Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI

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1 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi ROILITÀ TOTLE TEOREM DI YES LERI E GRFI GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

2 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 2 robabilità condizionata Un nuovo simbolo, che si legge "probabilità dell'evento noto che sia l'evento ", cioè la probabilità che assume l'evento, sapendo o supponendo che si sia verificato. Nel caso di eventi dipendenti si ha = GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

3 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 3 Esercizio 3. : Costruire il grafo relativo al lancio di tre monete ed esaminare i vari eventi. Il primo nodo produce i due rami T e C, da cui partono ulteriori coppie di rami. er avere tutti i possibili casi del lancio di tre monete, si parte dalla radice vertice superiore e si percorre ciascun ramo fino alla base inferiore, leggendo le lettere che s'incontrano lungo il percorso. d esempio, il primo ramo dà luogo all'evento TTT. Seguendo tutti gli otto percorsi, possiamo avere lo spazio campione, costituito da: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC. I rami del grafo hanno tutti lo stesso peso poichéi due eventi T e C sono equiprobabili. er avere la probabilità di ciascun evento, basta calcolare il rapporto tra il numero di casi rami terminali favorevoli e il numero totale di casi, 8 in quest'esempio. GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

4 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 4 Non sempre gli eventi sono equiprobabili. Esercizio 3.2 Un sacchetto nero contiene 2 biglie rosse e 5 nere. Ho scommesso di riuscire a prendere due biglie di colore diverso, con due pescate consecutive senza reimbussolamento. Dopo aver estratto la prima biglia, sbirciando attraverso la mano, non perfettamente chiusa, vedo che è rossa. Quale probabilitàho adesso di vincere la scommessa? Sapere che la prima biglia èrossa potrebbe sembrare un dettaglio irrilevante. Se voglio avere due biglie di colore diverso èovvio che una delle due dev'essere rossa. Tuttavia, senza tale informazione, dovrei considerare tutti e due i possibili casi favorevoli all'evento: la prima èrossa e la seconda ènera: R N 2 =R N2 R= 2/7 5/6= 5/2 la prima ènera e la seconda èrossa: R 2 N =N R2 N= 5/7 2/6 = 5/2 Essendo i due eventi incompatibili tra loro, la probabilità si ottiene, per il principio di addizione, R N= R N2+ R N2= 5/2 + 5/2 = 0/2. Sapendo invece, che la prima biglia estratta èrossa N2 R= 5/6 < di 0/2. GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

5 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 5 Esercizio 3.3 Sto per procedere all'estrazione della prima biglia, dal sacchetto descritto nel problema precedente. L'estrazione di una biglia rossa è 2/7. rima che si proceda all'estrazione, un bimbo allunga una mano, prende una biglia e scappa, senza che si riesca a vedere il colore della biglia rubata. Siamo certi che manca una sola biglia, poiché ognuna pesa 0 grammi e una bilancia indica esattamente 0 grammi in meno. Qual è ora la probabilitàdi estrarre una biglia rossa? Occorre valutare le seguenti due possibilità:. il bimbo ha preso una biglia rossa 2. il bimbo ha preso una biglia nera er ciascuna delle due possibilità occorre valutare le probabilità relative all'estrazione della biglia rossa. Valutiamo caso per caso le singole probabilità dei due eventi la probabilità che il bimbo abbia preso la biglia rossa, non avendo avuto possibilità di vedere il colore, è2/7. questo punto restano 6 biglie, di cui rossa. La probabilità di estrarre la rossa èp=2/7 /6=/2 la probabilità che il bimbo abbia preso la biglia nera è5/7. questo punto restano 6 biglie, di cui 2 rosse. La probabilità di estrarre la rossa in questo secondo caso è p=5/7 2/6=5/2 GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

6 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 6 Esercizio 3.3 Sto per procedere all'estrazione della prima biglia, dal sacchetto descritto nel problema precedente. L'estrazione di una biglia rossa è 2/7. rima che si proceda all'estrazione, un bimbo allunga una mano, prende una biglia e scappa, senza che si riesca a vedere il colore della biglia rubata. Siamo certi che manca una sola biglia, poiché ognuna pesa 0 grammi e una bilancia indica esattamente 0 grammi in meno. Qual è ora la probabilitàdi estrarre una biglia rossa? l'estrazione di una biglia rossa, per il principio di addizione, ha probabilità /2 + 5/2 = 6/2 = 2/7. E' veramente sorprendente: la probabilità di estrarre la biglia rossa non èstata modificata dal fatto che il bimbo abbia sottratto una biglia. Si tratta perciò di un caso insospettato di due eventi indipendenti. GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

7 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 7 Esercizio 3.4 Un prestigiatore altrimenti detto mago ha fatto preparare tre carte prive di dorso, con il segno della carta riportato su entrambe le facce. La prima ha un asso di picche su entrambe. La seconda ha un asso di cuori su entrambe. La terza ha un asso di picche su una faccia ed un asso di cuori sulla faccia opposta. Dopo aver nascosto le carte, il mago ne prende una e la depone sul tavolo. E' visibile una delle facce, supponiamo un asso di cuori. questo punto il mago ci chiede di indovinare la faccia nascosta. Rifletto un po' sulla situazione: "Sto vedendo un asso di cuori. E' escluso quindi che si possa trattare dalla carte picche-picche. Restano sono solo due possibilità: la carta cuori-cuori o quella cuori-picche. Il gioco mi sembra equo, poiché ho una probabilità su due di indovinare". Scelgo "picche". Il mago mi propone allora di scommettere 50 euro. Se accetto la scommessa quale probabilità ho di vincere? Sembra di aver già risposto: è/2. Le cose non stanno però così GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

8 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi 8 Esercizio 3.4 Un prestigiatore altrimenti detto mago ha fatto preparare tre carte prive di dorso, con il segno della carta riportato su entrambe le facce. La prima ha un asso di picche su entrambe. La seconda ha un asso di cuori su entrambe. La terza ha un asso di picche su una faccia ed un asso di cuori sulla facciaopposta. Dopo aver nascosto le carte, il mago ne prende una e la depone sul tavolo. E' visibile una delle facce, supponiamo un asso di cuori. questo punto il mago ci chiede di indovinare la faccia nascosta. Rifletto un po' sulla situazione: "Sto vedendo un asso di cuori. E' escluso quindi che si possa trattare dalla carte picche-picche. Restano sono solo due possibilità: la carta cuori-cuori o quella cuori-picche. Il gioco mi sembra equo, poiché ho una probabilità su due di indovinare". Scelgo "picche". Il mago mi propone allora di scommettere 50 euro. Se accetto la scommessa quale probabilitàho di vincere? Non dobbiamo dimenticare che le tre carte hanno ciascuna due dorsi. Si hanno quindi 6 diversi casi, come si vede nella figura a lato. Non dobbiamo dimenticare che le tre carte hanno ciascuna due dorsi. Si hanno quindi 6 diversi casi, come si vede nella figura a lato. Nella prima riga abbiamo indicato i sei possibili modi di mostrare una faccia, quando viene messa una carta sul tavolo. Nella seconda riga sono indicati i rispettivi assi disegnati sulla faccia opposta. Dato che si vede una faccia di cuori, debbo eliminare i tre casi in cui compare quella di picche. Ne restano tre: due che hanno cuori anche sulla seconda faccia ed uno che ha picche. urtroppo ho scommesso sull'evento "picche" che ha probabilità /3 di vincere, contro 2/3 di cui dispone il mago. Mai fidarsi dei maghi! GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

9 654: Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi Esercizio 3.5 Origini del Calcolo delle robabilità laisescl ierrefermt Il cavaliere di Merè chiese loro consiglio su come ripartire le sue puntate in denaro in un gioco di dadi : 9 QUESITO: secondo il gioco d azzardo la probabilità di avere almeno un 6 su quattro lanci di un dado e di almeno un doppio 6 su ventiquattro lanci di due dadi doveva essere uguale; questa convinzione non era confermata dall esperienza. CHI VEV RGIONE? : un 6 su lancio : almeno un doppio 6 in un lancio di due dadi : almeno un 6 su quattro lanci : almeno un doppio 6 su ventiquattro lanci di due dadi = 6 = = nessun 6 = = 0.49 = nessun 6 = = Ha ragione l esperienza! Il Cavaliere aveva commesso l'errore di sommare 4 volte o 24 volte la probabilità di un singolo evento, come se si trattasse di eventi incompatibili 24 GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

10 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi robabilità condizionata 0 Esercizio: Si hanno tre urne. U U2 U3 Si sceglie un urna a caso e si estrae una pallina. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca. /3 /3 /3 U U2 U3 /2 /2 /4 3/4 2/3 / bianca = = = GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

11 GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi Teorema delle probabilit Teorema delle probabilità totali totali Se è un evento, e siano,, n incompatibili la cui unione è lo spazio Ω......,,,,..., n n n n + + = = + + = Ω cause effetto Dr. Daniela Morale...,,,,..., n n i i i n i i + + = = Ω Teorema di Teorema di ayes ayes

12 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi Teorema delle probabilità totali Teorema di ayes 2 GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

13 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi Teorema delle probabilità totali Teorema di ayes 3 GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

14 Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi Teorema delle probabilità totali Teorema di ayes 4 GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS

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