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1 Sommario Prefazione... xi Introduzione: alcune idee fondamentali Relazioni Funzioni Ordinamenti Estremo inferiore ed estremo superiore Massimi e minimi di funzioni...5 Capitolo 1 Sommare e moltiplicare: gli spazi vettoriali...9 Introduzione Spazi vettoriali: definizioni ed esempi La definizione di spazio vettoriale Le n-uple ordinate di numeri reali (R n ) Le matrici di numeri reali di ordine (n m) (M n m ) Spazi vettoriali reali composti da funzioni Basi e dimensione di uno spazio vettoriale Combinazioni lineari, dipendenza lineare e basi Dimensione di uno spazio vettoriale Il prodotto scalare e il prodotto matriciale Il prodotto tra matrici Il prodotto tra matrici partizionate La matrice inversa Il prodotto matriciale come trasformazione lineare Determinanti Determinanti: preliminari e intuizioni geometriche Calcolo del determinante di matrici 2 2 e Minori e cofattori Proprietà dei determinanti Calcolo della matrice inversa Sistemi di equazioni lineari Sistemi la cui matrice dei coefficienti ha rango pieno Sistemi la cui matrice dei coefficienti non ha rango pieno Il calcolo della soluzione e la regola di Cramer...44

2 vi Sommario 1.7 L equazione caratteristica Definizioni Proprietà degli autovalori e autovettori Forme quadratiche...50 Parole chiave...52 Capitolo 2 Distanze e variazioni: gli spazi metrici...55 Introduzione Spazi metrici e spazi dotati di norma Continuità e convergenza Insiemi chiusi e aperti L assioma di continuità nella teoria dell utilità Differenziazione Derivate e differenziali di una funzione di una sola variabile: una breve rassegna Funzioni a più variabili e derivate parziali La formula di Taylor Derivate generalizzate Derivate direzionali, di Gateaux e di Fréchet Derivate di funzioni a valore vettoriale Il teorema della funzione implicita e la statica comparata Applicazioni della statica comparata: i modelli macroeconomici elementari Il modello IS-LM Un modello classico...91 Parole chiave...93 Capitolo 3 La forma delle funzioni: convessità, concavità e omogeneità...95 Introduzione Insiemi convessi Combinazioni convesse: definizione e interpretazione geometrica Insiemi convessi Funzioni concave e convesse Funzioni concave Funzioni convesse Funzioni quasi-concave e quasi-convesse Definizioni e proprietà Quasi-convessità Funzioni omogenee e omotetiche Applicazioni microeconomiche Proprietà cardinali e proprietà ordinali di una funzione di utilità Avversione al rischio Funzioni di supporto Un esempio di quasi-convessità Parole chiave...116

3 Sommario vii Capitolo 4 Equazioni e sistemi dinamici Introduzione Equazioni differenziali Definizioni Soluzioni Alcune equazioni differenziali notevoli Stabilità Metodi diagrammatici Curve di soluzione Diagrammi di fase Il modello di Solow Sistemi di equazioni differenziali Esistenza e unicità Stabilità Sistemi lineari di equazioni differenziali Definizione e classificazione Soluzioni generali e soluzioni particolari nei sistemi omogenei La soluzione dei sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine Sistemi lineari e stabilità Radici reali distinte con lo stesso segno (nodi stabili e instabili) Radici reali distinte con segni eterogenei (punti di sella) Radici complesse (fuochi e centri) Le radici ripetute (nodi impropri) La condizione di Routh-Hurwitz Un applicazione: la dinamica del modello IS-LM Sistemi non lineari Linearizzazione Diagrammi di fase Un applicazione economica: il diagramma di fase nel modello di Ramsey Equazioni e sistemi di equazioni alle differenze Sistemi di equazioni lineari alle differenze Preliminari Soluzioni Stabilità Metodi qualitativi e linearizzazione Problemi a equazione singola Sistemi di due equazioni Linearizzazione Parole chiave Capitolo 5 La massimizzazione libera e il calcolo delle variazioni Introduzione Definizioni Formulazione del problema e terminologia Condizioni necessarie e condizioni sufficienti...189

4 viii Sommario 5.2 Ottimizzazione libera in problemi a dimensione finita Condizioni necessarie del primo ordine Condizioni necessarie e condizioni sufficienti del secondo ordine Estensioni e applicazioni dell ottimizzazione libera Statica comparata in un problema di ottimizzazione libera Il lemma di Shephard Ottimizzazione in spazi a dimensione infinita La prospettiva generale Una condizione necessaria ll più semplice problema di calcolo delle variazioni Formulazione e ipotesi La condizione di Eulero Altre condizioni necessarie e condizioni sufficienti Condizioni terminali Condizioni necessarie e condizioni terminali Valori terminali fissi e liberi Orizzonte di programmazione infinito Un estensione del dominio del funzionale obiettivo Due modelli di risparmio ottimale Il modello di Ramsey Il modello AK Parole chiave Capitolo 6 La programmazione vincolata Introduzione Una prospettiva generale sui problemi vincolati I problemi principali Risolubilità locale Una condizione necessaria Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange Le condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange Una prospettiva d insieme sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange Problemi vincolati da diseguaglianze Le condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange in un problema vincolato solo da diseguaglianze Qualificazioni sui vincoli Considerazioni sulle complementary slackness conditions Problemi vincolati da eguaglianze Osservazioni conclusive sulle condizioni del primo ordine Mancanza di risolubilità La condizione generalizzata di AHU Condizioni necessarie del secondo ordine e condizioni sufficienti Programmazione concava e quasi-concava Programmazione concava Programmazione quasi-concava...252

5 Sommario ix 6.8 Statica comparata nei problemi di ottimizzazione vincolata Differenziazione delle condizioni del primo ordine Funzioni valore Il teorema dell inviluppo La teoria del consumatore Massimizzazione dell utilità Statica comparata del problema di massimizzazione dell utilità Il lemma di Roy Minimizzazione della spesa Statica comparata del problema di minimizzazione della spesa Relazione tra i problemi di massimizzazione dell utilità e minimizzazione della spesa Una rivisitazione del modello di Ramsey con il metodo di Lagrange Il modello di risparmio ottimale con tempo discreto I moltiplicatori di Lagrange in un modello con tempo continuo Parole chiave Capitolo 7 La programmazione in spazi a dimensione infinita Introduzione I problemi di massimizzazione a dimensione infinita: una condizione necessaria Enunciato e generalità Spazi e coni duali Il teorema di Karush-Kuhn-Tucker Il problema di controllo ottimo Enunciato e preliminari L applicazione del teorema KKT al problema di controllo ottimo Il problema più semplice di calcolo delle variazioni in una nuova veste Più variabili di stato e di controllo La funzione hamiltoniana Condizioni terminali alternative nel problema di controllo ottimo Condizioni terminali alternative Validità delle condizioni di Karush-Kuhn-Tucker Altre condizioni necessarie Problemi con orizzonte infinito Condizioni necessarie Condizioni terminali Condizioni sufficienti Una rivisitazione del modello di Ramsey e del modello AK Il modello di Ramsey Il modello AK Il modello di Lucas Altri vincoli Vincolo in forma di integrale Vincoli in forma di diseguaglianza...314

6 x Sommario 7.8 Un problema con vincolo in forma di integrale e di diseguaglianza: l estrazione ottimale di una risorsa naturale Diseguaglianze in un problema di controllo ottimo Vincoli in forma di diseguaglianza sulle variabili di stato e di controllo Un modello di crescita sovietico Incentivi ottimali Il problema economico e la soluzione con informazione simmetrica La soluzione con informazione asimmetrica Parole chiave Appendice A Prova della proposizione Appendice B La definizione di determinante Appendice C Differenziazione in spazi di funzioni Appendice D Teorema di separazione Appendice E Prova della proposizione (lemma di Dubois-Rémond) Appendice F Prova della proposizione Appendice G La definizione di lim inf Soluzioni agli esercizi Suggerimenti bibliografici e bibliografia...431

iv Indice c

iv Indice c Indice Prefazione ix 1 Numeri 1 1 Insiemi e logica 1 1.1 Concetti di base sugli insiemi 1 1.2 Un po di logica elementare 9 2 Sommatorie e coefficienti binomiali 13 2.1 Il simbolo di sommatoria 13 2.2 Fattoriale

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