Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione

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1 D Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione Un transistore bipolare è un dispositivo non lineare che può essere modellato facendo ricorso alle caratteristiche non lineari dei diodi. Il modello di Ebers-Moll è un modello per grandi segnali usato comunemente per modellare transistori bipolari. Una versione di questo modello è basata sull assunzione che in normale funzionamento una delle giunzioni del transistore è polarizzata direttamente e l altra inversamente. Questa circostanza è mostrata in Fig. D.1 per un transistore npn. Questo modello, noto come la versione del modello di Ebers-Moll a iniezione di carica, è valido per il transistore in zona attiva, in saturazione e in interdizione. In condizioni normali, effettivamente la giunzione BE è polarizzata direttamente e la giunzione BC è polarizzata inversamente. Figura D.1 Modello di Ebers-Moll a iniezione di carica per un transistore npn a R I R a F I F E I E I C I D a F I F E F I F I C C E D F I F I R D R C B B (a) Modello completo (b) Modello semplificato I diodi corrispondenti alle giunzioni BE e BC possono essere descritti usando l espressione di Shockley della caratteristica del diodo data dall Eq. (2.1): I F I ES exp 1 (D.1) I R I CS exp 1 (D.2) VT

2 2 Appendice D Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione dove V T kt q 25.8 mv a 25 C I ES è la corrente di saturazione inversa del diodo base-emettitoree I CS è la corrente di saturazione inversa del diodo base-collettore. Entrambe le correnti I ES e I CS dipendono dalla temperatura. Se 0, il diodo D F è polarizzato direttamente e la sua corrente I F provoca una corrente corrispondente F I F. Se 0, il diodo D R è polarizzato inversamente. Il pedice F o R è usato proprio per indicare la condizione di polarizzazione del diodo a cui è riferito. Usando la legge di Kirchhoff per le correnti ai terminali di emettitore e collettore, possiamo scrivere l espressione della corrente I E come: I E I F R I R I ES exp 1 R I CS exp 1 (D.3) e quella della corrente I C come: I C F I F I R F I ES exp 1 I CS exp 1 (D.4) Se 0, R I CS I S rappresenta la corrente di perdita dovuta alla saturazione inversa del diodo D R. Allo stesso modo, se 0, F I ES I S rappresenta la corrente di saturazione inversa del diodo D F. Se assumiamo diodi ideali e che le correnti di saturazione delle due giunzioni siano legate dalla relazione: R I CS F I ES I S (D.5) dove I S è nota come la corrente di saturazione delle giunzioni del transistore. La corrente che scorre dal collettore verso la base con l emettitore non collegato può essere ricavata ponendo I C I CBO e I E 0. Poiché la giunzione base collettore è normalmente polarizzata inversamente, 0 e V T,exp ( V T ) 1. In queste condizioni, le Eq. (D.3) e (D.4) danno: 0 I ES exp 1 R I CS I CBO F I ES exp 1 I CS Risolvendo queste equazioni per I CBO si ottiene: I CBO F R I CS I CS (1 R F )I CS I CS F I S (D.6) La corrente che scorre dall emettitore verso la base con il collettore non collegato può essere ricavata ponendo I E I EBO e I C 0. Poiché la giunzione base collettore è normalmente polarizzata direttamente, 0 e V T,exp ( V T ) 1. In queste condizioni, le Eq. (D.3) e (D.4) danno: I EBO I ES R I CS exp 1 0 F I ES I CS exp 1 VT

3 Appendice D Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione 3 Risolvendo queste equazioni per I EBO si ottiene: I EBO I ES R F I ES (1 R F )I ES dalle Eq. (D.5), (D.6) e (D.7) si ottiene: (D.7) F I EBO I ES (1 R F ) F R I CS (1 R F ) R I CBO (D.8) Poiché il diodo D F è polarizzato direttamente e D R è polarizzato inversamente, V EB. Pertanto, I EBO è minore di I CBO e F è maggiore di R. In zona attiva, il diodo D R è polarizzato inversamente e I R 0. Cioè, I E I F e I C F I F F I E. Pertanto, la Fig. D1(a) può essere semplificata nella Fig. D.1(b). Il modello circuitale di Fig. D.1(a) mette in relazione i generatori comandati con le correnti nei diodi. Per analizzare il circuito, conviene esprimere le correnti dei generatori in modo che dipendano dalle correnti ai terminali. Eliminando exp ( V T ) 1 dalle Eq. (D.3) e (D.4) e quindi usando l Eq. (D.6), si ottiene: I C F I E (1 F R )I CS exp 1 F I E I CBO exp 1 (D.9) Allo stesso modo, eliminando exp ( V T ) 1 dalle Eq. (D.3) e (D.4) e quindi usando l Eq. (D.7), si ottiene: I E R I C (1 R F )I ES exp 1 R I C I EBO exp 1 (D.10) Il modello circuitale che corrisponde alle Eq. (D.9) e (D.10) è mostrato in Fig. D.2(a). I generatori di corrente sono controllati dalle correnti di collettore I C e di emettitore I E. Questo modello, noto come versione a trasporto di carica del modello di Ebers Moll, è usato normalmente dai programmi per simulazioni al computer come PSpice/PSPICE. Infatti, i modelli lineari di Fig. 5.6 sono la versione approssimata del modello di Ebers-Moll in Fig. D.2(a). Figura D.2 Modello di Ebers-Moll a trasporto di carica per un transistore npn V I exp BE F I EBO 1 V T V C R I CBO exp 1 V T a R I C a F I E E I E I C I a R I C a F I E E I C C E D F D R D F C B B (a) Modello completo (b) Modello semplificato

4 4 Appendice D Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione Assumendo che 0 e I R 0, I C F I E e la Fig. D.2(a) può essere semplificata nella Fig. D.2(b). Se sostituiamo I C F I E, l Eq. (D.10) diviene: I E R F I E I EBO exp 1 in cui I E è legato a R, F e dalla relazione: I E I EBO exp ( V T 1) 1 R F (D.11) I ES e I CS sono note anche come correnti di saturazione di cortocircuito, mentre I CBO e I EBO sono note come correnti di saturazione a circuito aperto. Si noti che i modelli di Ebers-Moll a trasporto e a iniezione sono tra loro equivalenti. Una volta che siano noti i parametri di uno, è possibile ricavare quelli dell altro. ESEMPIO D.1 SOLUZIONE Determinare le correnti per il modello di Ebers-Moll di un transistore npn Un transistore npn è polarizzato in modo che 0.3 V e V CE 6 V. Se F 0.99, R 0.90 e I CBO 5 na, trovare le correnti per il modello di Ebers-Moll a iniezione di carica di Fig. D.1(a). Si assuma che la tensione termica sia V T 25.8 mv alla temperatura di 25 C. Poiché è positiva, la giunzione base-emettitore è polarizzata direttamente. La tensione della giunzione base-collettore vale: V CB V CE V EB V CE V ovvero 5.7 V Poiché V CB è positiva, la giunzione base-collettore è polarizzata inversamente e il transistore funziona in zona attiva. Dall Eq. (D.8): Dall Eq. (D.6): Dall Eq. (D.7): I EBO R I CBO F na na I CS I CBO (1 R F ) 5 na ( ) na I ES I EBO (1 R F ) na ( ) na Dall Eq. (D.1), la corrente diretta del diodo vale: I F exp ma Dall Eq. (D.2), la corrente inversa del diodo vale: I R exp na e R I R na na F I F ma 4.63 ma I E I F R I R ma I C F I F I R ma (I E I C ) ( ) 89 A

5 Appendice D Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione 5 ESEMPIO D.2 Determinare le correnti per il modello di Ebers-Moll di un transistore pnp I parametri del modello del transistore pnp in Fig. 5.2(b) sono R 0.9, F 0.99, I ES I CS 45 na, V EB 0.4 V e V CB 0.3 V. Determinare (a) le correnti nella versione a trasporto di carica del modello di Ebers- Moll di Fig. D.2(a) e (b) F forced. Si assuma che la tensione termica sia V T 25.8 mv alla temperatura di 25 C. SOLUZIONE Poiché V EB 0.4 V e V CB 0.3 V, entrambe le giunzioni del transistore sono polarizzate direttamente. Quindi il transistore funziona in saturazione. (a) Per un transistore pnp, la polarità di tutte le tensioni è invertita rispetto al caso npn; pertanto le Eq. (D.3) e (D.4) divengono: V EB I E I ES exp 1 R I CS exp 1 (D.12) exp m V CB ma 4.54 ma ma exp m e I C F I ES exp V EB VT exp m 1 I CS exp V V ma 5.05 ma ma CB 1 T exp m (D.13) Quindi (I E I C ) ( ) 2.95 ma (b) Poiché il transistore funziona nella regione di saturazione, il valore del guadagno di corrente diretto è minore di quello in zona attiva. Il guadagno di corrente diretto in questo caso si definisce guadagno di corrente imposto forced e vale: forced I C ma 2.95 ma 80 ESEMPIO D.3 SOLUZIONE Determinare la tensione collettore-emettitore in un transistore npn in saturazione Un transistore npn è polarizzato in modo che sia saturo e i suoi parametri sono R 0.9, F e V T 25.8 mv. Calcolare la tensione collettore-emettitore in saturazione V CE(sat). Dall Eq. (5.3) si ha: Sappiamo che: F F (1 F ) ( ) V EC V CE Nella regione di saturazione, 0 e 0. Cioè: exp ( V T ) 1 e exp ( V T ) 1 Usando le Eq. (D.3) e (D.5) si ottiene: I E I ES e V T F I ES e V T I ES e V T F I ES e ( V CE ) V T I ES e V T [1 F e V CE V T ]

6 6 Appendice D Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione Ma I E I C 0, così I E (I C ). Cioè: I C I ES e V T [1 F e V CE V T ] (D.14) Allo stesso modo, usando le Eq. (D.4 e (D.5) si ottiene: I C F I ES exp 1 I CS exp 1 VT VT F I ES e V T 1 1 e V CE V T Dividendo l Eq. (D14) per l Eq. (D15) si ha: R (D.15) I C IC 1 che semplificando diviene: 1 F e V CE V I T B I C F 1 1 e V CE V T R F 1 I C (1 I R ) B V CE V T ln (D.16) R F I C ( I F 1) B In zona attiva, la corrente di base è legata alla corrente di collettore I C dalla relazione I C F. In pratica, si può considerare l inizio della regione di saturazione nel punto in cui il guadagno di corrente diretto F si riduce al 90% di quello in zona attiva. Cioè, sat forced 0.9 F e I C 0.9 F. L Eq. (D.15) dà la tensione tra collettore ed emettitore in queste condizioni come: V CE(sat) V T ln F [1 0.9 F (1 R )] R [ F 0.9 F ( F 1)] Sostituendo F F (1 F ) nel denominatore, si ottiene: V CE(sat) V T ln F (1 R ) (D.17) R (1 0.9) Per V T V, R 0.9 e F 89.91, si ha: (1 0.9) V CE(sat) ln V 0.9 (1 0.9)