1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

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1 Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un regione pin che h l form di un poligono regolre o di un cerchio, si conoscono formule per clcolre l re dell regione, cioè per ssocire ll regione un numero positivo che ne misuri l estensione. In questo cpitolo ci proponimo di estendere il clcolo dell re regioni pine limitte piú generli. Ricordimo che un regione del pino è limitt se è possibile rcchiuderl dentro un cerchio, o (equivlentemente) dentro un rettngolo. È importnte evidenzire che - come ccde per le regioni elementri - l re di un regione pin limitt deve soddisfre lcune proprietá fondmentli: 1. deve essere un numero positivo; 2. non deve dipendere dll posizione dell regione nel pino: se si trsl e/o si ruot un regione pin l su re non cmbi! 3. Se A e B sono due insiemi tli che A B, l re di A deve essere minore o ugule ll re di B; 4. Se un regione A è unione di un numero finito di insiemi limitti, che hnno interni disgiunti (si intersecno l piú sul bordo), llor l re di A deve essere l somm delle ree delle singole prti. 5. L re di un rettngolo A = [, b] [c, d] deve vlere (b ) (d c), secondo qunto è noto dll geometri elementre. 2 Trpezoide ssocito un funzione limitt Tr le regioni non elementri per cui si conosce un metodo per clcolre l re h un ruolo fondmentle l regione compres tr il grfico di un funzione limitt su un intervllo chiuso e limitto e l sse delle scisse, regione che chimeremo trpezoide ssocito ll funzione. Si f un funzione limitt, definit in un intervllo chiuso e limitto [, b]. L regione T f del pino cosí definit T f = {(x, y) : x b, 0 y f(x) } è dett trpezoide ssocito ll funzione f. Si trtt di un regione limitt del pino (puó essere inclus in un rettngolo con lti prlleli gli ssi coordinti). Si noti che 1. se f è positiv, llor T f = {(x, y) : x b, 0 y f(x)} e l regione è contenut nel semipino positivo;

2 Anlisi Mtemtic se f è negtiv, llor T f = {(x, y) : x b, f(x) y 0} e l regione è contenut nel semipino negtivo; 3. se f cmbi segno, llor T f è composto di insiemi dei due tipi precedenti. Definiremo, per il trpezoide di un funzione limitt, un re con segno, che vluti positivmente l re delle prti che si trovno nel semipino superiore e negtivmente l re delle prti che si trovno nel semipino inferiore e che si quindi un somm lgebric delle ree con segno delle singole prti. Quest re con segno srá detto integrle definito dell funzione f e permetterá di clcolre - qundo possibile - l re di regioni limitte del pino piú generli. 3 Integrle definito di funzioni scl 1. Si f(x) = K, x (, b). (Non importno i vlori dell funzione nei due estremi!). Il suo trpeziode è ovvimente un rettngolo R, l cui bse [, b] ppoggi sull sse x. Questo rettngolo si trov l di sopr dell sse x se K > 0 e l di sotto di tle sse se K < 0. Dunque nel primo cso l su re è K(b ), mentre nel secondo cso l su re è K(b ). Definimo - in ogni cso - f := K (b ). Ovvimente f risult positivo, negtivo o nullo second che si tle K e quindi f misur l re con segno del rettngolo (trpezoide) ssocito ll funzione costnte. 2. Si f un funzione scl su [, b]; questo signific che esiste un suddivisione di [, b], medinte un numero finito di punti tle che = < x 1 < < x i 1 < x i < < x n = b, f(x) = K i, se x (x i 1, x i ), i = 1,..., n. (Non importno i vlori nei punti dell decomposizione!) Il trpezoide T f è un unione finit (disgiunt) di rettngoli con lti prlleli gli ssi coordinti, R 1, R 2,..., R n, che si ppoggino sull sse x. Per tle funzione si definisce f = f(x) dx := K i (x i x i 1 ). Si trtt di un somm lgebric ch somm l re dei rettngoli l di sopr dell sse x e l opposto dell re dei rettngoli che si trovno sotto l sse. Vlgono le seguenti proprietá, di verific immedit.

3 Anlisi Mtemtic Lineritá. Se f(x) e g(x) sono funzioni scl in [, b] e α, β R, llor αf(x) = βg(x) è un funzione scl in [, b] e (αf(x) = βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. 2. Additivitá. Se f(x) è un funzione scl in [, b] e c (, b), llor f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. [,c] 3. Confronto. Se f(x) e g(x) sono funzioni scl in [, b], tli che f(x) g(x), x [, b], llor f(x) dx g(x) dx. [c,b] 4 Integrle definito di funzioni limitte Si f(x) un funzione limitt in [, b]. L limittezz ssicur che esistono costnti H, K reli tli che H f(x) K, x [, b]. Pertnto esistono funzioni scl s(x) e funzioni scl t(x), tli che s(x) f(x) t(x), x [, b]. Questo implic che il trpezoide T f contiene un unione di rettngoli che si ppoggino ll sse x, ed è contenuto su volt in un unione di rettngoli di questo tipo. Quest osservzione suggerisce che l re (o l re con segno) del trpezoide - e quindi l integrle definito dell funzione f(x) - si puó definire ttrverso un processo di pprossimzioni successive prtire dgli integrli definiti di funzioni scl s(x) e t(x) sempre piú prossime ll funzione dt. Precisimo nei dettgli il procedimento che port ll definizione di integrle definito dell funzione f(x). 1. Considerimo tutte le funzioni scl s(x), e tutte le funzioni scl t(x), tli che s(x) f(x) t(x), x [, b]. 2. Definimo l integrle definito su [, b] di ogni s(x) e di ogni t(x) e considerimo i due insiemi numerici { } { } S = s(x) dx T = t(x) dx. Risult in ogni cso s(x) dx (i due insiemi numerici S e T sono seprti). t(x) dx

4 Anlisi Mtemtic Considerimo sup S, e inf T. Risult Si possono verificre due csi: () sup S = inf T. (b) sup S < inf T. sup S inf T. () Se sup S = inf T, (cioè gli insiemi S e T sono seprti e contigui), llor è nturle definire l integrle definito di f(x) in [, b] come il vlore comune di sup S e inf T ; pertnto in questo cso dicimo che l funzione f(x) è integrbile in [, b] e definimo f = f(x) dx := sup S = inf T. (b) Se invece sup S < inf T, llor c è tutto un intervllo che sepr S d T e quindi è nturle in tle situzione dire che l integrle di f(x) in [, b] non si puó definire, o, in ltre prole, che f(x) non è integrbile. Qulor esist, l integrle definito di f(x) in [, b] è un misur dell re con segno del trpezoide T f. Precismente, se l funzione è positiv, llor l integrle misur l re del trpezoide, mentre se l funzione è negtiv, llor l integrle è l opposto di tle re. Esistono funzioni limitte in [, b] non integrbili? L rispost è si. Un esempio di funzione limitt non integrbile è l funzione di Dirichlet: { 1 se x [0, 1], rzionle, f(x) = 0 se x [0, 1], irrzionle. Inftti per quest f(x) ogni funzione s(x) è s(x) 0, mentre ogni funzione t(x) è t(x) 1, e quindi sup S = 0, mentre inf T = 1. Quli funzioni limitte sono integrbili? Si prov che le funzioni continue e le funzioni continue trtti sono integrbili. 5 Integrle definito di funzioni continue In quest sezione supponimo che l funzione f(x) si continu nell intervllo [, b]. Dimostreremo che l funzione è integrbile e forniremo nche un metodo lterntivo, piú semplice e opertivo, per il clcolo - e il clcolo pprossimto - dell integrle. Considerimo un decomposizione generic dell intervllo [, b] medinte i punti = < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. In ogni intervllino [x i 1, x i ] l funzione è continu; pertnto il Teorem di Weierstrss ssicur che l funzione mmette in tle intervllino mssimo M i e minimo m i : per ogni i = 1,..., n. m i f(x) M i, x [x i 1, x i ], Restno cosí individute due funzioni scl:

5 Anlisi Mtemtic 2 5 s(x) tle che s(x) = m i in [x i 1, x i ], per ogni i = 1,..., n; t(x) tle che t(x) = M i in [x i 1, x i ], per ogni i = 1,..., n. Per tli funzioni si h s(x) dx = n m i(x i x i 1 ) S (somm inferiore), t(x) dx = n M i(x i x i 1 ) T (somm superiore). È intuitivo spettrsi che l differenz t(x) dx s(x) dx = M i (x i x i 1 ) m i (x i x i 1 ) = (M i m i )(x i x i 1 ) diventi rbitrrimente piccol purché n diventi sufficientemente grnde. In reltá quest proprietá è un conseguenz dell proprietá di continuitá uniforme di cui gode ogni funzione che si continu in un intervllo chiuso e limitto [, b]. Il ftto che l differenz precedente poss essere pres rbitrrimente piccol ssicur che, per un funzione continu, sup S = inf T, e quindi l funzione è integrbile in [, b]. Inoltre l definizione di integrle ssicur che si h in ogni cso m i (x i x i 1 ) f(x) dx M i (x i x i 1 ), e quindi l somm inferiore fornisce un vlutzione pprossimt per difetto dell integrle, mentre l somm superiore fornisce un vlutzione pprossimt per eccesso dell integrle. Inoltre le due pprossimzioni precedenti possono essere rbitrrimente buone, nel senso che l differenz tr ciscun di esse e l integrle puó essere pres rbitrrimente piccol. Tutto ció divent prticolrmente fcile, dl punto di vist opertivo, se si sceglie come decomposizione dell intervllo [, b] un decomposizione dicotomic ottenut suddividendo l intervllo in prti uguli, il cui numero è d ogni psso il doppio del precedente. Illustrimo nei dettgli questo procedimento. Dividimo l intervllo in due, trmite il punto medio dell intervllo [, b]; se chimimo m 1, M 1 e m 2, M 2 il minimo e il mssimo dell funzione nei due intervlli in cui è suddiviso [, b], si h, pplicndo le considerzioni del punto precedente ciscuno dei due intervlli, m 1 (b )/2 + m 2 (b )/2 f(x) dx M 1 (b )/2 + M 2 (b )/2. Se ripetimo il procedimento per ciscuno dei due intervlli e per ciscuno dei quttro intervlli cosí ottenuti e cosí vi, si h m 1 (b )/4 + + m 4 (b )/4 f(x) dx M 1 (b )/4 + + M 4 (b )/4,

6 Anlisi Mtemtic 2 6 se m i e M i sono il minimo e il mssimo dell funzione sull i-mo sottointervllino (i = 1, 2, 3, 4) e ncor per un suddivisione in N = 2 n prti, m 1 (b )/N + + m N (b )/N f(x) dx M 1 (b )/N + + M N (b )/N, cioè o ncor (m m N )(b )/N ( N ) m i (b )/N f(x) dx (M M N )(b )/N, ( N ) f(x) dx M i (b )/N, se m i e M i sono il minimo e il mssimo dell funzione sull i-mo intervllino (i = 1,..., N). Si osservi che, l crescere di n, l somm inferiore ument, mentre l somm superiore diminuisce e l differenz tr l somm superiore e quell inferiore, reltive ll stess decomposizione, tende zero. Dunque ( si puó ffermre che - pur di scegliere n sufficientemente grnde - le somme N ( i) m N (b )/N e i) M (b )/N forniscono - per l integrle definito dell funzione - due vlori pprossimti (uno per difetto e uno per eccesso) rbitrrimente ccurti. 6 Integrle definito di funzioni continue trtti In quest sezione supponimo che f(x) si un funzione continu trtti nell intervllo [, b]. Ció signific che si puó suddividere l intervllo [, b] in un numero finito di sottointervlli, in modo tle che l funzione si continu in ciscuno dei sottointervlli perti e poss essere prolungt per continuitá nche negli estremi di ciscun intervllo. Allor su ogni sottointervllo l integrle dell funzione è ben definito e srá nturle pensre che l integrle dell funzione su [, b] si l somm finit di tli integrli. 7 Significto geometrico dell integrle definito Nell sezione 2 bbimo definito il trpezoide di un funzione continu. Quest regione è contenut nel semipino delle y positive: è contenut nel semipino delle y positive, qundo f è positiv; è contenut nel semipino delle y negtive, qundo f è negtiv; oppure - se l funzione f cmbi segno - intersec l sse delle scisse ed è l unione di un numero finito di regioni, di cui lcune l di sopr dell sse x e lcune l di sotto di tle sse.

7 Anlisi Mtemtic 2 7 In ogni cso se ne puó clcolre l re che dovrá, per qunto giá detto, essere un numero rele positivo. Che relzione c è tr l re dell regione e l integrle definito dell funzione? Per qunto detto nell sezione precedente, se l funzione è positiv, l integrle definito f coincide con l re del trpezoide T f. Se invece l funzione f è negtiv, llor l integrle definito f coincide con l opposto dell re del trpezoide T f. Infine, nel cso generle in cui l funzione f ssume vlori positivi, negtivi e nulli, l integrle definito f coincide con l somm lgebric delle ree delle sottoregioni l di sopr e l di sotto dell sse delle scisse, in cui il trpezoide T f puó essere decomposto: l re è precedut dl segno + se si trov l di sopr dell sse delle scisse e precedut dl segno se si trov l di sotto di tle sse. 8 Integrle definito d b Supponimo che f si un funzione definit in un intervllo I (che non è necessrimente chiuso e limitto) e che si ivi loclmente integrbile; ció signific che l funzione è integrbile in ogni intervllo chiuso e limitto contenuto in I.. Se, b sono due punti qulsisi di I, con < b, si puó considerre f, secondo l definizione dt in precedenz. Piú in generle, se, b sono due punti qulsisi di I, si puó definire l integrle definit d b, indicto con b f(x) dx, nel modo seguente: b f se < b, f(x) dx = f se > b, 0 se = b. 9 Proprietá degli integrli definiti 1. Lineritá. Sino f(x) e g(x) funzioni integrbili in un intervllo [, b]; sino inoltre α, β R. Allor l funzione αf(x) + βg(x) è integrbile in [, b] e 2. Additivitá. b [αf(x) + βg(x)] dx = α b f(x) dx + β b g(x) dx. Si f un funzione loclmente integrbile in un intervllo I. Per ogni scelt di, b, c I, si h b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx.

8 Anlisi Mtemtic Teorem del confronto Sino f(x) e g(x) funzioni integrbili in un intervllo [, b]; llor f(x) g(x), x [, b] = Come csi prticolri, si osserv che b f(x) dx () f(x) 0, x [, b] = b f(x) dx 0. (b) f(x) 0, x [, b] = b f(x) dx 0. (c) b f(x) dx b f(x) dx. In effetti si h f(x) f(x) f(x) e quindi si deduce che b f(x) dx che equivle ll disuguglinz (c). 4. Teorem dell medi integrle. b f(x) dx Si f(x) un funzione integrbile in un intervllo [, b]. Il numero rele µ = 1 b è detto medi integrle di f(x) in [, b]. b f(x) dx b b g(x) dx. f(x) dx, Secondo l definizione, l medi integrle di f(x) in [, b] è quel numero rele µ tle che b f(x) dx = µ (b ). Nel cso prticolre in cui f(x) è positiv e quindi l integrle è l misur dell re del trpezoide T f, l medi integrle µ è l ltezz di un rettngolo di bse [, b] che h l stess re del trpezoide. Se s = inf f(x) e S = sup f(x), si h s µ S. Se l funzione f(x) è continu, llor l funzione mmette in [, b] minimo m e mssimo M e si h m µ M. Allor il teorem dei vlori intermedi, che vle in conseguenz dell continuitá dell funzione, ssicur che esiste c [, b] tle che f(c) = µ; in ltre prole, esiste c [, b] tle che 1 b f(x) dx = f(c) b cioè tle che b f(x) dx = f(c) (b ).

9 Anlisi Mtemtic Funzioni integrli Si f(x) un funzione loclmente integrbile in un intervllo I. Fissimo un punto I. Per ogni x I, si esso mggiore, ugule o minore di, si puó considerre l integrle definito d x dell funzione f, che è un numero rele. Se d ogni x I fccimo corrispondere questo integrle, x x f, x I, bbimo un funzione definit su I, che indichimo F : F (x) = x f, x I. Quest funzione si chim funzione integrle di f di punto inizile. Qundo f è positiv, F (x) h come vlore l re sottes dl grfico di f tr e x, purché si < x; invece, se > x, llor F (x) h come vlore l opposto dell re sottes dl grfico di f tr x e. Se si cmbi punto inizile, e nziché si sceglie un punto x 1, llor con il metodo illustrto sopr si ottiene un nuov funzione integrle di f, di punto inizile x 1, che indichimo G : G(x) = x x 1 f, x I. L proprietá di dditivitá dell integrle definito implic che le due funzioni integrli F (x) e G(x) differiscono tr loro per un costnte; inftti G(x) = x x 1 f = x0 x 1 f + x f = F (x) + C, se C = x0 x 1 f. Dunque le funzioni integrli di un funzione loclmente integrbile f(x) sono infinite e differiscono tr loro per un costnte. Si noti che ogni funzione integrle vle zero nel punto inizile; inftti F ( ) = x0 f = Il teorem fondmentle del clcolo integrle L importnz delle funzioni integrli è evidenzit dl teorem fondmentle del clcolo integrle, che mostr come le funzioni integrli sino di ftto le primitive dell funzione integrnd f, qundo quest è continu. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Si f un funzione continu in un intervllo I. Per ogni I, l funzione integrle F (x) di punto inizile è derivbile e l su derivt è l funzione integrnd f(x) : F (x) = f(x), x I. Dimostrzione. Fissimo un punto qulsisi x I e provimo che l funzione integrle F (x) è derivbile in x e che F (x) = f(x).

10 Anlisi Mtemtic 2 10 A questo scopo considerimo il rpporto incrementle di F in x. Si h F (x) F (x) = 1 ( x x ) f f = 1 ( x x f + f x x x x x x x Il teorem dell medi fferm che esiste c tr x e x tle che 1 x f = f(c). x x Pertnto si h F (x) F (x) = f(c). x x Se or si consider il limite del rpporto incrementle per x x, si h x x f ) = 1 x x F (x) F (x) lim = lim f(c). x x x x x x Osservimo che se x x, nche c x; llor l continuitá dell funzione f ssicur che Il teorem è cosí dimostrto. lim x x F (x) F (x) x x = lim x x f(c) = f(x). Dimo l seguente definizione. Un funzione g(x) è un primitiv di un funzione f(x) in un intervllo I se è derivbile e l su derivt coincide con l funzione f(x) : g (x) = f(x), x I. Il teorem fondmentle del clcolo integrle fferm che ogni funzione integrle di un funzione continu è un su primitiv. Il teorem è importnte per il clcolo degli integrli definiti. In effetti l definizione di integrle definito non è utile per il suo clcolo; si deve quindi cercre un metodo lterntivo per fre il clcolo e, come vedremo, il teorem precedente fornisce questo metodo. Se, b sono due punti generici dell intervllo I, è immedito osservre che l integrle definito di f d b si ottiene come differenz dei vlori che un funzione integrle (non import qule è il punto inizile) ssume in b e in : Inftti b f(x) dx = x0 b f(x) dx = F (b) F (). b b f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (). Dunque se si vuole clcolre un integrle definito, è sufficiente conoscere un funzione integrle di f. D ltr prte, poiché le funzioni integrli non sono ltro che le primitive dell funzione integrnd, conoscere le funzioni integrli di un funzione continu f(x) in un intervllo I equivle conoscere le primitive dell funzione Dunque, per clcolre un integrle definito è sufficiente conoscere le primitive dell funzione integrnd. Precismente per clcolre b f(x) dx, con f(x) continu, si deve semplicemente clcolre le primitive di f(x); clcolre il vlore in b e in di un di esse frne l differenz. x x f.

11 Anlisi Mtemtic Clcolo di integrli definiti e di ree 1. Supponimo di dover determinre l re di un regione pin limitt compres tr il grfico di un funzione continu, o continu trtti e limitt, e l sse delle scisse, per x in un intervllo [, b]. Si deve stbilire in quli sottointervlli di [, b] l funzione è positiv e in quli è negtiv. Negli intervlli in cui l funzione è positiv si clcol l integrle definito dell funzione; negli intervlli in cui l funzione è negtiv si clcol l opposto dell integrle definito; si sommno i numeri positivi cosí ottenuti: il risultto è l re cerct. 2. Supponimo di dover clcolre l re di un regione pin limitt R compres tr i grfici di due funzioni f e g. Supponimo d esempio che si f(x) g(x). Per prim cos si deve determinre i due punti in cui i due grfici si intersecno: le loro scisse sono i punti e b. Si clcolno i due integrli definiti di f e di g rispettivmente tr e b. L differenz tr l integrle di g e l integrle di f fornisce il vlore dell re dell regione R. In effetti se 0 f(x) g(x), per x [, b], l regione R è l prte di T g che non st in T f e quindi l re è l differenz tr le due ree; se le due funzioni non sono positive, si possono trslre verso l lto in modo d renderle positive entrmbe, senz cmbire l re dell regione compres.