Approfondimento 3.3. Calcolare gli indici di posizione con dati metrici singoli e raggruppati in classi

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1 Chiorri, C. (201). Fodameti di psicometria - Approfodimeto. 1 Approfodimeto. Calcolare gli idici di posizioe co dati metrici sigoli e raggruppati i classi 1. Dati metrici sigoli Quado l iformazioe è a livello metrico, gli idici di posizioe possoo essere calcolati co precisioe. Nella Tabella 1 viee riportato il umero di risposte esatte ad u test di profitto i statistica Tabella 1 Raghi dei puteggi ad u test di profitto i statistica Risposte Rago Poiché il umero di osservazioi è lo stesso del caso precedete, le posizioi di Q, Q 2, D7, e P80 soo ivariate. Il primo terzile si trova i posizioe,67, ossia fra il rago e il rago, occupati rispettivamete dai puteggi 6 e 8. Per calcolare T1 basta moltiplicare la differeza fra 8 e 6 per la parte decimale della posizioe (i questo caso 0,67) e aggiugerlo al puteggio iferiore fra i due cosiderati (i questo caso 6): T1 = (8 6) 0, = 7, Il terzo quartile si trova i posizioe 10,, ossia fra il rago 10 e il rago 11, occupati rispettivamete dai valori 1 e 17. Per calcolare Q basta moltiplicare la differeza fra 1 e 17 per la parte decimale della posizioe (i questo caso 0,) e aggiugerlo al valore iferiore (i questo caso 1): Q = (17 1) 0, + 1 = 16 Il terzo quartile duque è 16 risposte corrette. Il secodo quitile si trova i posizioe,6, ossia fra i valori 8 e 10. Per calcolarlo esattamete ricorriamo alla formula: Q 2 = (10 8) 0,6 + 8 = 9,2 Il secodo quitile è 9,2 risposte corrette (vedi acora Figura 2.2). Il settimo decile si trova i posizioe 9,8, fra i valori 1 e 1, per cui: D7 = (1 1) 0,8 + 1 = 1,6 Il settimo decile è duque 1,6 risposte corrette. L ottatesimo percetile si trova i posizioe 11,2 fra i valori 17 e 19, per cui: P80 = (19 17) 0, = 17, L ottatesimo percetile è duque 17, risposte corrette. La Figura 1 riassume graficamete la procedura per l idividuazioe di Q 2 e Q. Copyright 201 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

2 Chiorri, C. (201). Fodameti di psicometria - Approfodimeto. 2 Figura 1 Idividuazioe dei quatili per dati quatitativi ua volta calcolata la loro posizioe all itero della distribuzioe ordiata dei puteggi 2. Dati raggruppati i classi Quado i dati soo metrici ma raggruppati i classi, come el caso dei puteggi al test di abilità di rotazioe metale (Tabella 2), la procedura è per l idividuazioe esatta del quatile è idetica a quella per l idividuazioe esatta della mediaa. Tabella 2 Dati metrici raggruppati i classi Classe Limiti Limiti Frequeza Frequeza tabulati reali Cumulata 1-2, -, 2 1-8, - 8, , - 6, , - 6, , - 72, , - 80, , - 88, 1 Quatile = Limite reale iferiore classe del quatile posizioe + F quatile quatile F if A dove: Limite reale iferiore classe del quatile = è quello della classe che cotiee il quatile posizioe quatile = posizioe del quatile F if = somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il quatile F Quatile = frequeza della classe che cotiee il quatile A = ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il quatile Se, come el caso precedete, vogliamo calcolare il secodo terzile (T2), il primo quartile (Q1), il quarto quitile (Q ), il quarto decile (D), e il vetuesimo percetile (P21), calcoliamo iazitutto la posizioe. Ache i questo caso, come per la mediaa, se i dati soo distribuzioi di frequeza per classi di valori, la formula per il calcolo della posizioe o è ma è: Quatile desiderato ( + 1) Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe, Copyright 201 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

3 Chiorri, C. (201). Fodameti di psicometria - Approfodimeto. Quatile desiderato Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe 2 1 Posizioe T2 = = 26, 67 Posizioe Q1 = = 10 Posizioe Q = = 2 Posizioe D = = Posizioe P21 = = 8, 100 Possiamo aturalmete decidere si accotetarci di idividuare la classe corrispodete al quatile, per cui avremo, i base al procedimeto esposto per i voti al compito di italiao, che la classe T2 è la (quella co la frequeza cumulata immediatamete superiore a 26,67), la classe Q1 è 2 (quella co la frequeza cumulata uguale a 10), la classe Q è (quella co la frequeza cumulata immediatamete superiore a 2), la classe D è (quella co la frequeza cumulata immediatamete superiore a 16) e la classe P21 è 2 (quella co la frequeza cumulata immediatamete superiore a 8,). Questi risultati, però, possoo esserci utili per calcolare i valori esatti. Nel caso di T2, applicado la formula, avremo: T2 = Limite reale iferiore classe T2 + 2 F FMediaa if A 26,67 17 = 6, + 8 = 6, 2 10 Co u procedimeto aalogo calcoliamo gli altri valori: Q1 = Limite reale iferiore classe Q1 + Q = Limite reale iferiore classe Q + D = Limite reale iferiore classe D + P21 = Limite reale iferiore classe P Fif A FMediaa Fif A FMediaa Fif 10 A FMediaa 21 Fif 100 A FMediaa 2.1 Raghi quatili per dati raggruppati i classi 10 =, + 8 = 8, = 6, + 8 = 69, = 8, + 8 =, 7 8, =, + 8 =, 9 Vediamo come calcolare il rago rago terzile, rago quartile, rago quitile, rago decile e rago percetile del puteggio 7 ella distribuzioe di frequeza per classi di valori dei puteggi al test di abilità di rotazioe metale di oggetti (Tabella ). Copyright 201 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

4 Chiorri, C. (201). Fodameti di psicometria - Approfodimeto. Tabella Distribuzioe di frequeza per classi di valori dei puteggi al test di abilità di rotazioe metale di oggetti Limiti Limiti tabulati reali Frequeza 1-2, -, 2 1-8, - 8, , - 6, , - 6, , - 72, , - 80, , - 88, 1 Classe Frequeza Cumulata Iazitutto dobbiamo determiare la posizioe grezza del puteggio 7. Per far questo abbiamo bisogo della seguete formula: Posizioe = F if + puteggio Limite reale iferiore puteggio classe A F puteggio dove: F if = somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il puteggio Limite reale iferiore classe puteggio = è quello della classe che cotiee il puteggio A = ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il puteggio F Quatile = frequeza della classe che cotiee il puteggio Ua volta otteuta la posizioe, adremo a calcolare il rago quatile del puteggio mediate la seguete formula: Rago Quatile = posizioe puteggio Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe Ache i questo caso attezioe al fatto che si divide per il umero di osservazioi e o per il umero di osservazioi più uo. Il puteggio 7 cade ella classe 6, che ha somma delle frequeze delle classi iferiori, limite reale iferiore 72,, ampiezza 8 e frequeza, per cui la posizioe sarà data da: puteggio Limite reale iferiore classe puteggio Posizioe = F if , F puteggio = + = 6, 2 A 8 Calcoliamo adesso i raghi quatili: posizioe puteggio 6,2 RT = = = 2, 72 ; posizioe puteggio 6,2 RQ = = =, 6 ; posizioe puteggio 6,2 RQ = = =, ; posizioe puteggio 10 6,2 10 RD = = = 9, 06 ; Copyright 201 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

5 Chiorri, C. (201). Fodameti di psicometria - Approfodimeto. posizioe puteggio 100 6,2 100 RP = = = 90, 6 ; + 1 Il rago percetile del puteggio 7 è 90.6, ossia il puteggio 7 rappreseta circa il 91 percetile della distribuzioe. Questo vuol dire che il puteggio 7 è superiore al 91% degli altri puteggi della distribuzioe, e iferiore solo al 9%. Copyright 201 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia