Esercizi sulle serie di Fourier

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1 Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre delle funzioni in serie di Fourier con l bse degli esponenzili, ossi ϕ k = Ae iklx, dove A ed l sono delle costnti che dipendono dll intervllo considerto. Per uniformità di notzione, si suggerisce di indicre con c k il coefficiente di ϕ k in questo sviluppo, ossi vere f = k c k ϕ k. Esercizio. Si sviluppi in serie di Fourier sull intervllo I = [ π, π] l funzione f(x) = cos (x). Esercizio. Si sviluppi in serie di Fourier sull intervllo I = [ π/, π/] l funzione f(x) = cos (x). Esercizio 3. Si sviluppi in serie di Fourier sull intervllo I = [, π] l funzione f(x) = cos (x). Esercizio. Si sviluppi in serie di Fourier sull intervllo I = [ π, π] l funzione f(x) = x. Esercizio 5. Si sviluppi in serie di Fourier sull intervllo I = [ π, π] l funzione f(x) = x 3. Sviluppo in serie di Fourier (seni e coseni) In questi esercizi, si richiede di sviluppre delle funzioni in serie di Fourier con l bse delle funzioni trigonometriche, ossi ϕ = (/ L), ϕ + k = (/ L/) cos(klx), ϕ k = (/ L/) sin(klx),

2 dove l = (π/l) è un costnte che dipende dll intervllo considerto. Per uniformità di notzione, si suggerisce di indicre con k il coefficiente di ϕ + k in questo sviluppo e con b k quello di ϕ k, ossi vere f = L + L k cos(klx) + b k sin(klx). k Esercizio. Si sviluppi in serie di Fourier trigonometric sull intervllo I = [ π, π] l funzione f(x) = cos (x). Esercizio 7. Si sviluppi in serie di Fourier trigonometric sull intervllo I = [ π/, π/] l funzione f(x) = cos (x). Esercizio 8. Si sviluppi in serie di Fourier trigonometric sull intervllo I = [, π] l funzione f(x) = cos (x). Esercizio 9. Si sviluppi in serie di Fourier trigonometric sull intervllo I = [ π, π] l funzione f(x) = x. Esercizio. Si sviluppi in serie di Fourier trigonometric sull intervllo I = [ π, π] l funzione f(x) = x 3. 3 Altri esercizi Esercizio. Si consideri l funzione f(x) definit su I = [ π, π] ed ottenut prolungndo l funzione f (x) = cos (x) definit su I = [, π] per ntisimmetri rispetto d x =. Si fornisc lo sviluppo in serie di Fourier di f(x). Esercizio. Si consideri l funzione f(x) definit su I = [ π, π] ed ottenut prolungndo l funzione f (x) = sin (x) definit su I = [, π] per simmetri rispetto d x =. Si fornisc lo sviluppo in serie di Fourier di f(x). Esercizio 3. Si consideri l funzione f(x) definit su I = [ π, π] ed ottenut prolungndo l funzione f (x) = x definit su I = [, π] per ntisimmetri rispetto d x =. Si fornisc lo sviluppo in serie di Fourier di f(x). Esercizio. Si consideri l funzione f(x) definit su I = [ π, π] ed ottenut prolungndo l funzione f (x) = x 3 (x) definit su I = [, π] per simmetri rispetto d x =. Si fornisc lo sviluppo in serie di Fourier di f(x). Esercizio 5. Si consideri l funzione f(x) definit su I = [ π, π] ed ottenut prolungndo l funzione f (x) = x + x definit su I = [, π] per simmetri rispetto d x =. Si fornisc lo sviluppo in serie di Fourier di f(x).

3 Soluzioni. Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) Le funzioni ϕ k = e iklx (k Z) devono essere periodiche di periodo L pri ll lunghezz dell intervllo considerto, quindi deve essere ll = π, ossi l = (π/l). Inoltre, esse devono essere ortonormli; l ortogonlità è ssicurt (con l come sopr) dlle proprietà generli, mentre per l normlizzzione bbimo +L ϕ k = A e ilx dx = L A. Sceglieremo quindi A = / L. Con quest scelt delle costnti A ed l, e con I = [, b], L = b, i coefficienti c k srnno dti d c k = (ϕ k, f) = L b [ ] e ik(π/l)x f(x) dx. Esercizio. Or L = π, (π/l) =, e ricordndo nche che ϕ k = π e ikx ; cos (x) = + cos(x) = [ + eix + e ix ] = π [ϕ + ϕ + ϕ ], bbimo immeditmente che π/ per k = c k = (ϕ k, f) = (/) π/ per k = ± ltrimenti. Si può nturlmente giungere ll stess conclusione clcolndo direttmente gli integrli che forniscono i coefficienti: c k = π (/ π) e ikx cos (x) dx. Esercizio. L funzione è l stess considert nell esercizio precedente, ed nche l lunghezz dell intervllo considerto è l stess, pur trttndosi di un intervllo diverso. Ciò non h però nessun conseguenz, trttndosi di funzioni 3

4 periodiche, di periodo π le ϕ k e di periodo π (e dunque nche di periodo π) l f (si noti che questo dipende dll scelt di f). Il risultto srà dunque lo stesso che per l esercizio precedente, π/ per k = c k = (ϕ k, f) = (/) π/ per k = ± ltrimenti. Esercizio 3. Or, pur vendo l stess funzione, l intervllo considerto è diverso. Avremo quindi L = π, l = (π/l) =, e pertnto ϕ k = π e ikx (k Z). Rest vero che cos (x) = [ + cos(x)]/, m or questo conduce cos (x) = [ + eix + e ix ] π = [ϕ + ϕ + ϕ ], e quindi c k = (ϕ k, f) = { π/ per k = π/ per k = ± ltrimenti. Esercizio. In questo cso L = π, l =, e le funzioni di bse sono Dobbimo quindi clcolre ϕ k = π e ikπ (k Z). c k = π Utilizzndo le tvole degli integrli, risult ϕ k x dx. c = π (π /3) ; c k = ( ) k π (/k ) (k ). (Si noti che c k = c k, come segue dl ftto che f è pri.) In ltre prole l funzione x può essere espress in serie di Fourier come x = [ π π 3 π + ( e ikx k + e ikx)] π = π k= 3 + ( ) k k cos(kx). k=

5 Figure : Le prime pprossimzioni f k per f(x) = x ; le figure si riferiscono k =,, 3,. L pprossimzione è ovvimente meno buon vicino l bordo dell intervllo. 8 Figure : Sviluppo przile d ordine 5 per f(x) = x ; l convergenz è molto buon nche in senso puntule. 5

6 Figure 3: Le prime pprossimzioni f k per f(x) = x 3 ; le figure si riferiscono k =,, 3,. E interessnte considerre le serie di Fourier przili, f n (x) := n k= n c kϕ k (x). Queste sono grficte in Figur per mostrre come f k f. Esercizio 5. Procedendo come nell esercizio precedente, bbimo c = (come ovvio, dto che l funzione è dispri), e c k = ( ) k i π k 3 (k π ). (Si noti che c k = c k, come segue dl ftto che f è dispri.) Abbimo quindi f(x) = k = c k ϕ k k= = i π k= ( ) k k π k 3 ( ) k k π k 3 sin(kx). e ikx e ikx π Considerimo nuovmente le serie przili di Fourier, f n = k n c kϕ k. In questo cso, l convergenz è più lent; inoltre, f(π) f( π) (in effetti, f( π) = f(π)), cosicché lo sviluppo in funzioni periodiche h inevitbilmente un slto in x = ±π. In corrispondenz di questo, si osserv il fenomeno di Gibbs.

7 Figure : Approssimzioni successive f k per f(x) = x 3 ; le figure si riferiscono k = 5,, 5, Figure 5: Sviluppo przile d ordine 5 per f(x) = x 3 ; si osserv chirmente il fenomeno di Gibbs. 7

8 . Sviluppo in serie di Fourier trigonometric Le funzioni ϕ ± k (k Z) devono essere periodiche di periodo L pri ll lunghezz dell intervllo considerto, quindi deve essere ll = π, ossi nuovmente l = (π/l). Con quest scelt dell costnte l, e con I = [, b], L = b, i coefficienti srnno dti d = (/L) k = (/L) b k = (/L) b b b Lo sviluppo dell funzione srà dunque f(x) dx, cos[(π/l)kx] f(x) dx, sin[(π/l)kx] f(x) dx. f(x) = /L + /L k k cos[(π/l)kx] + /L k b k sin[(π/l)kx] = L b + L + L b f(x) dx + b cos((π/l)kx) f(x) dx + sin((π/l)kx) f(x) dx. Esercizio. Or L = π, (π/l) =. Ricordndo nuovmente che cos (x) = + cos(x) = π/ϕ + ( π/)ϕ +, bbimo immeditmente che i soli coefficienti non nulli sono = π/, = ( π/). Si può nturlmente giungere ll stess conclusione clcolndo direttmente gli integrli che forniscono i coefficienti; l nnullrsi dei b k segue immeditmente d considerzioni di prità, mentre per gli k bbimo = /(π) cos (x)dx = π/, k = /π cos (x) cos(kx)dx = /π (π/)δ k. 8

9 Esercizio 7. L funzione è l stess considert nell esercizio precedente, ed nche l lunghezz dell intervllo considerto è l stess, pur trttndosi di un intervllo diverso. Ciò non h però nessun conseguenz, trttndosi di funzioni periodiche di periodo π pri ll lunghezz dell intervllo. Il risultto srà dunque lo stesso che per l esercizio precedente. Esercizio 8. Or, pur vendo l stess funzione, l intervllo considerto è diverso. Avremo quindi L = π, l = (π/l) =, e pertnto ϕ + k = π/ cos(kx), ϕ k = π/ sin(kx) (k Z). Rest vero che cos (x) = [ + cos(x)]/, m or questo conduce cos (x) sin(kx) dx =, cos (x) dx = π/, cos (x) cos(±x) dx = π/, cos (x) cos(kx) dx = (k =, ±). Ne segue che, come ovvio, lo sviluppo in serie trigonometric non è ltri che cos (x) = [ + cos(x)]. Esercizio 9. In questo cso L = π, l =. Abbimo quindi = k = b k = π π π π π π x dx = π π 3 ; x cos(kx) dx = ( ) k π k ; x sin(kx) dx =. L serie di Fourier corrispondente è quindi f(x) = π 3 + k ( ) k k cos(kx) ; 9

10 nturlmente è l stess già clcolt prtire dllo sviluppo in esponenzili immginri. Esercizio. Procedendo come nell esercizio precedente, bbimo k = (come ovvio, dto che l funzione è dispri), e b k = π π x sin(kx) dx = ( ) k (k π ) π k 3. L serie di Fourier corrispondente è quindi k= ( k ( ) k π ) k 3 sin(kx), che nturlmente coincide con quell clcolt prtire dllo sviluppo in esponenzili immginri..3 Altri esercizi In questo cso è conveniente procedere l clcolo dei coefficienti spezzndo l integrzione su [ L, L] in un integrzione su [ L, ] ed in un su [, L]. E inoltre possibile effetture un sol delle due integrzioni, usndo le proprietà di simmetri dell funzione. Le funzioni di bse srnno (tutti gli esercizi proposti sono su [ π, π]) ϕ = /π, ϕ + k = /π cos(kx) ; ϕ k = /π sin(kx). Esercizio. L funzione f è definit d f = { cos (x) per x (, π) cos ( x) = cos (x) per x ( π, ). Nei punti x =, x = ±π ssegneremo f() = f(±π) =. Dto che l funzione è ntisimmetric, vremo un serie di soli seni, e possimo scrivere π b k = f(x) sin(kx) dx π π π = f(x) sin(kx) dx π π = cos (x) sin(kx) dx. π

11 Figure : Confronto tr f(x) e l pprossimzione con i primi modi di Fourier non nulli per l esercizio. Si ottiene fcilmente che b k = per k pri. Per k dispri, k = m +, bbimo b m+ = questo si scrive nche come In conclusione, f(x) = b k = π m= (m + m ) (m ) (3 + m) π ; (k ) k π (k ) (m + m ) (m ) (3 + m) (k dispri). sin[(m + )x]. Esercizio. In questo cso, vendo un funzione pri, si vrà evidentemente un serie di soli coseni. Il coefficiente è clcolto fcilmente considerndo che ϕ coincide con l medi di sin (x) su [, π], che è (/), e dunque = ( π/) = π/. Gli ltri coefficienti sono dti d π b k = f(x) cos(kx) dx π π π = f(x) cos(kx) dx π π = sin (x) cos(kx) dx. π D questi risult che k = π/ per k = π/ per k = per k,.

12 5-5 - Figure 7: Confronto tr f(x) e l pprossimzione con i primi 3 modi di Fourier non nulli per l esercizio 3. In effetti, sin (x) = cos(x). Esercizio 3. Abbimo un serie di soli seni, con b k = ( )k ( k π ) k 3 π, e nturlmente f(x) = k b k sin(kx) π = π k ( ) k ( k π ) k 3 sin(kx). Esercizio. Or si h un funzione di soli coseni; bbimo = ( π/)π 3 e k = k π [( )k (k π ) + ] (k ) ; l serie è quindi f(x) = π3 + k πk [( )k (k π ) + ] cos(kx). Esercizio 5. Si trtterà di un serie di soli coseni. E conveniente ricordre che l serie di Fourier di un somm di funzioni è l somm delle loro serie di Fourier. Scrivimo f (), f () per le funzioni ottenute estendendo per simmetri le funzioni x ed x rispettivmente; ed nlogmente per i loro coefficienti di Fourier.

13 Figure 8: Confronto tr f(x) e l pprossimzione con i primi 5 modi di Fourier non nulli per l esercizio. Abbimo fcilmente (clcolndo l medi delle funzioni in [, π]) () = π π/ ; () = π π/3. Per il clcolo degli ltri coefficienti, bbimo () k = π () k = π Segue d queste formule che f () = f () = π π 3 x cos(kx) = (( )k ) k π x π cos(kx) = π ( ) k k. m= + k cos((m + )x) ; (m + ) ( ) k k cos(kx). Avremo quindi, in conclusione (ricordndo che f = f () + f () ), f(x) = ( ) π + π 3 + π k= [ [( ) k (π + ) ] k ; ] cos(kx). 3

14 8 Figure 9: Confronto tr f(x) e l pprossimzione con i primi 5 modi di Fourier non nulli per l esercizio 5.