso. Fissato un riferimento cartesiano {,, z}, siano n=[n n 0] T ed m=[m m 0] T due versori ortogonali nel piano
Dettaglix1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3
Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliI.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax
I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 marconi@provincia.padova.it www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia
DettagliPrerequisiti di Matematica Trigonometria
Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Angoli Un angolo è una porzione di piano
DettagliCorso di Analisi: Algebra di Base. 7^ Lezione
Corso di Analisi: Algebra di Base 7^ Lezione Goniometria.Elementi di trigonometria piana. Unità di misura degli angoli. Misura di angoli orientati. Circonferenza goniometrica. Angoli e archi noti. Le funzioni,
Dettagligino copelli lezioni di scienza della rappresentazione appunti 2012
gino copelli lezioni di scienza della rappresentazione appunti 2012 Simbologia Il punto, la linea e la superficie sono enti geometrici fondamentali. I punti si indicano con lettere maiuscole dell alfabeto
DettagliProspettiva a quadro verticale
Prospettiva a quadro verticale Tr 1 P 2 P 1 Rappresentiamo una retta r, posta su π 1 nelle proiezioni ortogonali, un punto P (punto di vista) ed il quadro verticale α. Vogliamo proiettare la retta r sul
Dettagli2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.
CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere
DettagliCorso multimediale di matematica
2006 GEOMETRIA ANALITICA Il piano cartesiano rof. Calogero Contrino iano cartesiano Su un piano, si considerino due rette incidenti, sulle quali siano fissati due sistemi di ascisse. Si trasli una delle
DettagliNote di geometria analitica nel piano
Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................
DettagliGEOMETRIA /2009 II
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE Misura degli angoli Seno, coseno e tangente di un angolo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Angoli notevoli Grafici delle funzioni goniometriche GONIOMETRIA : scienza
DettagliUNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA
UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme
DettagliCORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO
CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY,
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
DettagliCoordiante omogenee e proiezioni
CAPITOLO 15 Coordiante omogenee e proiezioni Esercizio 15.1. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l equazione della retta r passante per i punti A(2,) e B( 1,0) e della retta s passante per
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
Dettaglipunti uniti rette di punti uniti rette unite qual è la trasformazione inversa
3) Dì quali sono i punti uniti, le rette di punti uniti, le rette unite di una a) simmetria centrale b) simmetria assiale c) traslazione d) rotazione e) omotetia Simmetria centrale: si ha un solo punto
DettagliPiano cartesiano e Retta
Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L
DettagliLa composizione di isometrie
La composizione di isometrie Quello che è più interessante in una trasformazione geometrica è studiare quali effetti ha sulle figure e soprattutto valutare quali proprietà delle figure di partenza si conservano
DettagliQuesto paragrafo e quello successivo trattano gli stessi argomenti del capitolo B6 relativo alla soluzione grafica dei sistemi di primo grado.
D1. Retta D1.1 Equazione implicita ed esplicita Ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta sul piano cartesiano (e viceversa). Si può scrivere un equazione di primo grado in due
DettagliPIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010
PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).
DettagliRicordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:
La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione
DettagliLEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),
LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con
DettagliProtocollo dei saperi imprescindibili ORDINE DI SCUOLA: LICEO
Protocollo dei saperi imprescindibili ORDINE DI SCUOLA: LICEO DISCIPLINA: MATEMATICA RESPONSABILE: CAGNESCHI F. IMPERATORE D. CLASSE: prima Liceo Artistico e Musicale - Numeri naturali, interi, razionali
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
Dettagli1 Rette e piani nello spazio
1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le
DettagliLa retta nel piano cartesiano
La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliRisoluzione dei triangoli rettangoli
Risoluzione dei triangoli rettangoli In questa dispensa esamineremo il problema della risoluzione dei triangoli rettangoli. Riprendendo la definizione di seno e coseno, mostreremo come questi si possano
Dettagli1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione
1 La traslazione Per poter applicare una traslazione ad una generica figura geometrica si deve: ± creare il vettore di traslazione AB mediante il comando Vettore tra due punti; ± cliccare con il mouse
DettagliLavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 )
Testo 1: Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 ) Lavoro di gruppo T1: discuti assieme ai tuoi compagni il significato di quanto hai letto
DettagliLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LA SIMMETRIA ASSIALE Definizione: il simmetrico P di un punto P, rispetto alla simmetria assiale di asse r gode delle seguenti proprietà: P e P sono equidistanti da r e il
DettagliDistanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2
Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def. Circonferenza Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una
DettagliAppunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano
Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane
DettagliProtocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale
Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale DISCIPLINA: MATEMATICA RESPONSABILE: CAGNESCHI F. IMPERATORE D. CLASSE: prima servizi commerciali Utilizzare le tecniche e le procedure
DettagliSuperfici e solidi di rotazione. Cilindri indefiniti
Superfici e solidi di rotazione Consideriamo un semipiano α, delimitato da una retta a, e sul semipiano una curva g; facendo ruotare il semipiano in un giro completo attorno alla retta a, la curva g descrive
DettagliCarlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Luglio, matematicamente.it Luglio 1948, primo problema
Luglio 1948, primo problema In un cerchio di raggio r è condotta una corda AB la cui distanza dal centro è r/. Inscrivere nel segmento circolare che non contiene il centro, un triangolo ABC in modo che
DettagliCapitolo VIII Polarità
Capitolo VIII Polarità 1 Polarità definita da una conica Una conica K non degenere (cioè un ellisse, una parabola oppure un iperbole) determina una corrispondenza tra punti e rette del piano, detta polarità.
DettagliCapitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio
Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore
DettagliEsercizi sul Calcolo Vettoriale 10/10/2014
Esercizi sul Calcolo Vettoriale 10/10/2014 Problema 1. Fissata una terna cartesiana eortogonale e dati due vettori a=11 î 7 ĵ +9 k, b=14 î+5 ĵ k determinare modulo, direzione e verso sia della somma a+
DettagliLEZIONE 6. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 6 6.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano S 2 e nello spazio S 3 ordinari (cioè in cui
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE ANGOLI Col termine angolo indichiamo la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine, chiamata vertice. Possiamo definire anche l angolo come la parte di piano
Dettagli