Un insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme

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1 Gli insiemi In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti (persone, simboli, numeri, lettere, figure ) che sono detti elementi dell insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro 1

2 Un insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme Esempio L insieme formato dalle città più belle d Italia non è ben definito perché non esiste nessun criterio oggettivo in base al quale una città è più bella di un altra. L insieme delle province della Puglia che cominciano con la lettera B è ben definito in quanto è sicuramente formato in maniera inequivocabile dalle città Bari, Brindisi e Barletta. 2

3 Esempi di insiemi ben definiti: 1. l'insieme delle lettere della parola parco 2. l'insieme delle canzoni che ho ascoltato ieri 3. l insieme delle città della Puglia con più di abitanti 4. l insieme delle lettere dell alfabeto italiano 5. l'insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5 6. l'insieme delle montagne d Italia più alte di 1000 metri 7. l'insieme formato dal numero 3 del e dal monte bianco Esempi di insiemi che non sono ben definiti 1. l'insieme dei numeri più alti 2. l'insieme dei libri più interessanti 3. l'insieme delle città più belle del mondo 4. l'insieme degli amici più simpatici di Marco 5 l'insieme delle automobili più veloci 3

4 Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi dell insieme gli insiemi si indicano con lettere maiuscole A, B, C, ; gli elementi con lettere minuscole a, b, c, ; 4

5 se un elemento x fa parte dell'insieme A si dice che esso appartiene all'insieme A, si scrive x A e si legge x appartiene ad A ; Il simbolo si chiama simbolo di appartenenza. se un elemento y non fa parte dell'insieme A si dice che esso non appartiene all'insieme A, si scrive ya e si legge y non appartiene ad A. Il simbolo si chiama simbolo di non appartenenza. 5

6 La proprietà caratteristica di un insieme è il criterio in base al quale si stabilisce se un elemento appartiene a un insieme 6

7 Esistono particolare lettere utilizzate per indicare degli insiemi numerici: si utilizza per indicare l insieme dei numeri naturali: ={0,1, 2,3,...} ; si utilizza per indicare i numeri interi relativi: ={..., 3, 2, 1,0,+1,+2,+3,...} si utilizza per indicare i numeri razionali: 7

8 Rappresentazioni di un insieme Esistono tre tipi di rappresentazione di un insieme : TABULARE GRAFICA CARATTERISTICA 8

9 Rappresentazione tabulare A = { 1, 2, 3, 4, 5 } Si elencano in una parentesi graffa tutti gli elementi appartenenti all insieme separati da una virgola 9

10 Rappresentazione Grafica o di Eulero-Venn A Si disegna un ovale o cerchio in cui inserire gli elementi appartenenti all insieme 10

11 Rappresentazione per caratteristica A = {x N x < 6 } Nell esempio in questione l insieme A rappresenta tutti i numeri naturali minori di 6 il simbolo significa appartiene, il simbolo N rappresenta i numeri naturali, e il simbolo significa tale che quindi A = {x N x < 6 } si legge A è uguale all insieme dei numeri x appartenenti ai numeri naturali tale che x siano minori di 6 La rappresentazione per caratteristica consiste quindi nel descrivere sinteticamente la proprietà che caratterizza, gli elementi dell insieme 11

12 INSIEME VUOTO Tipi di insieme INSIEME FINITO INSIEME INFINITO 12

13 Insieme vuoto si dice insieme vuoto e si indica con il simbolo o { } un insieme che non contiene nessun elemento ATTENZIONE { } è diverso da {}, perché {} rappresenta un insieme che contiene l insieme vuoto ESEMPI: L'insieme A dei numeri naturali minori di 0 è vuoto e si rappresenta A = oppure A= { } L insieme B dei punti di intersezione di due rette parallele è vuoto e si rappresenta B = L insieme C delle province con meno di 10 abitanti è vuoto e si rappresenta C = 13

14 Insieme finito Si dice insieme finito un insieme i cui elementi si possono contare ESEMPI: L'insieme A dei numeri naturali compresi tra 2 e 9 è finito e si rappresenta A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } L insieme B delle lettere della parola mamma e finito e si rappresenta B = { m, a } (nota che gli elementi uguali si scrivono solo una volta) L insieme C degli studenti della 1 A seduti nell ultima fila è finito e si rappresenta C = {..,..,..,..,.., } 14

15 Si dice insieme infinito un insieme i cui elementi non si possono contare ESEMPI: Insieme infinito L insieme A dei punti di una retta è infinito e conviene rappresentarlo per caratteristica. Esempio A = { x tale che x sono numeri di una retta } L insieme B dei numeri naturali maggiori di 40 è infinito e conviene rappresentarlo per caratteristica. L'insieme C dei numeri razionali compresi tra 2 e 9 è infinito e conviene rappresentarlo per caratteristica. 15

16 Cardinalità di un insieme finito Si definisce cardinalità di un insieme A finito il numero degli elementi dell'insieme e viene indicata con il simbolo card (A). ESEMPI: Dato l insieme A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } la sua cardinalità è card (A) = 6 Dato l insieme B delle lettere della parola lampada la sua cardinalità è card (B) = 5 16

17 Insiemi uguali, insiemi diversi e insiemi disgiunti Due insiemi A e B si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso e si scrive A=B Due insiemi uguali hanno la stessa cardinalità. Due insiemi A e B si dicono diversi se non contengono gli stessi elementi e si scrive AB Due insiemi diversi non hanno la stessa cardinalità Due insiemi A e B si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune 17

18 Sottoinsiemi di un insieme Si definisce sottoinsieme proprio di un insieme A un insieme B che contiene gli stessi elementi di A ma in numero minore e si indica A B Si definiscono sottoinsiemi impropri di un insieme A l insieme vuoto e lo stesso insieme La scrittura A B indica tutti i possibili sottoinsiemi, sia quelli propri che quelli impropri La scrittura A B significa che A non è sottoinsieme di B 18

19 Insiemi delle parti di un insieme Dato l insieme A rappresentato graficamente a lato, tutti i suoi possibili sottoinsiemi, sia quelli propri che quelli impropri sono: A.1.3 {}, { 1, 2, 3 }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }. Si chiama insieme delle parti di A e si indica con P(A) l insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di A propri e impropri; cioè: P(A) ={ {}, { 1, 2, 3 }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 } }.2 19

20 Operazioni tra insiemi Unione intersezione differenza 20

21 Operazione di unione tra insiemi Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione e si indica A B l insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B. (Ovviamente se ci sono elementi in comune, si scrivono una sola volta) ESEMPIO 1: Dati gli insiemi A = { 3, 4, 5, 6} e B = { 1, 2, 3, 4} L insieme A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A B Graficamente A B

22 ESEMPIO 2: Operazione di unione tra insiemi Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6} L insieme A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Osserviamo che gli insiemi A e B non hanno elementi in comune. Due insiemi che non hanno elementi in comune si dicono DISGIUNTI ESEMPIO 3: Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 3, 5} L insieme A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Osserviamo che gli insiemi B A. Graficamente A B Possiamo affermare che quando B A allora A B = A 22

23 Operazione di intersezione tra insiemi Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione e si indica A B l insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B. ESEMPIO 1: Dati gli insiemi A = { a, b, c, d} e B = { l, m, n, o} L insieme A B = { } Graficamente A B.a.b.c.d.l.m.n.o A e B sono disgiunti 23

24 Operazione di intersezione tra insiemi ESEMPIO 2: Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6} L insieme A B = { 3, 4 } Graficamente A B A B = 24

25 Operazione di intersezione tra insiemi ESEMPIO 3: Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 3, 5} L insieme A B = { 2, 3, 5 } A Graficamente B Possiamo affermare che quando B A allora A B = B 25

26 Operazione di differenza tra insiemi Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza tra A e B e l insieme C che contiene tutti gli elementi di A che non appartengono a B. In simboli: C = A - B che si legge "A differenza B". Mediante proprietà caratteristica si scrive: C = A B = {x x A e x B} ESEMPIO : Siano A = {4,5,6,7,8} e B = {5,7,1,9} allora A B = {4, 6, 8 } e B A = {1, 9} 26