Ottica Geometrica Strumenti Ottici. Bibliografia: Hecht, Optics, 4 ed, Addison Wesley 2002

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1 Ottica Geometrica Strumenti Ottici Bibliografia: Hecht, Optics, 4 ed, Addison Wesley 00

2 Spettro della radiazione elettromagnetica gnetic-spectrum.png u = frequenza lunghezza d'onda u velocità della luce c u= velocità della luce n c velocità della luce nel vuoto n indice di rifrazione c 3 08 m/s lunghezza d'onda nel verde (nel vuoto) ~500 nm frequenza nel visibile ~04 05 Hz

3 Energia del fotone gnetic-spectrum.png c E=h =h h costante di Planck 34 h=6.60 J s E (ev) =.4 ( m) ev J lunghezza d'onda nel verde (nel vuoto) ~0.5 m Energia del fotone E=.48 ev

4 Il limite dell'ottica Geometrica È essenzialmente la situazione in cui sono trascurabili i fenomeni di diffrazione, e le energie dei quanti di radiazione 0 rispetto alle scale spaziali del sistema Energia dei fotoni trascurabile Ottica geometrica La radiazione è rappresentata dai raggi che sono definiti come le traiettorie perpendicolari ai fronti d'onda. Nelle approssimazioni fatte i raggi trasportano l'energia del campo (sono tangenti al vettore di Poynting.) L'Ottica Geometrica è un caso limite dell'elettromagnetismo Classico.

5 Intervallo di applicabilità dell'ottica Geometrica Riflettore sferico di Arecibo = m - 3 cm Diametro: 305 m ~ 0. - nm Telescopi a raggi X Ad esempio: Chandra X-ray Observatory

6 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 License ARECIBO, PUERTO RICO Specchio sferico di diametro 305 m λ = 3 cm- m Occorre tener conto della diffrazione dovuta al ricevitore/trasmettitore

7 A incidenza radente, dell ordine o minore grado un fotone di energia di kev viene riflesso

8 Ottica Geometrica da un Principio variazionale: Principio di Fermat Dato un campo armonico, i raggi sono le curve per le quali l'integrale di linea (cammino ottico) : n ds ha un valore stazionario: δ ( n ds )=0 Evidentemente, in un mezzo omogeneo (n uniforme), le traiettorie dei raggi sono rette c n ds= n n dt=c dt ciò è equivalente alla condizione di tempo stazionario

9 Principio di Fermat: Esempi Cavità di un laser a stato solido cilindro ellittico Lampada di pompaggio Barra del mezzo attivo Antenna parabolica

10 Leggi di Snell I Riflessione P Il cammino minimo dell'intorno è quello per cui l'angolo di incidenza è uguale a quello di riflessione Q Q'

11 Leggi di Snell II y x y L x t= Rifrazione t= y θ O v P n y x v y x L x v y L x sin sin t= v v L x v n θ Q sin sin t=0 = v v c v= n n sin =n sin

12 Angolo limite n sin =n sin Guide d'onda n Se n n per: limite con: sin limite = n si ha RIFLESSIONE TOTALE (propagazione guidata) θ Esempio: fibra ottica

13 Diffrazione: descrizione qualitativa Diffrazione: Interferenza + Principio di Huygens (69-695) Fresnel (788-87) Principio di Huygens-Fresnel: Ogni elemento di un fronte d'onda agisce come un centro di una perturbazione secondaria che si propaga in forma di onda sferica elementare, con un fattore di inclinazione che descrive la variazione dell'ampiezza dell'onda.

14 Parentesi matematica: Onda Sferica E k E =0 i t Re E e E Equazione di Helmoltz in coordinate cartesiane Onda monocromatica Trasformata di Fourier del campo elettrico E E E r sin k E=0 r r r r sin r sin Equazione di Helmoltz in coordinate sferiche r Se il campo dipende solo dalla distanza r da una sorgente puntiforme: E r k E=0 r r r APPROSSIMAZIONE DI ONDA SFERICA i k r t E e i t = e r

15 P (punto campo) d >> λ d A B A d ~λ B Interferenza distruttiva nella zona di ombra geometrica: limite dell'ottica Geometrica, propagazione per raggi rettilinei. Tra A e B la differenza di cammino è vicina alla lunghezza d'onda: c'è interferenza parzialmente costruttiva tra le onde secondarie e illuminazione nella zona dell'ombra geometrica Sorgente quasi-puntiforme d << λ Diffrazione: descrizione qualitativa. Conseguenze del Principio HF

16 d = 4λ Simulazione da:

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18 UC Irvine Distant Learning Center (fair use) Fotografia aerea di onde diffratte da due rocce. Credit: Fjellanger Widerøe A.S.

19 Ottica Geometrica:Diottro Sferico Trattiamo la rifrazione attraverso una superficie sferica n P s S n >n h V Q s' R O S'

20 Approssimazione parassiale n n > n P s s' h R O V Q S S' [ ( )] h h h VQ= R R h = R( ) R = R R R h h SQ= s h =s s s s h h S'Q= s ' h =s ' s ' s' s'

21 Uguaglianza dei cammini ottici n n > n P s h V Q S s' R O S' h SQ s s n s +n s '=n SQ +n S'Q +(n n )VQ h S'Q s ' s' h VQ R n n n n + = s s' R

22 Diottro Sferico: approssimazione parassiale n n s S s h V s' R O s' S' n n n n + = s s' R

23 Diottro Sferico:Approx. Parassiale Piani focali n S n s R V O s' n n n n = s s' R se s ', allora s f n n n = f 0 f R F Fuoco primario S'

24 Diottro Sferico:Approx. Parassiale Piani focali n n n n = s s' R Fuoco secondario F' se s, allora s ' f ' n n n = f' R f ' 0, f ' n = f n

25 In realtà oltre ai fuochi abbiamo dei piani focali dato che vi è simmetria di rotazione attorno ad O O F' F'' Ne segue che ogni fascio di raggi paralleli che incide sul diottro sferico viene focalizzato in un punto del piano focale secondario ( ogni fascio uscente da un punto del piano focale primario viene collimato dal diottro)

26 Ciò vale anche per quanto riguarda punti oggetto e punti immagine O Per simmetria di rotazione ammettiamo che tutti i raggi uscenti da un oggetto (superficie sferica) ortogonale all'asse ottico convergano in un punto di una immagine (superficie sferica) ortogonale all'asse ottico

27 n S s S' O R n > n n n n n = s s' R V Sistema divergente: R <0 se è alla sinistra di V Se R <0, n>n, allora f<0 Dunque se s>0, s'<0 (alla sinistra di V)

28 Sistemi divergenti: convenzione dei segni s, f > 0 se S, F a sinistra di V s', f' > 0 se S' F' a destra di V R > 0 se O è a destra di V n S s O R n > n V Con queste convenzioni le formule ottenute sono comunque valide n n n n = s s' R

29 Concetto di immagine virtuale n n > n R F' O Fuoco secondario virtuale V Sistema divergente: R <0 f<0 n n n = f' R

30 Lenti (sottili) Una lente è in generale un sistema di mezzi lineari trasparenti delimitato da superfici sferiche R n n R d Il problema ottico si risolve in generale considerando successive rifrazioni

31 Rifrazione sulla prima superficie n n R s n n n n = s s'' R s''

32 Rifrazione sulla seconda superficie n n s'' s' d n n n n = s ' ' d s ' R Negativo perché oggetto virtuale

33 Rifrazione sulla seconda superficie n n s'' s' d n n n n = s ' ' d s ' R Negativo perché oggetto virtuale

34 Lente: Rifrazione n n n n = n n s s ' s ' ' d s ' ' R R Lente sottile: n n = n n s s' R R

35 Centro di una lente Dato un raggio che attraversa in due punti P e Q la lente senza cambiare direzione, esso individua due piani tangenti che devono essere paralleli P O O Q

36 Centro di una lente Ciò definisce il centro O della lente P O O O Q Infatti essendo OOQ e OOP triangoli simili la posizione di O dipende solo dalle caratteristiche della lente I raggi passanti per O non sono deviati dalla lente

37 Piani Nodali N O N P O O Q Sono anche individuati i nodi e i piani nodali di una lente I raggi diretti verso i nodi passano dal centro O e non vengono deviati dalla lente

38 Lente sottile: n = n = n F = n f R R f f O = n s s' R R F' = s s' f Se la lente è sottile il centro della lente coincide con la sua posizione e i piani nodali coincidono. Il solo parametro f oppure D (potenza della lente ) = /f [diottrie, se f misurata in metri] basta a descriverla

39 Metodo grafico per la determinazione delle immagini f f = s s' f y S x F' x' F O S' y' s=x f s ' =x ' f y y' y' y = = x f x' f Ingrandimento laterale y' s' f x' I = = = = y s x f

40 Lenti sottili: Formule e convenzioni algebriche = n s s' R R = s s' f = n f R R Ingrandimento laterale y' s ' f x' I = = = = y s x f x x '= f Convenzioni che mantengono la validità delle formule in caso di lenti divergenti e/o immagini virtuali s, f s', f' R, R x x' y, y' > 0 se S, F a sinistra di O > 0 se S', F' a destra di O > 0 se il centro della superficie è a destra del vertice V > 0 se è a sinistra di F > 0 se è a destra di F' > 0 se è sopra l'asse ottico

41 Lente sottile. Con le convenzioni date, le formule scritte valgono in ogni situazione. Divergente: f < 0 Convergente: f > 0 = n f R R

42 Lente positiva: costruzione delle immagini f f f F' S + = s s' f F f S' O

43 Lente negativa: indispensabile in combinazione con lenti convergenti f f F F' L'immagine è sempre virtuale, sempre ridotta, sempre eretta, sempre entro la distanza focale della lente La lente divergente non è utile di per sé ma solo in combinazione con lenti convergenti ( ad esempio nella correzione della miopia)

44 Lente spessa Lente il cui spessore non è trascurabile rispetto alla distanza focale, in generale qualsiasi sistema ottico limitato da superfici (sferiche), ad esempio una serie di lenti sottili, O O Il comportamento ottico può essere descritto completamente da tre coppie di piani: focali, principali e nodali

45 Piano Principale Primario H F F'

46 Piano Principale Secondario H F H F'

47 Piani Nodali N n= N n n= Quando la lente è immersa in un unico mezzo piani nodali e principali coincidono

48 Lente spessa: specifiche H H ef l ef l V V F F' ffl bf l

49 Lente spessa: costruzione delle immagini H H F' F s = s s' f s'

50 Una singola lente non può essere adeguata a causa delle aberrazioni ottiche ( aberrazione sferica, coma astigmatismo, distorsione, curvatura di campo) Aberrazione sferica: I raggi marginali corrispondono a una distanza focale minore di quelli parassiali 4 NA NA=n sin

51 L'aberrazione sferica dipende dalla forma della lente e dalla distanza dell'oggetto L'oggetto è a infinito, nella lente a destra l'aberrazione è ridotta Da Hecht, Optics, Pearson Education

52 = n f R R n = B C B C B3 C 3

53 = f f f Richiedo che: = fr fb

54 ( ) =(n ) =(n )ρ f R R + = f f f (nr )ρ+ (nr )ρ=(nb )ρ+ (n B )ρ ρ nb n R ρ = n n B R =(ng )ρ f G =(n G )ρ f G n B nr ng f G = n G nb n R f G = fr fb ρ f G ng ρ = f n G G

55 n B nr ng f G = n G nb n R f G Definisco potere dispersivo: n B n R ng L'inverso è il Numero di Abbe: n G V= n B n R Si ottiene: = fr fb Quando: f G V f G V =0 Dunque una delle lenti deve essere divergente

56 Supponiamo di aver scelto una focale fg f G V + f G V =0 + = f G f G f G V = f G f G V V V = f G f G V V Scegliamo la differenza V-V circa 0 per evitare focali troppo piccole e raggi di curvatura troppo piccoli

57 Vari tipi di vetro n in funzione di V

58 Strumenti Ottici Occhio umano Lente di ingrandimento Microscopio composto

59 Occhio: descrizione Sclera: guscio protettivo fibroso, bianco. Coroide: strato vascolare ricco di melanina

60 Occhio: sistema ottico cornea +5 retina cristallino lunghezza focale = f 7 mm 59-5 iride 0 5 D= =58.5 diottrie f mm per l'occhio non accomodato, di cui 43 diottrie dovute alla cornea

61 Occhio: retina Macula: depressione di diametro.5 3 mm dove abbondano i recettori coni sensibili ai colori Nella macula, la fovea (0.3 mm) contiene la massima densità di coni (diametro.5-3 micrometri) in grado di fornire la massima risoluzione compatibile con la diffrazione. Modificato da:

62 Occhio: accomodamento Occhio normale Minima distanza convenzionale di nitida visione. In realtà il near-point si allontana con l'età (presbiopia)

63 Occhio: difetti di vista far point Miopia al finito Ipermetropia virtuale near point correzione più vicino che nell'occhio normale lente negativa più lontano lente positiva

64 Occhio: Ingrandimento angolare α α' Dato che la distanza lenti -piano immagine per l'occhio è praticamente costante, ciò che determina la grandezza dell'immagine sulla retina è l'angolo sotto cui è visto un oggetto

65 Lente di ingrandimento y α 5 cm f y' α' s' <0 s ' y ' s' = y s = s s' f s' s' = s f ' s ' = f ' 5 = f

66 y y α 5 α 5 cm f y' α' s ' 5 = f y α' f Se l'oggetto è posto sul piano focale

67 Microscopio composto L f0 obbiettivo Ingrandimento angolare L 5 M = f0 f f oculare