ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (Oy), è ssegnt l curv k di equzione y f (), dove è: f (). ) Determinre per quli vlori di ess è situt nel semipino y e per quli nel semipino y. b) Trovre l equzione dell prbol pssnte per l origine O degli ssi e vente l sse di simmetri prllelo ll sse y, spendo che ess incide ortogonlmente l curv k nel punto di sciss (N.B.: si dice che un curv incide ortogonlmente un ltr in un punto se le rette tngenti lle due curve in quel punto sono perpendicolri). c) Stbilire se l rett tngente ll curv k nel punto di sciss h in comune con k ltri punti oltre quello di tngenz. d) Determinre in qunti punti l curv k h per tngente un rett prllel ll sse. e) Enuncire il teorem di Lgrnge e dire se sono soddisftte le condizioni perché esso si poss pplicre ll funzione f () ssegnt, reltivmente ll intervllo. PROBLEMA Si considerino le lunghezze seguenti: [],,, dove è un lunghezz not non null ed è un lunghezz incognit. ) Determinre per quli vlori di le lunghezze [] si possono considerre quelle dei lti di un tringolo non degenere. b) Stbilire se, fr i tringoli non degeneri i cui lti hnno le lunghezze [], ne esiste uno di re mssim o minim. c) Verificto che per le [] rppresentno le lunghezze dei lti di un tringolo, descriverne l costruzione geometric con rig e compsso e stbilire se si trtt di un tringolo rettngolo, cutngolo o ot- tusngolo. d) Indicto con ABC il tringolo di cui l precedente punto c, in modo che BC si il lto mggiore, si conduc per A l rett perpendicolre l pino del tringolo e si prend su di ess un punto D tle che AD si lungo : clcolre un vlore pprossimto meno di un grdo (sessgesimle) dell mpiezz dell ngolo formto di due pini DBC e ABC. Znichelli Editore,

2 QUESTIONARIO Il rpporto fr l bse mggiore e l bse minore di un trpezio isoscele è. Stbilire, fornendone mpi spiegzione, se si può determinre il vlore del rpporto tr i volumi dei solidi ottenuti fcendo ruotre il trpezio di un giro completo dpprim intorno ll bse mggiore e poi intorno ll bse minore o se i dti disposizione sono insufficienti. A Due tetredri regolri hnno rispettivmente ree totli A e A e volumi V e V. Si s che. Clcolre il vlore del rpporto. V V A Considerti i numeri reli, b, c, d comunque scelti se b e c d llor: A d b c; B d b c; C d bc; b D d c. Un sol lterntiv è corrett: individurl e motivre esurientemente l rispost. Si consideri l seguente proposizione: L medi ritmetic di due numeri reli positivi, comunque scelti, è mggiore dell loro medi geometric. Dire se è ver o fls e motivre esurientemente l rispost. Determinre, se esistono, i numeri, b in modo che l seguente relzione: b si un identità. Si consideri l funzione: f () ( ) ( ) 5. Stbilire se mmette mssimo o minimo ssoluti nell intervllo. Clcolre l derivt, rispetto d, dell funzione f () tle che: f () ln tdt, con. L funzione rele di vribile rele è continu nell intervllo chiuso e limitto [; ] e derivbile nell intervllo perto ], [. Si s che f () e inoltre f () per ogni dell intervllo ]; [. Spiegre in mnier esuriente perché risult f () 5. In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini (Oy), è ssegnto il luogo geometrico dei punti che soddisfno ll seguente equzione: y. Znichelli Editore,

3 Tle luogo è costituito d: A un punto; B due punti; C infiniti punti; D nessun punto. Un sol lterntiv è corrett: individurl e fornire un esuriente spiegzione dell rispost. L funzione rele di vribile rele f (), continu per ogni, è tle che: f () d, f () d b, dove, b sono numeri reli. Determinre, se esistono, i vlori, b per cui risult: f () d ln e f () d ln. Durt mssim dell prov: ore È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmbili. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. Znichelli Editore,

4 PROBLEMA ) Si discute l positività dell funzione: si h per, per. Pertnto il grfico è situto nel semipino y per e nel semipino y per. b) Il punto dell curv k di sciss h ordint f ( ) e quindi coordinte ( ; ). L prbol richiest h equzione y b. Il pssggio per ( ; ) implic che b e quindi l equzione divent y ( ). Il coefficiente ngolre dell rett tngente ll prbol è dto d y e nel punto di sciss vle m. Il coefficiente ngolre m dell rett tngente ll curv k nel punto è ugule f ( ). Poiché f () ( ), m f ( ). Imponendo l condizione di perpendicolrità tr le due ( ) tngenti, m m, si trov ( ). y L equzione dell prbol cerct è: y. c) Per le considerzioni l punto b, l rett pssnte per ( ; ) e tngente ll curv k h equzione: y ( ) y 8. Le intersezioni tr tle rett e l curv si trovno risolvendo il k sistem: SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri y 8. L equzione risolvente è y 8 8. Poiché è un punto di tngenz, il polinomio srà divisibile due volte per il binomio ( ). Applicndo l regol di Ruffini, esso si scompone nel modo seguente: ( ) ( 8). Figur. Il discriminnte di 8 vle: 9 98 ; pertnto non esistono soluzioni reli del polinomio diverse d. Se ne conclude che l rett tngente intersec l curv k solo nel punto ( ; ). d) Si trtt di determinre i punti stzionri dell funzione f, dove, cioè, l derivt prim si nnull. Nel punto b) si er clcolto f () ( ). Pertnto si hnno punti stzionri per e nelle ( ) eventuli soluzioni dell equzione. Poiché quest ultim non è risolvibile per vi elementre, si consideri l funzione g (). Ess è continu e ssume in R si vlori positivi che negtivi. Per il teorem dell esistenz degli zeri, mmette lmeno uno zero e, essendo l derivt prim g () di segno costnte, per non ndre contro il teorem di Rolle, esisterà un solo zero. In conclusione, i punti in cui l curv k h tngente prllel ll sse sono due, e l unic rdice dell equzione. e) Il teorem di Lgrnge fferm che se un funzione f () è continu in un intervllo chiuso [; b ] ed è derivbile in ogni punto interno esso, llor esiste lmeno un punto c interno ll intervllo tle che: f (b ) f () f (c). b Essendo l funzione f () non definit nel punto e, ess non è quindi continu nell intervllo [ ; ]. Di conseguenz il teorem di Lgrnge non è pplicbile. k O Znichelli Editore,

5 PROBLEMA ) Tenendo conto che e, in qunto lunghezze, sono non negtive, le condizioni che devono essere soddisftte sono l positività delle lunghezze dei lti e le disuguglinze tringolri: sempre verificto sempre verificto sempre verificto Per vere un tringolo non degenere deve essere. b) Per clcolre l re del tringolo, noti i lti, si us l formul di Erone: S p (p )( p b )( p c ), ove p è il semiperimetro. p S () ( ) ( ). L funzione S è continu nell intervllo ; ; l su derivt prim è S (). Studindo il suo. segno si ricv che S () qundo, che h soluzione m. Lo schem che si ottiene è Figur. il seguente (figur ). Pertnto il tringolo non degenere h re mssim per. Si osservi che per e l superficie ssumerebbe il vlore minimo zero m questi csi corrispondono tringoli degeneri. c) Nel punto ) si è trovto che le lunghezze sono lti di un tringolo non degenere qundo, llor ciò è vero per. In tl cso i lti hnno lunghezze, e, tutti e tre multipli di secondo numeri rzionli. Dto un segmento che ssumimo di lunghezz, si costruisce il segmento di lunghezz m n, per esempio,, nel seguente modo (figur ). Trccito il segmento AB che misur, si disegn d A un semirett non contenente B. Su ess si sceglie un generico punto P e col compsso si riport per tre volte (il mssimo tr m e ed A n nel cso generle) il segmento AP. Congiunto B con P, si mnd d P l prllel BP. Il segmento AC per il teorem di Tlete h lunghezz. S'() S() + + B C P Allo stesso modo si ottengono i segmenti di lunghezz e. L costruzione del tringolo ABC vviene nel pino con P P Figur. 5 Znichelli Editore,

6 l uso del compsso. Prtendo, per esempio, dl segmento più lungo BC (figur ), si riport puntndo il compsso prim in un estremo poi nell ltro rispettivmente i restnti segmenti trovti. L intersezione dei due rchi individu il punto A. Si vlut il tipo di tringolo pplicndo il teorem trigonometrico di Crnot: A α B C A B A C A B A C cos. Ricvndo cos e sostituendo le lunghezze dei lti, si trov cos. Pertnto il tringolo è ottusngolo. 9 d) Compiut l costruzione, si trcci d A l perpendicolre BC e si consideri il tringolo rettngolo HAD (figur 5). L ngolo d vlutre è DĤA. Di teoremi sui tringoli rettngoli si può scrivere: D A tgdĥa. D A per ipotesi, HA è l ltezz del tringolo H A ABC rispetto ll bse BC. Pertnto se S è l re del tringolo S ABC, H A. Dl punto b) del problem si ricv: B C 5. S() S 5 5 Quindi: H A 5 e tg DĤA 5, d cui DĤA rctg 5. Utilizzndo l clcoltrice scientific si trov: DĤA 5,. B B H D A C Figur. C Figur 5. QUESTIONARIO D C Si costruisc un trpezio isoscele ABCD di bse minore CD di lunghezz e ltezz h (figur ). h Per ipotesi risult A B e A H K B. Compiendo un rotzione ttorno ll bse mggiore, il solido ottenuto è dto d un cilindro e due coni congruenti. Esso h quindi volume V : A H K B Figur. V h h h. Eseguendo un rotzione intorno ll bse minore, si ottiene un cilindro con due cvità coniche uguli. Il volume V è: V h h h. Si trov così che il rpporto V h è indipendente di vlori di e di h e quindi i dti del V h problem sono sufficienti. Znichelli Editore,

7 5 Due tetredri regolri sono figure simili, pertnto se il rpporto di lunghezze corrispondenti (rpporto di A similitudine) è, llor il rpporto delle ree vle e il rpporto dei volumi. Per ipotesi, V A quindi il rpporto di similitudine risult ugule. Ne consegue: ( ). V Dte le disuguglinze b e c d, per l proprietà dell ddizione di disuguglinze dello stesso senso vle c b d d b c. L rispost estt è B. Sino e b due numeri reli positivi. L loro medi ritmetic è b, mentre quell geometric vle b. Bisogn vlutre se l disuguglinz b b è ver o fls. Poiché e b sono positivi, i due membri dell disuguglinz sono nch essi positivi e si possono elevre entrmbi l qudrto: ( b) b ( b). Quest ultim relzione è sempre verifict per b. Pertnto, non essendoci nessun ipotesi questo rigurdo, l proprietà del testo è ver soltnto per b. Considerimo membro membro l possibile identità. Primo membro:. ( ) ( ) b Secondo membro: ( b) b ( )( ) Per l identità dei polinomi, i due membri sono uguli se vle il sistem: b cioè b. b 8 L funzione f, essendo riconducibile un polinomio, è continu nel cmpo rele e in prticolre nell intervllo chiuso ;. Vle llor il teorem di Weierstrss, per il qule l funzione mmette il mssimo e il minimo ssoluto. Si consideri un vlore tle che. Per l proprietà dell integrle rispetto ll intervllo di integrzione si può scrivere: f () ln tdt ln tdt ln tdt ln tdt ln tdt. Per definizione dell funzione integrle F () ln tdt, risult: f () F ( ) F (). Derivndo membro membro e ll luce del teorem fondmentle del clcolo integrle si trov: f () F ( ) F () ln ( ) ln ln. Poiché sono soddisftte le ipotesi del teorem di Lgrnge, esiste un punto c ]; [ tle che: f (c) f ( ) f () f (). Znichelli Editore,

8 Essendo f (), risult f (), e quindi f () 5. 9 L condizione di reltà delle rdici richiede che il cmpo di esistenz dell funzione soddisfi il seguente sistem:, cioè. Il cmpo di esistenz contiene solo e e pertnto il luogo è formto d due punti: l rispost estt è quindi B. Considerti gli integrli f () d ln e f () d ln, si compi il cmbimento di vribile t : t Se, d dt quindi f () d ln f (t ) dt ln f (t ) dt ln ; f () d ln f (t ) dt ln f (t ) dt ln ; Sottrendo membro membro le due uguglinze, si ottiene: f (t) dt ln. Or, poiché f () d e f () d b, si conclude per confronto che ln e b ln. Per esercitrti ncor sugli rgomenti trttti nel Svolgi il Problem Esercizio pg. V 5 Problem pg. W 8 (punti, b) Quesito 5 pg. W Quesito pg. W 9 Problem Esercizio 8 pg. V 98 Problem pg. π 9 (punto b) Quesito Quesito pg. π 9 Quesito Quesito pg. π 9 Quesito Quesito 8 pg. W Quesito 5 Problem pg. W Quesito Quesito pg. U 8 Quesito pg. U Quesito Quesito pg. W Quesito 8 pg. W Quesito 8 Quesito 5 pg. V 88 Quesito pg. W 9 Quesito 9 Esercizio pg. U (second prte) Esercizio pg. U 9 (second prte) Quesito Quesito pg. W 8 Znichelli Editore,