STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione I

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1 2. e 3. STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione I 1. Le unità statistiche sono costituite dai singoli ristoranti, mentre la popolazione è costituita da tutte le unità del settore della ristorazione nel dato comune. Variabile Tipologia del carattere Tipo di fenomeno X 1 Quantitativo continuo Di movimento X 2 Quantitativo continuo Di movimento X 3 Quantitativo continuo Di movimento X 4 Quantitativo discreto Di movimento X 5 Qualitativo sconnesso Di stato X 6 Qualitativo ordinato Di stato Classi di fatturato Freq. assolute (0,50] 4 (50,100] 11 (100,200] 12 (200,500] 17 oltre Totale 50 Proprietà Freq. assolute Individuale 14 Società di persone 6 Società di capitale 30 Totale 50 Classi del numero di coperti Freq. assolute oltre Totale 50 Classi di Classi dimensionali fatturato oltre 20 Totale (0,50] (50,100] (100,200] (200,500] oltre Totale

2 STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione II 3/03/2006 Esercizio A. 1. Classi n i N i f i F i p i = f i 100 P i = F i 100 X i Al fine di disegnare l istogramma di frequenza si noti che le classi hanno ampiezze (d i ) diverse, per cui è necessario calcolare le densità di frequenza (H i = n i /d i oppure h i = f i /d i ) che costituiscono le altezze di ciascun rettangolo. Qualora le classi fossero state della stessa ampiezza, si sarebbe potuto anche utilizzare direttamente le frequenze (n i oppure f i ). Classi n i d i H i h i oltre Densità di frequenza Coperti 3. Sotto l ipotesi dell uniforme distribuzione all interno delle classi, la frequenza relativa dei ristoranti con numero di coperti compreso tra 30 e 60, estremi inclusi, si ottiene come segue: 21/ / = La frequenza osservata sulla base dei dati disaggregati si ottiene semplicemente contando il numero di unità statistiche per le quali il numero di coperti è compreso nell intervallo [30, 60] e, quindi, rapportando tale frequenza al numero totale delle unità: 20/50 = 0.4. Come si può vedere dal confronto tra i due valori, la frequenza ottenuta sulla base della distribuzione in classi (e sotto l ipotesi dell uniforme distribuzione all interno delle classi) risulta essere un approssimazione (non molto precisa) del valore che si ottiene dalla distribuzione disaggregata. La funzione di ripartizione F (x) rappresenta graficamente la distribuzione delle frequenze cumulate (assolute o relative) ottenuta al punto 1. Per il calcolo del valore F (x = 80) si noti che x = 80 appartiene alla classe Posto, quindi, i = 3 si applica la formula: 4. F (x) = f i F i 1 + (x c i 1 ) c i c i 1 = /50(80 50) = F(x) x Esercizio B. 1.

3 Diploma di scuola media superiore Laurea, Dipl.univ.,Corsi post-laurea Classi n i N i f i F i Classi n i N i f i F i e oltre e oltre e 3. F(x) Sulla base del grafico della funzione di ripartizione possiamo affermare che nessuna delle due distribuzioni risulta statisticamente superiore all altra x 4. Sotto l ipotesi di uniforme distribuzione all interno delle classi, la quota o frequenza relativa di occupati con al massimo 40 anni di età e con un Diploma di scuola media superiore è pari a: /10 = Esercizio C. Data la serie storica dei numeri indici in base unitaria: Anno I t La serie dei numeri indici in base fissa 2002 = 100 si ottiene notando che 2000I t = y t/y 2000 = y t = 2002 I t 2000I 2002 y 2002 /y 2000 y 2002 Quindi: Anno / / / / / I t = = = = = 1 2. Dal momento che 2000I t = y t/y 2000 = y t = i t 2000I t 1 y t 1 /y 2000 y t 1 la serie dei numeri indici a base mobile si può ottenere come segue: Anno / / / / i t = = = = Ricordando che v t = (y t y t 1 )/y t 1 = i t 1, la serie delle variazioni percentuali è la seguente: Anno v t Dato y 2000 = , la serie storica del numero degli occupati nel settore dei servizi si ottiene come y t = 2000 I t y 2000 : Anno y t

4 STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione III Esercizio A. Classi n i X i x i (vm) x i (vc) N i f i F i (0,50) (50,100) (100,200) (200,500) (500,1500) Totale La media aritmetica è calcolata nei diversi casi come segue: ( k ) (i) indicando con x i = X i /n i il valore medio (vm) di classe: µ = i=1 x in i /N = ( )/50 = , oppure µ = X i /N = 13133/50 = ; (ii) indicando con x i il valore centrale (vc) di classe: µ = ( )/50 = 293.5; (iii) dalla distribuzione disaggregata: µ = ( ))/50 = Come si può notare il calcolo della media aritmetica a partire dalla distribuzione di quantità, ovvero utilizzando i valori medi di classe, conduce al calcolo esatto come se si operasse sulla distribuzione disaggregata. Se, invece, si utilizza il valore centrale di classe la media che si ottiene in genere risulterà diversa e l accuratezza dipenderà dalla bontà di approssimazione dell uniforme distribuzione all interno delle classi rispetto alla distribuzione empirica. { 2. µ g = exp ( } N i=1 ln x i)/n = exp {(ln ln ln 42 + ln 366)/50} = La classe mediana è la prima classe per cui F i 0.5, cioè la classe (100, 200). Sotto l ipotesi di uniforme distribuzione delle unità all interno delle classi, la mediana del fatturato del collettivo è pari a: m = c i F i (c i c i 1 ) = ( ) = F i F i oppure, in maniera equivalentemente, m = c i 1 + N/2 N i 1 N i N i 1 (c i c i 1 ) = /2 15 ( ) = Per la distribuzione disaggreggata occorre ordinare le osservazioni in senso non descrescente, y 1 y 2... y N, quindi essendo N = 50 pari: m = (y N/2 + y N/2+1 )/2 = ( )/2 = Utilizzando la distribuzione di frequenza con il valore medio di classe: σ = k i=1 (x i µ) 2 n i N ( )2 4 + ( ) = ( ) 2 6 = Utilizzando, invece, la distribuzione disaggregata si ottiene: N i=1 σ = (x i µ) 2 ( )2 + ( ) = ( ) 2 = N 50 Esercizio B. Classi n i X i x i (vm) x i (vc) d i x i x i x i x i /d i f i F i e più Totale

5 1. La classe in cui si osserva il maggior scostamento tra valore medio (x i ) e valore centrale (x i ) è l ultima classe sia in termini assoluti che relativi, cui segue la classe in termini assoluti, mentre è la classe in termini relativi, cioè rispetto all ampiezza di classe. 2. µ = ( X i )/( n i ) = /69799 = La prima classe per la quale F i 0.25 è quella con 1 addetto, per cui q 1 = 1. La prima classe per la quale F i 0.75 è la classe 3-5, quindi q 3 = 3 + ( )/ = 3.2 ( k ) 4. Essendo σ 2 = i=1 (x i µ) 2 n i /N = ( (1 3.4) (2 3.4) ( ) 2 6 ) /69799 = , ovvero σ = = 15.42, si ottiene Esercizio C. CV = σ/µ 100 = 15.42/ = Occupati In cerca di occupazione Classi c i 1 c i d i x i n i x i n i F i h i = f i /d i n i x i n i F i h i = f i /d i e più Totale L età media degli occupati è pari a µ = / = 40.51, mentre per le persone in cerca di occupazione è pari a µ = /15960 = La classe mediana per gli occupati è la classe 35 39, per cui l età mediana si calcola come: m = (40 35) = La classe mediana per le persone in cerca di occupazione è la classe 25 29, da cui l età mediana: m = 25 + (30 25) = Graficamente le due distribuzioni possono essere comparate attraverso degli istogrammi, avendo l accortezza di utilizzare le h i come altezze in quanto producono istogrammi per i quali la somma delle aree dei rettangoli è pari a 1. Da questi si può vedere come la distribuzione per i soggetti in cerca di occupazione sia più asimmetrica e maggiormente concentrata nelle classi di età giovani rispetto alla distribuzione degli occupati. h i Classi d'età Occupati In cerca di occupazione Esercizio D. La media più opportuna è la media armonica: µ a = N 10 N i=1 1/x = = 10/ = i 1/35 + 1/ /61 dove 1/x i esprime il numero (frazione) di unità di detersivo consumate nell unità di tempo (giorni).

6 STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione IV Esercizio A. Classi n i X i x i = X i /n i (x i µ) 2 n i e oltre Totale µ = ( X i )/( n i ) = / = Indicando con x i = X i /n i i valori medi di classe, la varianza si ottiene come segue: σ 2 = [ (x i µ) 2 n i ]/[ n i ] = / = , da cui σ = = Quindi, il coefficiente di variazione è pari a: CV = σ/µ 100 = / = Dal momento che conosciamo la distribuzione di quantità X i, i valori Q i = A i /A n si ottengono calcolando A i = i j=1 X j, cioè le somme cumulate ottenute dalla distribuzione di quantità, mentre P i = i j=1 n j/n = i j=1 f i = F i. La seguente tabella riporta le quantità necessarie al calcolo: Classi n i P i Q i P i Q i P i 1 Q i 1 f i e oltre Totale L indice di concentrazione si calcola come segue: R = k [(P i Q i ) + (P i 1 Q i 1 )]f i = i=1 mentre il grafico della curva di concentrazione è riportato nella Figura Se l ammontare degli addetti (X i ) non fosse stato noto, si sarebbero dovute calcolare le quantità A i = i j=1 x jn j, dove in questo caso le x j sono i valori centrali di classe. Il resto della procedura sarebbe tuttavia rimasto invariato. Esercizio B. Data la distribuzione disaggregata dei redditi degli 8 individui (x i ) occorre prima di tutto ordinare tali valori in senso non descrescente (y i ). Ricordando che in questo caso A i = i j=1 y j, si ottengono Q i = A i /A n e P i = i/n per i = 1, 2,..., n dove n = 8. La tabella che segue riporta le quantità necessarie al calcolo: L indice di concentrazione è pari a: y i P i Q i P i Q i Totale g = 2 n 1 (P i Q i ) = = n La corrispondente curva di concentrazione è riportata in Figura 2. i=1

7 1.0 Figura Figura Q i Q i P i P i Esercizio C. Indicando con a t il valore dei prezzi alla produzione nell anno t, la serie a disposizione è del tipo 2000 I t = a t /a Siccome 2000 I t / 2000 I 1996 = (a t /a 2000 )/(a 1996 /a 2000 ) = a t /a 1996 = 1996 I t, la serie dei numeri indice con base 1996 si ottiene come segue: 1996I 1997 = 0.944/0.932 = , 1996I 1998 = 0.945/0.932 = , Siccome 2000 I t / 2000 I t 1 = (a t /a 2000 )/(a t 1 /a 2000 ) = a t /a t 1 = i t, la serie dei numeri indice in base mobile si ottiene come segue: i 97 = 0.944/0.932 = , i 98 = 0.945/0.944 = , Ricordando che v t = (a t a t 1 )/a t 1 = i t 1, la serie delle variazioni relative si ottiene sottraendo 1 a tutti i numeri indici in base mobile. La variazione relativa media dal 1998 al 2002 si ottiene, invece, dalla formula: i 1999 i 2000 i 2001 i = = La variazione media percentuale si calcola semplicemente come = 1.95%. 4. La variazione richiesta è calcolabile come segue: (a 2002 a 1996 )/a = (a 2002 /a ) 100 = ( 1996 I ) 100 = ( ) 100 = La seguente tabella riporta gli indici percentuali calcolati ai punti precedenti. Esercizio D I t I t i t v t Ricordando la relazione esistente tra variazioni relative e numeri indice in base mobile, questi ultimi si calcolano semplicemente come i t = v t + 1. I valori corrispondenti sono riportati in tabella. 2. La variazione relativa media del periodo si ottiene come: i 2001 i 2002 i 2003 i = = I 2001 = a 2001 /a 2000 = i 2001 = I 2002 = a 2002 /a 2000 = i 2001 i 2002 = = I 2003 = a 2003 /a 2000 = i 2001 i 2002 i 2003 = = I 2004 = a 2004 /a 2000 = i 2001 i 2002 i 2003 i 2004 = = Sappiamo che a 2000 = 3, siccome 2000 I t = a t /a 2000 la serie originale del valore del titolo si ottiene semplicemente come I t. 5. La serie storica è rappresentata graficamente in Figura 3. La seguente tabella riporta gli indici percentuali calcolati ai punti precedenti.

8 Figura v t i t I t a t Valore unitario titolo Anno Esercizio D. 2000I 2004 Spesa 2000 Spesa 2004 w 1 w I 2004 w 1 w 2 / 2000 I 2004 Carne bovina Carne suina Carne ovina Pollame Totale L indice di Laspayres si calcola come (2000 I 2004 w 1 ) 100 = /100 = dove w 1 indica la quota percentuale di spesa nel 2000 per ciascun genere. L indice di Paasche si calcola come 100 = 100/ = (w2 / 2000 I 2004 ) dove w 2 indica la quota percentuale di spesa nel 2004 per ciascun genere.

9 STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione V Esercizio A. 1. La tabella dei profili riga percentuali è la seguente: Occupati In cerca di occupazione Non forze di lavoro Totale Nord-Ovest Nord-Est Centro Sud La seguente tabella contiene la distribuzione di frequenza congiunta (percentuale). Le marginali per ciascuna variabile si possono leggere in corrispondenza della riga e colonna denominata Totale. Occupati In cerca di occupazione Non forze di lavoro Totale Nord-Ovest Nord-Est Centro Sud Totale La tabella di indipendenza o di contingenza nulla è la seguente: Occupati In cerca di occupazione Non forze di lavoro Totale Nord-Ovest Nord-Est Centro Sud Totale Ciascuna frequenza di cella è stata ottenuta come: n ij = n i0n 0j. Si noti come le distribuzioni N marginali (e quindi anche il totale) siano uguali a quelli della distribuzione originaria. 3. Gli indici di indipendenza assumono i seguenti valori: χ 2 = N ij n 2 ij 1 = ψ = χ n i0 n 2 /N = C = ψ/ min(r, c) 1 = j L indice relativo di dipendenza (C) indica la presenza nel complesso di una sostanziale indipendenza tra le due variabili. Tuttavia, dall analisi dei profili riga si evidenzia una certa omogeneità di comportamento tra tutte le macro-aree italiane ad eccezione dell area meridionale il cui profilo risulta notevolmente differente dalle altre aree. Esercizio B. Classi di addetti e oltre n i0 y i c i c i y j Agricoltura e pesca Industria in senso stretto Costruzioni Commercio Altri servizi n 0j Le medie parziali o condizionate della variabile Y sono riportate nell ultima colonna (y i ) della tabella. Queste esprimono il numero medio di addetti per ciascun settore di attività economica. 2. Il numero di addetti medio è pari a y = y j n 0j / n 0j = 7.31, mentre le medie condizionate y i = y j n ij /n i0 sono riportate nella tabella mostrata sopra. Quindi: D S = (y i y) 2 n i0 = ( ) ( ) =

10 mentre la devianza totale si ottiene come D y = (y j y) 2 n 0j = (5 7.31) ( ) = L indice di dipendenza in media è pertanto pari a η 2 = / = , da cui si evince che la dimensione, espressa dal numero di addetti, non è dipendente in media dal settore di attività economica. Esercizio C. x i y i (x i x) 2 (y i y) 2 (x i x)(y i y) La tabella riportata sopra mostra alcune quantità utili nei calcoli che seguiranno. In particolare le medie, le devianze e la codevianza sono pari a: x = 118/16 = D x = y = 47432/16 = D y = C xy = I coefficienti della retta di regressione y = β 0 + β 1 x sono: β 1 = C xy /D x = 9181/ = 58.2 β 0 = y β 1 x = ( 58.2)7.375 = La bontà di adattamento della retta di regressione è pari a: r 2 = C 2 xy/(d x D y ) = /( ) = da cui si evince che la rettà di regressione fornisce un buon adattamento ai dati. 2. La retta di regressione è riportata nella Figura 1. Dal grafico si nota la relazione inversa tra temperatura e consumo elettrico (infatti β 1 < 0). Inoltre, la bassa dispersione dei punti attorno alla retta indica che la retta di regressione risulta essere una buona interpolatrice dei dati. 3. Il consumo di energia elettrica per una temperatura pari a 5 gradi in base alla retta di regressione calcolata sopra risulta essere pari a: y (x=5) = = Il consumo di energia elettrica per una temperatura pari a 0 gradi è pari a: y (x=0) = = Rispetto al caso precedente di interpolazione, si tratta di una estrapolazione, ovvero si è calcolato un valore di y (consumo elettrico) al di fuori dei valori di x (temperatura) osservati (vedi Figura 2). Perciò, il valore che si ottiene per x = 0 deve essere trattato con molta cautela.

11 y Figura 1 y Figura x x STATISTICA (modulo I - Statistica Descrittiva) Soluzione Esercitazione VI Esercizio A. Ricordando l Esercitazione V, esercizio C, si hanno le seguenti quantità: D x = , D y = , C xy = Quindi, il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson è pari a: r = = da cui si evince la presenza di una forte correlazione negativa, ovvero si parla di discordanza tra i due caratteri. Esercizio B. 1. La retta y = β 0 + β 1 x interpolatrice della serie dei consumi ottenuta con il metodo dei minimi quadrati e la sua bontà dell adattamento, misurata dall indice r 2, si ottengono come segue: x i y i (x i x) 2 (y i y) 2 n = 5 (x i x)(y i y) x = 0/5 = y = /5 = D x = 10, D y = C xy = β 1 = 95170/10 = β 0 = = r = = I dati e la retta interpolatrice sono riportati nel grafico in Figura Avendo definito la variabile indipendente come x = Anno 2002, il valore teorico dei consumi per l anno 2003 è dato da: y 2003 = ( ) = Definiamo v = PIL, per cui la funzione interpolatrice può essere riscritta come: v i = β 0 + β 1 x i. x i v i (x i x) 2 (v i v) 2 n = 5 (x i x)(v i v) x = 0/5 = v = /5 = D x = 10, D v = C xv = β 1 = /10 = β 0 = = r 2 = = La devianza non spiegata si può ottenere ricordando che r 2 = S L /D v = 1 R L /D v, per cui: R L = (1 r 2 ) D v = ( ) = Definiamo z = x 2, per cui la funzione interpolatrice può essere riscritta come: y i = β 0 + β 1 z i.

12 z i y i (z i z) 2 (y i y) 2 (z i z)(y i y) La devianza spiegata si può ottenere ricordando che r 2 = S L /D y, per cui: S L = r 2 D y = = n = 5 z = 10/5 = 2 y = /5 = D z = 14, D y = C zy = 5464 β 1 = 5464/14 = β 0 = = r 2 = = La correlazione esistente tra il PIL e gli investimenti può essere misurata dal coefficiente di correlazione di Bravias-Pearson. Indicando con X gli investimenti e con Y il PIL, si ha: r = C xy = = Dx D y il quale indica un elevato grado di correlazione positiva. Esercizio C. tabelle: Alcune quantità utilizzate nella soluzione dell esercizio sono riportate nelle seguenti Investimenti n i0 X i x i Y (i) y i x i Y (i) x 2 i n i oltre Totale Fatturato n 0j Y j y j yj 2n 0j oltre Totale Le medie del fatturato condizionate alle classi di investimento possono essere calcolate come y i = Y (i) /n i0 e sono riportate nella prima tabella mostrata sopra. La linea di regressione si ottiene congiungendo con una spezzata i punti di coordinate (x i, y i ), dove x i = X i /n i0 sono i valori medi di classe della variabile X. Il grafico è riportato in Figura 2 (linea tratteggiata). 2. La media della Y è pari a y = Y j / n 0j = 10316/1018 = Quindi, S m = (y i y) 2 n i0 = D y = (y 2 j n 0j) ny 2 = = L indice di dipendenza in media è pari a η 2 = S m /D y = / = La media della X è pari a x = X i / n i0 = 371.6/1018 = 0.365, mentre i valori medi di classe x i = X i /n i0 sono riportati nella prima tabella mostrata sopra. Quindi, D x = x 2 i n i0 nx 2 = = C xy = x i Y (i) nx y = = I coefficienti della retta di regressione sono: β 1 = C xy /D x = ; β 0 = y β 1 x = La bontà di adattamento della retta di regressione è pari a: R 2 = C 2 xy/(d x D y ) = /( ) = Come ci si attendeva η 2 > R 2. La retta di regressione è riportata nella Figura 2 (linea continua). 4. Dal confronto della linea di regressione con la retta di regressione difficilmente una delle due funzioni interpolatrici proposte porterebbe ad un miglioramento nella bontà di adattamento. Inoltre, l indice R 2 per la retta di regressione risulta essere molto vicino a η 2.

13 Figura 1 Figura 2 y = Consumi Fatturato x = Anno Investimenti