Corso di Progetto di Strutture. POTENZA, a.a Le piastre anulari

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1 Coso di Pogetto di Stuttue POTENZA, a.a. 3 Le piaste anulai Dott. aco VONA Scuola di Ingegneia, Univesità di Basilicata maco.vona@unibas.it

2 LE PIASTE CICOLAI CAICATE ASSIALENTE Sono consideate tali le piaste che abbiano caichi e vincoli dotati di simmetia adiale Tutte le gandezze (spostamenti, defomazioni, tensioni ) dipendono soltanto dalla vaiabile aggio Il poblema si isolve con equazioni diffeenziali odinaie

3 LE PIASTE CICOLAI CAICATE ASSIALENTE Le equazioni si iducono a: equazioni di equilibio di collegamento a ed t dθ t b z t t EQUAZIONE DELLA SUPEFICIE ELASTICA w ( w ) bz D

4 PIASTA ANULAE Non valgono più le consideazioni svolte pe le piaste cicolai ϕ pe Quindi in geneale saà: C Studiamo il caso della piasta anulae incastata al bodo esteno e libea su quello inteno che sia soggetta ad un caico ipatito lungo una ciconfeenza. Utilizziamo il pocedimento dietto Sia P il caico totale applicato sulla ciconfeenza di aggio

5 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico applicato lungo una ciconfeenza P Pe Q Pe Q P π

6 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico applicato lungo una ciconfeenza. CONDIZIONI AL CONTONO Pe P Bodo inteno libeo Pe Bodo esteno incastato ϕ

7 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico applicato lungo una ciconfeenza. CALCOLO DELLE COSTANTI C e C ETODO DI SOVAPPOSIZIONE Invece di pocedee diettamente alla deteminazione delle costanti d integazione C e C e conseguentemente dei momenti e t si può applicae il pincipio di SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI La piasta anulae si studia come somma di una piasta cicolae con caico lungo una ciconfeenza più una piasta anulae soggetta ad un momento pai a sul bodo inteno

8 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico applicato lungo una ciconfeenza SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI P Piasta anulae P Piasta cicolae. Pe: - Piasta anulae soggetta a: sul bodo inteno

9 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico applicato lungo una ciconfeenza SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Si ha quindi: t t m tm Con ; t momenti della piasta cicolae ; Con m tm momenti adiale e tangenziale dovuti ad un momento unitaio applicato al bodo inteno

10 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico applicato lungo una ciconfeenza SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad un momento unitaio applicato al bodo inteno della piasta anulae Si ha Q su tutta la piasta e quindi anche: Qdρ ρ ρ Qdρ dρ Consideando le condizioni al contono ϕ

11 Caico applicato lungo una ciconfeenza PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Si icava: C C C C isolvendo ispetto alle costanti C e C si ottiene C C

12 Caico applicato lungo una ciconfeenza PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Sostituendo tali espessioni delle costanti nelle espessioni dei momenti unitai : C C C C m Si ottiene quindi: tm tm m

13 PIASTA ANULAE Studiamo il caso della piasta anulae incastata al bodo esteno e libea su quello inteno che sia soggetta ad un caico ipatito unifomemente ipatito

14 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico ipatito unifomemente ETODO DI SOVAPPOSIZIONE Anche in questo caso possiamo applicae il pincipio di SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, invece di pocedee diettamente alla deteminazione delle costanti d integazione C e C, e conseguentemente dei momenti e t La piasta anulae si studia quindi come somma di una piasta cicolae con caico unifomemente ipatito più una piasta anulae soggetta ad un momento pai a e Q sul bodo inteno

15 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico ipatito unifomemente SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Piasta anulae Piasta cicolae. Pe: - -Q Piasta anulae soggetta a: e Q sul bodo inteno

16 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico ipatito unifomemente Lungo la ciconfeenza intena la piasta cicolae saà soggetta sia ad un momento adiale sia ad uno sfozo di taglio. Tali sollecitazioni, cambiate di segno, devono essee iapplicate alla piasta anulae m Q q t t tm Q tq ; Con m tm momenti adiale e tangenziale dovuti ad un taglio unitaio applicato al bodo inteno

17 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico ipatito unifomemente Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad un taglio unitaio applicato al bodo inteno della piasta Consideando le condizioni al contono Q Pe un geneico aggio invece: Quindi si icava: Qdρ Qdρ π π Q dρ ρ ln ρ ρ Qdρ dρ ρ ρ 3 ln dρ ρ ln ρ d ρ

18 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Ponendo Caico ipatito unifomemente Si icava: 3 3 ln ln d d ρ ln ln d d 3 ln 4

19 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico ipatito unifomemente Consideando le condizioni al contono ϕ Si icava: ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) C C 4 Che foniscono infine i valoi dei momenti unitai

20 PIASTA ANULAE INCASTATA SUL CONTONO ESTENO Caico ipatito unifomemente Che foniscono infine i valoi dei momenti unitai q ln ( ) ( ) ( ) ln 4 ( ) [ ] ( ) tq ( ) ln( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln 4 ( ) [ ] ( ) ( )

21 PIASTA ANULAE APPOGGIATA SUL CONTONO ESTENO Anche in questo caso la soluzione del poblema consiste nel deteminae gli effetti del momento unitaio e del taglio unitaio al bodo inteno Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad UN OENTO UNITAIO applicato al bodo inteno della piasta Pe le condizioni al contono si ha:

22 Si icava: C C C C PIASTA ANULAE APPOGGIATA SUL CONTONO ESTENO Si ottiene quindi: C C

23 PIASTA ANULAE APPOGGIATA SUL CONTONO ESTENO Da cui si icavano i momenti: m tm E le otazioni: ( ) ( ) [ ] [ ] ϕ m D ( ) ( ) ( ) ( )

24 PIASTA ANULAE APPOGGIATA SUL CONTONO ESTENO Valutiamo oa gli effetti dovuti ad UN TAGLIO UNITAIO applicato al bodo inteno della piasta Q Pe le espessioni Qdρ ρ ρ Qdρ dρ Vale quanto è stato icavato in pecedenza Pe le condizioni al contono si ha:

25 Si icava: PIASTA ANULAE APPOGGIATA SUL CONTONO ESTENO 3 ln 4 ln 4 C C Da cui si icavano i momenti: E le otazioni: [ ] [ ] ln ln 4 ln ln 4 tq q ln ln 4 D q ϕ

26 PIASTA ANULAE VINCOLATA SUL CONTONO INTENO Valgono le stesse applicazioni viste in pecedenza Infatti, nei casi tattati non esistono limitazioni alla condizione > Quindi pe tutte le fomule esposte vale l estapolazione al caso delle piaste vincolate sul bodo inteno, incastate o appoggiate che siano, a condizione di attibuie ai i significati descitti

27 PIASTA APPOGGIATA LUNGO UNA CICONFEENZA Nel caso di una piasta cicolae vincolata come in figua Con un caico applicato otogonalmente :

28 PIASTA APPOGGIATA LUNGO UNA CICONFEENZA Piasta appoggiata, caicata unifomemente La eazione del vincolo di appoggio è isostatica e vale: F V π Dove V è la isultate di tutti i caichi esteni

29 PIASTA APPOGGIATA LUNGO UNA CICONFEENZA Valgono le stesse applicazioni viste in pecedenza ovveo si applica il PINCIPIO DI SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Piasta appoggiata lungo una ciconfeenza Piasta cicolae caicata unifomemente Piasta cicolae caicata lungo una ciconfeenza

30 PIASTA APPOGGIATA LUNGO UNA CICONFEENZA La eazione del vincolo di appoggio vale F V π V isultante dei caichi applicati Le sollecitazioni si calcolano sovapponendo le soluzioni già viste In modo analogo si pocede pe le piaste anulai F F

31 PIASTA APPOGGIATA LUNGO DUE CICONFEENZE Pe analogia con la tave continua si definisce piasta continua L incognita è la eazione vincolae Si pocede come in pecedenza ovveo applicando il PINCIPIO DI SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Piasta appoggiata lungo due ciconfeenze

32 PIASTA APPOGGIATA LUNGO DUE CICONFEENZE Si pescive l annullasi dell abbassamento in coispondenza dell appoggio intemedio Piasta appoggiata lungo due ciconfeenze Piasta cicolae caicata unifomemente Piasta cicolae caicata lungo una ciconfeenza

33 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Sono piuttosto fequenti casi in cui una piasta è iigidita da uno o più anelli concentici Un semplice caso è quello di una piasta con un anello iigidente concentico posto sul peimeto È evidente che la pesenza di anelli modifica le caatteistiche di sollecitazione e di defomazione della piasta

34 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO La piasta isulta vincolata con un incasto elastico petanto le sue sollecitazioni e defomazioni saanno intemedie ta quelle di piasta appoggiata e di piasta incastata La ipatizione ta queste due componenti dipende ovviamente dalle igidezze elative di piasta ed anello

35 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Studiamo quindi l anello sepaatamente. Consideiamo un anello cicolae, anche con sezione di foma qualsiasi, sollecitato da un momento pe unità di lunghezza, misuata lungo la ciconfeenza baicentica

36 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Studio dell anello isolato Caico: momento pe unità di lunghezza (otazione intono alla ciconfeenza baicentica) Definiamo il aggio baicentico della sezione come σ z ϕ P ϕ

37 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Sotto l azione del momento tutte le sezioni subiscono la stessa otazione ϕ. Il aggio elativo ad un geneico punto P, posto alla distanza z dall asse baicentico, diviene pe effetto della otazione pai a: zϕ La defomazione è quindi pai a: zϕ σ z ϕ P ϕ

38 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO σ z ϕ P ϕ Lungo tutta la fiba cicolae passante pe P ci saà la stessa defomazione Quindi è possibile deteminae la tensione che (in egime elastico) saà: z σ E ϕ

39 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO σ z ϕ P ϕ Se consideiamo un ipotesi semplificativa secondo cui le dimensioni dell anello sono piccole ispetto a si avà e quindi z σ E ϕ La sezione è soggetta ad una distibuzione di tensioni lineae ovveo a FLESSIONE SEPLICE

40 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO σ z ϕ P ϕ Si è supposto che la otazione baicentica ϕ avvenga attono alla fiba In tale ipotesi si ha N, infatti : N A σda Eϕ A zda

41 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO σ z ϕ P ϕ Le distanze z sono misuate a patie da un asse baicentico. Quindi in tale caso Quindi: A N zda Come deve essee in assenza di foze estene (o vincoli) capaci di esecitae uno sfozo assiale N

42 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Infatti, un caso di foze estene capaci di fonie uno sfozo assiale, con N, è appesentato dall esempio di una pessione intena all anello : f N p N f Il momento isultante delle σ vale f Eϕ σzda A A z da EJ ϕ Essendo J il momento d inezia della sezione ispetto all asse baicentico nomale all asse dell anello EQUAZIONE DI COLLEGAENTO DELL ANELLO

43 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Sciviamo oa l EQUAZIONE DI EQUILIBIO Consideiamo un elemento di anello di ampiezza angolae dθ dϑ dϑ f f f Da cui tenendo conto dell equazione di collegamento f ϕ EJ dθ

44 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Casi paticolai L anello vincolato Consideiamo gli spostamenti impediti da un vincolo lungo una ciconfeenza posta ad una distanza t dal piano baicentico ϕ t ϕ Tale condizione si può ealizzae ad esempio pe una piasta che possa consideasi indefomabile nel suo piano. In tal caso il vincolo è appesentato dal piano della Supeficie edia della piasta

45 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Casi paticolai L anello vincolato La defomazione può scivesi ε Da cui: ( z t) ϕ ( z t) ϕ ( z t ) ϕ σ E ϕ ϕ t EQUAZIONI DI COLLEGAENTO f Eϕ EAt N ( z t) da ϕ A Eϕ σzda ( z t) zda A A EJ ϕ

46 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO L anello vincolato Sciviamo oa le EQUAZIONI DI EQUILIBIO f Sia Z la eazione del vincolo pe unita di lunghezza Z t N dθ N f Le equazioni di equilibio si scivono come: Zdϑ Ndϑ dϑ Ztdϑ f dϑ Z N Zt f

47 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO L anello vincolato EQUAZIONE DI EQUILIBIO f Z t N dθ N f icavando Z dalla pima equazione e sostituendo nella seconda e icodando le equazioni di collegamento: N Z EAt ϕ EAt ϕ EJ ϕ

48 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO L anello vincolato EQUAZIONE DI EQUILIBIO f Z t N dθ N f J A ρ α ρ Poiché e posto: si ha: Ovveo: ( At J ) ϕ EJ ( α )ϕ E ϕ EJ ( α ) t

49 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO L anello vincolato icaviamo quindi le EQUAZIONE DI COLLEGAENTO Z t f N dθ N f N EAt ϕ EAt EJ ( α ) t α α f EJ ϕ EJ EJ ( α ) α

50 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO L anello vincolato ϕ ϕ t Dal confonto con l anello isolato si conclude che:. La igidezza / ϕ cesce nel appoto α;. Il momento flettente f diminuisce nello stesso appoto 3. Nasce uno sfozo assiale N del quale si deve tene conto insieme a f nelle veifiche dell anello stesso

51 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO h s b In assenza dell anello la otazione in coispondenza del bodo è quella podotta dal momento d incasto pefetto cambiato di segno e applicato al contono esteno: ϕ D p D p

52 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO s h b Consideiamo una piasta iigidita da un anello che sia caicata da un caico unifomemente distibuito In assenza dell anello il poblema è stato già isolto

53 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO s h b Sotto l azione del momento tale otazione diviene quindi: ϕ p 8D 3 ( ) D( )

54 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO s h b Poiché come abbiamo visto la otazione dell anello vale ϕ EJ ( α ) E inolte pe la conguenza deve essee: ϕ ϕ

55 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO s h b isulta infine: p 8 p β ( D( )) ( EJ ( α )) 8 Avendo posto β ( D( )) ( EJ ( α ))

56 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO s h b Z La piasta con anello iigidente può quindi consideasi come una piasta semplice più una piasta anulae che si scambiano il momento e lo sfozo assiale indicato con Z Z pincipio di SOVAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

57 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO ISOLUZIONE DI PIASTA IIGIDITA DA UN ANELLO Il paameto β D EJ ( ) ( α ) appesenta il GADO DI INCASTO Vale pe la piasta senza anello Vale pe la piasta munita di anello molto igido e quindi pefettamente incastata all anello stesso

58 PIASTA CICOLAI CON ANELLI DI IIGIDIENTO Il GADO DI INCASTO è notevole anche pe dimensioni elativamente modeste dell anello. Ad esempio consideiamo: h 5; b 8 ( α ) D ( ) Si ha: EJ ( α ) Ovveo: β Pe isulta β / ovveo la condizione di SEINCASTO