Fin qui si sono considerate le variabili casuali ciascuna per proprio conto. Ora consideriamo la possibilità di relazioni tra variabili.

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1 Sistemi di variabili casuali Fin qui si sono considerate le variabili casuali ciascuna per proprio conto. Ora consideriamo la possibilità di relazioni tra variabili. Esempi: - il massimo annuale della portata al colmo alla Becca e alla Miorina - la portata media giornaliera in un certo giorno dell'anno e quella del giorno precedente - il totale annuo di precipitazione in una stazione pluviometrica e quello in una stazione vicina - il totale annuo di precipitazione in una stazione pluviometrica e quelli in più stazioni vicine - il deflusso annuo in una stazione di portata e quello in una stazione a monte - il deflusso annuo in una stazione di portata e quello in più stazioni della stessa regione La distribuzione di x 1 è diversa a seconda che i valori delle variabili x 2, x 3,... siano alti, bassi oppure incogniti. Per definire un sistema di variabili casuali è necessario stabilire una corrispondenza tra i valori osservati; l'osservazione diventa un'entità vettoriale. Caso di una sola variabile (continua): - l'osservazione si può rappresentare con un punto su una retta orientata - la probabilità di non superamento di un valore è la probabilità che il punto che rappresenta l'osservazione ricada in una semiretta - la probabilità che l'osservazione ricada in un intervallo di valori è la probabilità che il punto che rappresenta l'osservazione ricada in un segmento - la densità di probabilità è la funzione che moltiplicata per dx dà la probabilità di ricadere nell'intervallo infinitesimo - l'integrale della densità di probabilità su una semiretta è la probabilità di non superamento di un valore assegnato Caso di due variabili (continue) - l'osservazione si può rappresentare con un punto su un piano cartesiano

2 - la probabilità di non superamento di una coppia di valori è la probabilità che il punto che rappresenta l'osservazione ricada in un quadrante - la probabilità che un'osservazione ricada in due intervalli di valori assegnati è la probabilità che il punto che rappresenta l'osservazione ricada in un rettangolo - la densità di probabilità è la funzione che moltiplicata per dx 1 dx 2 dà la probabilità di ricadere nel rettangolo infinitesimo - l'integrale della densità di probabilità su un quadrante è la probabilità di non superamento di due valori assegnati Funzioni di probabilità Funzione di probabilità della distribuzione congiunta P(x 1, x 2 ): probabilità che contemporaneamente sussistano le disuguaglianze x 1 x 1a x 2 x 2a Relazione tra densità di probabilità p(x 1, x 2 ) e probabilità P(x 1, x 2 ): x 1 P(x 1, x 2 ) = x 2p(x1, x 2 )dx 1 dx 2. Funzione di probabilità marginale di x 1 : P(x 1a ) = Prob{x 1 x 1a } Funzione di probabilità di x 1 condizionata a x 2 : P(x 1a x 2a ) = Prob{x 1 x 1a x 2 = x 2a } Variabili indipendenti: P(x 1 x 2 ) = P(x 1 )

3 x 2 dx 2 x 2a dx 1 x 1a x 1 x 2 dx 2 x 2a x 1a dx 1 x 1

4 Legame tra probabilità congiunta e probabilità condizionata L'evento per cui un'osservazione ricade nel rettangolo infinitesimo di lati dx 1 e dx 2 è un evento composto. I due eventi elementari sono quello per cui l'osservazione ricade nella striscia di larghezza dx 1 e quello per cui l'osservazione ricade nella striscia di larghezza dx 2. La probabilità di ricadere nella striscia verticale è p(x 1a )dx 1. La probabilità di ricadere nel rettangolino, a condizione che si sia nella striscia verticale, è p(x 2a x 1a )dx 2. Il prodotto delle due probabilità è uguale alla probabilità incondizionata di ricadere nel rettangolino p(x 1a )dx 1 p(x 2a x 1a )dx 2 = p(x 1a, x 2a )dx 1 dx 2 Quindi p(x 1, x 2 ) = p(x 1 )p(x 2 x 1 ) = p(x 2 )p(x 1 x 2 ) Se x 1, x 2 sono tra loro indipendenti: p(x 2 x 1 ) = p(x 2 ) p(x 1 x 2 ) = p(x 1 ) p(x 1, x 2 ) = p(x 1 )p(x 2 ) La variabile condizionante non è necessariamente una variabile casuale. Esempi: - il massimo annuale della portata al colmo (osservato in una stazione di una certa regione) e l'area del bacino - l'altezza di precipitazione totale annua e la quota della stazione I risultati si estendono ai sistemi costituiti da più di due variabili casuali. Caso importante: la distribuzione congiunta di due variabili, marginale rispetto a tutte le altre variabili.

5 Momenti Nel caso di una sola variabile µ' r (x) = (x - x ) r p(x)dx µ(x) = xp(x)dx µ r (x) = [x - µ(x)] r p(x)dx σ 2 (x) = [x - µ(x)] 2 p(x)dx Nel caso di due variabili casuali momento multiplo covarianza µ' rs (x 1, x 2 ) = σ(x 1, x 2 ) = coefficiente di correlazione lineare ρ(x 1, x 2 ) = [x 1 - x 1 ] r [x 2 - x 2 ] s p(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 [x 1 - µ(x 1 )] [x 2 - µ(x 2 )] p(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 σ(x 1, x 2 ) σ(x 1 ) σ(x 2 )

6 Rappresentazione compatta delle variabili e dei parametri (ogni osservazione è un vettore): x = x 1 x 2 x p µ = µ 1 µ 2 µ p Σ = σ 11 σ 12 σ 1p σ 21 σ 22 σ 2p σ p1 σ p2 σ pp Stime Per la generica variabile x (che può coincidere con x 1, x 2,...): stima di µ(x) m(x) = 1 N i=1 N xi stima di σ 2 (x) s 2 (x) = 1 N i=1 N [xi - m(x)] 2

7 Per una generica coppia di variabili x 1, x 2 : stima di σ(x 1, x 2 ) s(x 1, x 2 ) = 1 N 1=1 N [x1i - m(x 1 )][x 2i - m(x 2 )] Il metodo della massima verosimiglianza Il metodo della massima verosimiglianza è un metodo di stima dei parametri. Qui si considera solo il caso della distribuzione di una sola variabile x, caratterizzata da s parametri. Si considera un campione di N osservazioni estratte indipendentemente l'una dall'altra dalla distribuzione data (che è sempre la stessa) come una singola osservazione (vettoriale) estratta da un sistema di N variabili casuali, tra loro indipendenti, con distribuzione marginale identica per tutte le variabili. La densità di probabilità della distribuzione congiunta delle N variabili è p(x 1, x 2,...,x N ; θ 1, θ 2,..., θ s ) = = p(x 1 ; θ 1, θ 2,...,θ s ) p(x 2 ; θ 1, θ 2,...,θ s )... p(x N ; θ 1, θ,...,θ s ). In corrispondenza dei valori osservati x * 1, x * 2,..., x * N la densità di probabilità (che prende il nome di funzione di verosimiglianza, perchè il campione è tanto più verosimile quanto più alta è la densità di probabilità) diventa p(x * 1, x * 2,..., x * N ; θ 1, θ 2,...,θ s ). Il metodo della massima verosimiglianza consiste nell'attribuire ai parametri θ 1, θ 2,..., θ s i valori che rendono massima la funzione di verosimiglianza. I valori si determinano risolvendo il sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali della funzione di verosimiglianza calcolate rispetto ai parametri θ 1, θ 2,..., θ s.