Classificazione dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi in base alla schematizzazione dei processi

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1 Classificazione dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi in base alla schematizzazione dei processi Modelli (idrologici) concettuali: utilizzano delle schematizzazioni dei fenomeni fisici della trasformazione, senza risolvere le equazioni fisiche dei processi Due schematizzazioni sono particolarmente utilizzate: canali (lineari): rappresentano solo il trasferimento temporale (ritardo fra ingresso e uscita) delle acque meteoriche Schematizzazione utilizzata dal modello cinematico o della corrivazione serbatoi (lineari): rappresentano le diverse forme di immagazzinamento dell acqua per mezzo di uno o più serbatoi Schematizzazione utilizzata dal modello di invaso Modelli fisicamente basati: vengono risolte le equazioni fisiche dei diversi processi idraulici ed idrologici Modelli empirici (black-box): sono modelli che non rappresentano, neanche schematicamente, i fenomeni fisici Accettano una funzione in input (ietogramma) e forniscono una funzione in output (idrogramma) Hanno necessità di una serie di dati di input e corrispondenti dati di output per la taratura Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 1 / 20 ) Altre classificazioni dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi In base alla variabilità e dipendenza spaziale delle grandezze: Modelli globali Il bacino è considerato nel suo insieme Non si considera la variabilità spaziale della precipitazione e delle carattersitiche topografiche, idrauliche e di uso del suolo del bacino Modelli distribuiti Possono considerare la variabilità spaziale della precipitazione e delle grandezze del bacino In base alle caratteristiche di risposta: Modelli stazionari Ingressi (ietogrammi) identici sfasati nel tempo producono uscite (idrogrammi) identici anch essi sfasati nel tempo Modelli lineari Vale il principio di sovrapposizione degli effetti Ad una combinazione lineare delle funzioni di ingresso corrisponde una combinazione lineare delle funzioni di uscita: i 1 (t) Q 1 (t) i 2 (t) Q 2 (t) ai 1 (t) + bi 2 (t) aq 1 (t) + bq 2 (t) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 2 / 20 )

2 Stima della portata pluviale con tempo di ritorno T : Metodo razionale (1850), o metodo cinematico o della corrivazione È un metodo di progetto che fornisce la portata al colmo Q M della piena originata da un evento meteorico con tempo di ritorno T La stessa portata al colmo Q M è fornita dal modello cinematico (che fornisce anche l intero idrogramma di piena), con le seguenti ipotesi: ietogramma costante nel tempo e nello spazio (ragguagliato all area) metodo proporzionale per le perdite curva area-tempi lineare Q M = ϕi(t c ) A }{{} i n (t c ) ϕ = coefficiente di afflusso medio del bacino drenato t c = tempo di concentrazione (tempo impiegato dalle gocce cadute nel punto del bacino idraulicamente più lontano a raggiungere la sezione di chiusura) i(t c ) = intensità media della pioggia (eventualmente ragguagliata all area A) di durata t c e tempo di ritorno T A = area del bacino urbano drenato dal collettore da dimensionare (sezione di chiusura posta sull estremità di valle di tale collettore) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 3 / 20 ) Stima del tempo di concentrazione t c Riferendosi alla sezione valliva di ciascun collettore da dimensionare, si deve calcolare il tempo di concentrazione t c, ovvero il tempo impiegato dalle gocce meteoriche ad attraversare il percorso idraulicamente più lungo Occorre perciò determinare il massimo valore della seguente espressione: t c = t a + t r t a = tempo di accesso è il tempo di percorrenza delle aree scolanti sino al punto di immissione nella rete Esso può differire per i diversi lotti di una stessa fognatura Fair (1966) suggerisce i seguenti valori: centri urbani intensivi con frequenti caditoie t a < 5 centri commerciali con basse pendenze t a = aree residenziali estensive con caditoie non frequenti t a > 20 t r = tempo di rete è il tempo di percorrenza nelle canalizzazioni lungo il percorso idraulicamente più lungo: t r = oppure t r = V i 15V i i i L i = lunghezza della tratta i esima nel percorso idraulicamente più lungo V i = velocità di moto uniforme corrispondente alla portata di progetto della i esima tratta (per la tratta in progetto occorre fissare un valore di V i di primo tentativo ed aggiornarlo dopo aver stimato la portata di progetto) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 4 / 20 ) L i L i

3 Tempo di accesso: Formula Mambretti-Paoletti (1996,97) È stata recentemente ricavata (con il metodo del condotto equivalente) la seguente espressione per il calcolo del tempo di accesso t a per sottobacini sino a 10 ha: t ai = [3600 n S 030 i s 0375 i (aϕ) 025 ] 4 n+3 t ai = tempo di accesso dell i-esimo sottobacino [s] a, n = coefficienti della curva di possibilità pluviometrica, a [mm/h n ], n [-] S i = superficie dell i-esimo sottobacino [ha] s i = pendenza media dell i-esimo sottobacino [-] ϕ i = coefficiente d afflusso medio dell i-esimo sottobacino [-] NOTA: qualora il sottobacino i-esimo avesse una pendenza media s i < 0003, nella formula si pone comunque il valore minimo s i = 0003 Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 5 / 20 ) Tempo di accesso: Formula Mambretti-Paoletti (1996,97) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 6 / 20 )

4 Modello cinematico: idrogramma di piena (I) L utilizzo del metodo razionale (o metodo cinematico o della corrivazione) nei bacini con curva area-tempi non lineare può portare ad una sottostima della portata al colmo con assegnato tempo di ritorno T Infatti, la massima portata al colmo potrebbe verificarsi per una pioggia (uniforme) di durata inferiore al tempo di concentrazione t c : è opportuno applicare un modello, con ietogramma non costante, che fornisca l idrogramma Un modello utilizzato è il modello cinematico o della corrivazione (modello concettuale, stazionario e lineare), che si basa sulle seguenti ipotesi: la formazione della piena sia dovuta esclusivamente ad un fenomeno di trasferimento di massa liquida sul bacino; ogni goccia di pioggia si muova sulla superficie del bacino seguendo un percorso immutabile, che dipende soltanto dalla posizione del punto in cui essa è caduta; la velocità di ogni singola goccia non sia influenzata dalla presenza delle altre gocce ( discutibile) la portata alla sezione di chiusura si ottenga sommando tra loro le portate elementari, provenienti dalle singole aree del bacino che si presentano allo stesso istante nella sezione di chiusura Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 7 / 20 ) Modello cinematico: idrogramma di piena (II) Nel modello cinematico o della corrivazione, la trasformazione afflussi-deflussi è schematizzata con un insieme di canali lineari in parallelo fra loro Ogni canale trasferisce le gocce d acqua meteoriche da ciascun area infinitesima del bacino alla sezione di chiusura sempre con lo stesso ritardo (pari al tempo di corrivazione della stessa area infinitesima) L idrogramma Q(t) si ottiene dall integrale dei contributi di tutti i canali Applicazione del modello della corrivazione nella forma discretizzata Si sceglie lo stesso passo temporale t con cui discretizzare sia lo ietogramma della pioggia netta di progetto, che la curva area-tempi: i k intensità media di pioggia netta e ragguagliata all area del bacino nell intervallo di tempo fra gli istanti (k 1) t e k t, con k = 1,, m (ietogramma discreto in m intervalli) A j area contribuente con tempi di corrivazione compresi fra (j 1) t e j t, con j = 1,, n (curva area-tempi approx con n tratti lineari) Durata della pioggia t p = m t, tempo di corrivazione t c = n t Si calcolano gli idrogrammi Q k (t) generati da ciascuno ietogramma costante elementare di pioggia netta i k (t) Per la linearità del sistema l idrogramma totale si ottiene per sovrapposizione: Q(t) = m k=1 Q k(t) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 8 / 20 )

5 Modello cinematico: idrogramma di piena (III) i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i s (t) i m 1 (t) i m (t) i(t) tempo t Q 1 (t) Q 2 (t) Q 3 (t) Q s (t) Q m 1 (t) Q m (t) Q(t) t i 1 A 1 i 1 A 1 2 t i 1 A 2 i 2 A 1 3 t i 1 A 3 i 2 A 2 i 3 A 1 s t i 1 A s i 2 A s 1 i 3 A s 2 i s A 1 n t i 1 A n i 2 A n 1 i 3 A n 2 (n + 1) t i 2 A n i 3 A n 1 (n + 2) t i 3 A n (n + m 2) t i m 1 A n i m A n 1 (n + m 1) t i m A n i m A n (n + m) t 0 Q(s t) = s k=1 i ka s k+1 Nota: vale anche per s > n, ponendo A s = 0 Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 9 / 20 ) Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare (IV) La Tabella precedente può essere riscritta in forma matriciale: A i = Q la matrice A (n + m) m rappresenta le caratteristiche di risposta del bacino, il vettore i m 1 rappresenta le caratteristiche dell evento meteorico, il vettore Q (n + m) 1 è l idrogramma di piena discreto A A 2 A A 3 A 2 A A n A n 1 A n 2 0 A n A n A n A n A n A n i 1 i 2 i 3 i m 1 i m = Q 1 Q 2 Q 3 Q n Q n+1 Q n+2 Q n+m 2 Q n+m 1 Q n+m NOTA: si è indicato ora Q s = Q(s t) e non l idrogramma prodotto da i s (t) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 10 / 20 )

6 Modello dell invaso lineare (I) È un modello concettuale che schematizza il funzionamento del bacino con un invaso lineare Stabilito il collettore da dimensionare (o verificare), si definisce il bacino urbano drenato Il modello dell invaso lineare utilizza un legame lineare fra la portata Q(t) nella sezione di chiusura e il volume W (t) immagazzinato dal sistema bacino-rete a monte della sezione nel medesimo istante t: K = contante dell invaso lineare [T] W (t) = KQ(t) Il comportamento dell invaso è descritto dall equazione di continuità: P(t) Q(t) = dw (t) dt = K dq(t) dt P(t) = i n (t)a è la portata di afflusso meteorico netto (pioggia netta i n (t) x area bacino A) Se P(t) è costante (ietogramma costante) si può integrare analiticamente l equazione di continuità per ricavare l idrogramma Q(t) Se P(t) costante può risultare necessario ricorrere all integrazione numerica Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 11 / 20 ) Modello dell invaso lineare (II) Integrazione dell equazione di continuità per separazione delle variabili per il caso di portata di afflusso meteorico netto costante (P(t) = P = cost): t t 0 1 K dt = Q 1 Q 0 P Q dq t t 0 K = ln P Q P Q 0 P Q = (P Q 0 )e (t t 0)/K Specificando la condizione al contorno Q 0 = 0 (invaso vuoto) per t = t 0 = 0: ( ) Q(t) = P 1 e t/k 0 t t p Essendo t p la durata della pioggia (P 0 per 0 t t p ) Terminata la pioggia (t > t p ) si integra con P = 0, e condizione al contorno Q 0 = Q M = Q(t p ) per t 0 = t p : Q(t) = Q M e (t t p)/k Q M = Q(t p ) = P ( 1 e t p/k ) t > t p è la portata al colmo per pioggia cost durata t p Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 12 / 20 )

7 Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo dell unico invaso lineare (I) Fissato il tempo di ritorno T si determinano i coefficienti a, n della curva di possibilità climatica: i(τ) = aτ n 1, o meglio a ed n per la riduzione areale Assunto uno ietogramma cost e metodo proporzionale per le perdite (coeff afflusso ϕ), si ricava la portata al colmo per qualsiasi durata di pioggia t p : Q M = ϕatp n 1 A ( 1 e t p/k ) (1) Si vuol determinare la durata critica t p che rende massima la portata al colmo Q M Posto r = t p /K, si annulla la derivata di Q M rispetto ad r: dq M dr Alcuni valori r(n) dalla (3): Q M = ϕaak n 1 r n 1 ( 1 e r ) (2) = 0 = n = 1 r e r 1 e r (3) n r r n 1 (1 e r ) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 13 / 20 ) Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo dell unico invaso lineare (II): Equazione (1) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 14 / 20 )

8 Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo dell unico invaso lineare (III) Per il calcolo della costante di invaso K sono state proposte diverse relazioni In particolare si richiamano: Desbordes (1975): K = Ciaponi e Papiri (1992): 419 A030 Im [min] (4) (100 s) 038 K = 05 A0351 d 0358 Im 0163 sr 029 [min] (5) A = area del bacino [ha] I m = rapporto fra l area impermeabile e l area totale del bacino s = pendenza media del collettore principale [-] d = densità di drenaggio, definita dal rapporto fra lo sviluppo della rete di drenaggio [m] e l area del bacino [ha] s r = pendenza media ponderale di tutta la rete di drenaggio [%] Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 15 / 20 ) Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo dell unico invaso lineare (IV) Applicazione del metodo: 1 Fissato il tempo di ritorno T si determinano i coefficienti a, n della curva di possibilità climatica: i(τ) = aτ n 1 Se necessario si utilizzano a ed n per la riduzione all area A del bacino drenante (sotteso dalla sezione più a valle del collettore da dimensionare) 2 Determinato n si ricava dalla (3) o dalla tabella il valore di r che rende massima la portata al colmo Q M 3 Si stimano tutte le grandezze del bacino drenante necessarie al calcolo della costante di invaso K utilizzando la (4) o la (5) 4 Si stima il coefficiente di afflusso ϕ e si calcola la portata al colmo Q M con la (2) Si dimensiona il collettore 5 Se si desidera si calcola la durata t p = rk della pioggia critica e quindi la portata al colmo Q M con la (1) Ovviamente si ottiene lo stesso risultato fornito dalla (2) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 16 / 20 )

9 Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo italiano dell invaso lineare (I) Il metodo italiano dell invaso lineare considera esplicitamente i volumi invasati dal sistema bacino-rete a monte del collettore da dimensionare Il metodo dell invaso considera esplicitamente la sola costante di invaso K Ipotesi del metodo italiano dell invaso lineare: funzionamento autonomo di tutti i collettori: nessun rigurgito o richiamo regime di moto uniforme in ogni collettore: pelo libero parallelo al fondo del collettore; volume invasato pari al prodotto della lunghezza del collettore per l area bagnata funzionamento sincrono: tutti i collettori raggiungono contemporaneamente il massimo volume invasabile Per le ipotesi assunte, la costante di invaso K può essere scritta: K = W (t) Q(t) = W M Q M W M = massimo volume invasato dal sistema bacino-rete a monte della tratta da dimensionare Q M = la massima portata al colmo della tratta da dimensionare Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 17 / 20 ) Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo italiano dell invaso lineare (II) La procedura esposta per il metodo dell invaso fornisce la portata al colmo in funzione del tempo di pioggia t p Posto K = W M /Q M, la (1) si riscrive: ) Q M = ϕatp n 1 A (1 e t pq M /W M La determinazione del tempo di pioggia t p che rende massimo Q M non è immediata come per il metodo di invaso Si riporta direttamente la forma tradizionale del metodo italiano dell invaso lineare che risale al 1930 circa: u = 2168 n (ϕa)1/n w (1 n)/n [l s 1 ha 1 ] (6) u [l s 1 ha 1 ] = coefficiente udometrico w [m] = W M /A = invaso specifico (W M volume invasato dal sistema bacino-rete a monte della sezione di chiusura, A area del bacino) a [m h n ] e n [-] = coefficienti della curva di possibilità pluviometrica ϕ [-] = coefficiente di afflusso medio Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 18 / 20 )

10 Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo italiano dell invaso lineare (III) Valutazione del volume invasato W M dal sistema bacino-rete a monte della sezione da dimensionare (compreso anche il volume del collettore in progetto): W M = w 0 A + i W i + W I (7) La sommatoria i è estesa a tutti i collettori i (già dimensionati) a monte del collettore I da dimensionare w 0 = volume specifico (ovvero per unità di superficie) dei piccoli invasi e del velo idrico superficiale Per aree mediamente urbanizzate (06 < ϕ < 08): w m 3 ha 1 a seconda del minore o maggiore sviluppo delle reti di drenaggio secondarie (pozzetti, cunette, caditoie, etc) W i = L i Ω i = volume invasato nel collettore i-esimo (L i è la lunghezza del collettore, Ω i l area bagnata quando vi defluisce la portata di progetto Q Mi già calcolata per il collettore i) W I = L I Ω I = volume invasato nel collettore I in progetto; da determinare per tentativi (L I è la lunghezza nota del collettore in progetto, Ω I l area bagnata incognita, da determinare per tentativi) Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 19 / 20 ) Stima della portata al colmo con tempo di ritorno T : Metodo italiano dell invaso lineare (IV) - Applicazione 1 Fissato il tempo di ritorno T si determinano i coefficienti a, n della curva di possibilità climatica: i(τ) = aτ n 1 Se necessario si utlizzano a ed n per la riduzione all area A del bacino drenante (sotteso dalla sezione più a valle del collettore da dimensionare) 2 Si stima il coefficiente di afflusso ϕ 3 Si fissa un valore di tentativo per il volume d invaso W I del collettore da dimensionare: ad esempio si può predimensionare il collettore, ipotizzare un valore del tirante idrico, e quindi un area bagnata Ω I W I = L I Ω I 4 Si stima il volume specifico w 0 dei piccoli invasi e si calcola con la (7) il volume invasato W M nel sistema bacino-rete a monte della sezione in progetto, e finalmente l invaso specifico w = W M /A 5 Si calcola il coefficiente udometrico u con la (6), quindi la massima portata al colmo Q M = ua Si dimensiona la tratta per la portata Q M, e si calcola il volume W I invasato Il dimensionamento è terminato se questo W I è pari al volume assunto al punto 3 In caso contrario, si assume quest ultimo valore per W I e si reitera il calcolo dal punto 4 Attenzione alle unità di misura Acquedotti e Fognature - AA R Deidda C4 - Fognature pluviali: portate di progetto ( 20 / 20 )