Fisica II Secondo Appello - 7/2/2008

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1 Fisica II Secondo Appello - 7/2/2008 Chi ecupea il pimo compitino fa il pimo esecizio in due oe Chi ecupea il secondo compitino fa gli ultimi due esecizi in due oe Chi non ecupea fa le pime 4 domande del pimo esecizio e il secondo esecizio in te oe Polema I Si considei il sistema costituito da un anello di aggio con caica q distiuita unifomemente e da una sfea conduttice di aggio a a < ) inizialmente scaica e isolata La sfea e l anello sono concentici 1) Calcolae il potenziale della sfea 2) Calcolae il campo elettico sull asse dell anello La sfea conduttice viene collegata a tea tamite una esistenza R 3) Calcolae l enegia dissipata pe effetto Joule nella esistenza 4) Calcolae la caica finale sulla supeficie della sfea 5) Nella situazione finale, una sfeetta conduttice di aggio si tova sull asse a distanza z, a, dal cento Calcolae la foza sulla sfeetta Polema II E dato un solenoide tooidale a sezione quadata di lato a Esso è fatto di N spie, ha esistenza R, il suo aggio inteno è e non è connesso ad alcun geneatoe 1) Calcolae il coefficiente L di autoinduttanza del solenoide Sull asse di simmetia del solenoide si tova un filo infinito, pecoso da una coente I 2 2) Calcolae il coefficiente M di mutua induzione ta i due cicuiti 3) La coente I 2 viene vaiata di una quantità I 2 Successivamente, si attende che il sistema toni a egime Calcolae la caica Q che scoe pe il solenoide tooidale in questo pocesso 4) Supponiamo oa che il filo aia autoinduttanza L 2 e esistenza tascuaile, e non sia connesso a geneatoi Supponiamo inolte che all istante iniziale la coente che cicola nel solenoide sia I 0 e quella del filo sia nulla Calcolae la coente che cicola nel filo in funzione del tempo Polema III Una sfea supeconduttice di aggio a galleggia su un liquido isolante e paamagnetico di pemeailità µ Il sistema è immeso in un campo magnetico B 0 pependicolae alla supeficie del liquido 1) Calcolae B e H in tutto lo spazio patie dalla soluzione in assenza del liquido) 2) Calcolae la densità di coente liea sulla supeficie della sfea 1

2 B µ 0 µ Polema I Polema III 2

3 Soluzioni Polema I 1) Utilizziamo il metodo delle caiche immagine Il potenziale della sfea è quello geneato dai due anelli di caica concentici, quello eale e quello immagine, di caica q e aggio dati da: q = q a, = a2 che ceano un potenziale nullo sulla sfea, e dalla caica immagine q posta nel cento della sfea Poiché la sfea è scaica, Il potenziale della sfea è: q = q = q a φ = 1 q a = 1 q 2) Il campo elettico sull asse dell anello è nullo all inteno della sfea, mente all esteno è uguale a quello geneato dai due anelli, quello eale e quello immagine, e dalla caica immagine q Detto z l asse dell anello, si ha: Ez) = q z 2 + z 2 ) 3/2 a z ) a 4 3/2 + + z 2 2 a z 2 ẑ 3) La ddp V t) ai capi della esistenza R è uguale al potenziale della sfea φt) Quindi: RIt) = V t) Inolte, detta q s t) la caica sulla sfea all istante t, It) = dq s dt, Il potenziale della sfea all istante t è q st) = q t) + q t) = q a + q t) φt) = 1 q t) = 1 qs t) a a + q ) Segue peció che il potenziale soddisfa l equazione dφ dt = φ ar da cui si ottiene il potenziale φt) φt) = 1 q e t τ 3

4 dove τ = ar, e la coente It) It) = 1 q R e t τ L enegia dissipata pe effetto Joule nella esistenza si ottiene semplicemente integando nel tempo E J = 0 q 2 RI 2 t)dt = 1 a 2 2 4) La caica finale sulla supeficie della sfea è uguale a quella dell anello immagine q fin = q a 5) La sfeetta conduttice è soggetta al campo Ez) che induce su di essa un momento di dipolo La foza è meno il gadiente dell enegia q a) z 2 ẑ m = q3 a) z 2 ẑ U e = 1 2 m E = q2 3 a) 2 8πε 0 2 z 4 Polema II 1) Se il solenoide è pecoso da una coente I, il campo magnetico è nullo al suo esteno, mente è uguale a B = µ 0NI 2πρ θ, dove ρ è la distanza dall asse di simmetia Il flusso del campo attaveso il solenoide si calcola facilmente: pe cui il coefficiente L isulta 2) Il campo geneato dal filo è Φ = µ 0N 2 Ia 2π L = µ 0N 2 a 2π ln 1 + a ) = LI, ln 1 + a ) B 2 = µ 0I 2 2πρ θ, pe cui il coefficiente di mutua induttanza isulta 4

5 M = µ 0Na 2π ln 1 + a ) 3) L equazione del cicuito è Integando questa equazione nel tempo si tova 0 = RI + M di 2 dt + LdI dt 0 = R Q + M I 2 + L I Siccome nelle situazioni a egime, tanto iniziale quanto finale, I = 0, aiamo I = 0 e dunque Q = M R I 2 = µ 0Na 2πR I 2 ln 1 + a ) 4) Le equazioni dei cicuiti sono Ricaviamo immediatamente pe cui 0 = d dt L 2I 2 + MI), 0 = RI + d dt LI + MI 2) I = I 0 exp tr 0 = RI + L M2 L 2 L M2 L 2 ) 1 ) di dt,, I 2 = M L 2 I I 0 ) Polema III 1) All inteno della sfea sono nulli sia B che H Senza il liquido all esteno della sfea il campo magnetico è B = B 0 + µ 0 4π Imponendo le condizioni al contono aiamo 3m ) m 3 m = 2π µ 0 a 3 B 0 In pesenza del liquido è immediato veificae che la stessa soluzione pe B soddisfa a tutte le condizioni al contono Infatti sulla supeficie del liquido il campo è pependicolae alla stessa Aiamo dunque nel liquido H = B 0 µ a3 3B 0 ) B 0 2µ 3 5

6 2) Nella semisfea estena al liquido scoe una coente supeficiale K 1 = 3B 0 2µ 0, mente nella semisfea immesa scoe la coente supeficiale K 2 = K 1 µ 6