Quadrati latini e di ordine superiore per la attenuazione dei disturbi nelle attività sperimentali

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1 Quadrati latini e di ordine superiore per la attenuazione dei disturbi nelle attività sperimentali Stefano Pirani Dipartimento di Ingegneria dell'informazione Università Politecnica delle Marche Ancona - AN stefano.pirani@univpm.it Abstract Le tecniche di progettazione dell'esperimento sono fondamentali per una corretta attività sperimentale ed i quadrati latini e di ordine superiore sono utili quando si devono contrastare più grandezze di influenza. Nell'articolo viene presentata una tecnica generale per la costruzione di quadrati di ordine maggiore di 3. Keywords Misure, DOE, Grandezze di influenza I. INTRODUZIONE In ogni attività di misura è indispensabile una fase preliminare di studio finalizzata alla analisi delle grandezze che possono interferire con lo svolgimento della fase di misura alterando il valore del parametro misurando. Indicando tali grandezze con il nome di grandezze di influenza è possibile affermare che una corretta progettazione dell'esperimento (o DOE - Design Of the Experiment) deve includere la messa a punto di una strategia che consenta, ove necessario, di attenuare gli effetti delle grandezze di influenza fino a renderli compatibili con gli obiettivi dell'esperimento. Il quadrato latino, conosciuto da tempo da matematici ed enigmisti, è lo strumento che Ronald A. Fisher suggerì di utilizzare per la progettazione degli esperimenti nei casi in cui vi sono due distinte grandezze di influenza che possono alterare lo stato della grandezza sotto esame. Il quadrato grecolatino, una estensione del quadrato latino, è stato invece adottato nei casi in cui si debbano contrastare gli effetti di tre grandezze di influenza. Una ricerca bibliografia non ha messo in luce quadrati idonei ad operare con più di tre grandezze di influenza: in questo articolo si presenta una procedura originale con cui è possibile costruire quadrati di ordine superiore idonei a progettare esperimenti in cui si desidera contrastare l'effetto di un numero arbitrario di grandezze di influenza. II. UN CLASSICO ESEMPIO DI ESPERIMENTO A DUE GRANDEZZE DI INFLUENZA Volendo chiarire cosa sia e come operi un quadrato latino si può ricorrere al più classico esempio che si trova in letteratura e che fa riferimento ad una delle prime reali applicazioni delle tecniche DOE. Supponiamo di voler confrontare la resa di quattro razze diverse di frumento: ovviamente la sperimentazione dovrà essere condotta seminando, coltivando, mietendo ed infine trebbiando le quattro razze per poi stilare una graduatoria in funzione delle quantità trebbiate. L'ipotesi di seminare uno stesso appezzamento di terreno in quattro annate successive evidentemente non può essere accettata per vari motivi: il risultato si avrebbe solo dopo quattro anni di lavoro e le situazioni climatiche dei vari anni sarebbero inevitabilmente diverse apportando non accettabili alterazioni ai risultati sperimentali. Un'altra soluzione potrebbe essere quella di utilizzare quattro diversi appezzamenti di terreno in modo da condurre la sperimentazione in un solo anno: seminando una diversa razza di frumento in ciascun appezzamento si risolverebbe certamente il problema della durata della prova, che si riduce ad un solo ciclo semina-coltivazione-mieti-trebbiatura", e certamente si avrebbe una riduzione delle differenze climatiche, in special modo se i quattro lotti usati per l'esperimento si trovano l'uno in prossimità dell'altro. A rigore, pero, si deve considerare che il terreno agricolo non è un sistema omogeneo e isotropo per cui si possono ancora evidenziare delle differenze fra i quattro lotti tali da alterare i risultati sperimentali. Il terreno in cui organizzare i quattro lotti potrebbe non essere orizzontale e ciò provocherebbe una irrigazione a valle maggiore di quella a monte; anche le condizioni di soleggiamento potrebbero essere non uniformi se la superficie del terreno non fosse planare, cosa frequente nei terrreni collinari. Entrambe le caratteristiche influiscono sulla produttività delle seminagioni alterando il risultato della sperimentazione. Come evitare che queste due grandezze di influenza possano alterare in modo inaccettabile il risultato sperimentale? La soluzione richiede che la suddivisione del terreno seminativo in lotti sia fatta in modo non banale: se il terreno fosse suddiviso in quartieri (fig. 1) si avrebbe una esaltazione delle differenze. Una suddivisione in colonne (fig. 2) consentirebbe di attenuare l'effetto della drenaggio verso valle della pioggia, ma nulla potrebbe contro le differenze del soleggiamento mentre una suddivisione in righe (fig. 3) porterebbe ad una attenuazione delle differenze di soleggiamento, ma lascerebbe invariati gli effetti delle diversa distribuzione della acqua.

2 La suddivisione a scacchiere 4x4 (fig. 4) è invece in grado di attenuare gli effetti di entrambe le grandezze di influenza; per chiarezza indichiamo col termine parcella ciascuna delle 16 posizioni dello scacchiere. Fig. 1. Suddivisione del terreno seminativo in quartieri con esaltazione degli effetti di disturbo dovuti alla non uniformità di irrigazione e soleggiamento Fig. 4. Suddivisione del terreno seminativo a scacchiere 4x4 Organizzando la semina delle quattro diverse razze di frumento in maniera tale da avere una sola parcella seminata con una stessa razza in ciascuna riga e in ciascuna colonna si ottiene una disposizione a quadrato latino. L'aggettivo latino discende dalla usanza di indicare le diverse razze di frumento (ed in generale: le diverse condizioni del misurando) con lettere dell'alfabeto latino. A C D B Fig. 2. Suddivisione del terreno seminativo in colonne con compensazione dei soli effetti di disturbo dovuti alla non uniformità della irrigazione C A B D D B A C B D C A Fig. 5. Semina a quadrato latino 4x4 di quattro razze di frumento (indicate con le lettere A, B, C, D) Con la semina a quadrato latino il confronto fra le quattro razze di frumento viene effettuato attraverso il confronto fra le medie delle produzioni delle 4 parcelle seminate con la stessa razza. Fig. 3. Suddivisione del terreno seminativo in righe con compensazione dei soli effetti di disturbo dovuti alla non uniformità del soleggiamento III. ATTENUAZIONE DI DUE GRANDEZZE DI INFLUENZA: IL QUADRATO LATINO L'esempio precedente ha introdotto in modo implicito un quadrato latino sfruttando la fisicità del problema presentato.

3 Il quadrato latino è una matrice NxN con cui è possibile organizzare un esperimento nel quale verificare il comportamento di N diversi sistemi (o di un solo sistema in corrispondenza di N diversi punti di lavoro) quando si debba contrastare l'effetto di 2 diverse grandezze di influenza variabili in modo deterministico. Nell'esempio si dovevano verificare 4 razze di frumento (indicate con A, B, C e D) per cui il corrispondente quadrato latino è costituito da una matrice 4x4. Il terreno seminativo è stato infatti suddiviso in uno scacchiere 4x4 che, di fatto, corrisponde alla matrice 4x4 del quadrato latino. Ciascuna delle 4 razze di frumento viene seminata in 4 parcelle in modo tale che in ogni riga ed in ogni colonna ci sia una ed una sola parcella seminata con ciascuna razza: nel quadrato latino ciò corrisponde ad avere ciascuna delle lettere A, B, C e D presente una ed una sola volta in ciascuna riga e ciascuna colonna. Le parcelle presenti in una riga dello scacchiere hanno la stessa condizione per quanto riguarda la irrigazione così come le parcelle che si trovano in una stessa colonna hanno la stessa condizione di soleggiamento. Il quadrato latino prevede, similmente, che le 2 grandezze di influenza, con le rispettive variazioni, vengano disposte l'una secondo le righe e l'altra secondo le colonne della matrice. Possiamo ora abbandonare l'esempio bucolico del frumento e passare ad applicazioni industriali: nulla cambia per quanto riguarda la organizzazione del quadrato latino e della sperimentazione da esso proposta: dovendo contrastare l'effetto di due grandezze di influenza in un esperimento in cui vogliamo studiare N condizioni del misurando andremo a costruire un quadrato latino NxN in cui le variazioni di una delle grandezze di influenza sono disposte secondo le righe e quelle dell'altra secondo le colonne della matrice. Fatto ciò dovremo trovare una disposizione degli elementi della matrice (le lettere con cui rappresentiamo le N condizioni del misurando) tale da avere una ed una sola volta ciascuna lettera in ciascuna riga ed in ciascuna colonna. IV. ATTENUAZIONE DI TRE GRANDEZZE DI INFLUENZA: IL QUADRATO GRECO-LATINO Dovendo attenuare gli effetti di tre grandezze di influenza si potrebbe pensare di ricorrere ad una matrice tridimensionale riportando ciascuna grandezza di influenza su di una dimensione della matrice. Il procedimento non è sbagliato, ma richiede un numero di prove che, essendo pari al numero delle condizioni del misurando elevato alla terza potenza, rapidamente raggiunge valori elevati rendendo poco o per nulla praticabile tale soluzione. Molti Autori, seguendo la strada aperta nel XVIII secolo da Eulero, chiamano una evoluzione del quadrato latino con il nome di quadrato greco-latino : esso è lo strumento idoneo per attenuare gli effetti di tre grandezze di influenza senza richiedere una esplosione del numero delle misurazioni da eseguire. La matrice del quadrato greco-latino resta di dimensioni NxN ma gli elementi di tale matrice non sono più le sole lettere latine che simboleggiano le possibili condizioni del misurando, ma sono coppie ordinate di lettere. Le possibili condizioni assunte dalla terza grandezza di influenza vengono simboleggiate da lettere dell'alfabeto greco e ciascuna di esse deve figurare una sola volta in ciascuna riga ed in ciascuna colonna e deve essere associata una sola volta a ciascuna lettera latina. G1 A C D B G2 C A B D G3 D B A C G1 G2 G3 G1 A C D B G1 G4 B D C A G4 G2 C A B D G2 G3 D B A C G3 G4 B D C A G4 Fig. 6. Quadrato latino 4x4 per due grandezze di influenza che assumono rispettivamente i valori G1, G2, G3, G4 (la prima) e g1, g2, g3, g4 (la seconda); A, B, C, D sono le condizioni del misurando da sottoporre alla sperimentazione. Fig. 7. Quadrato greco-latino 4x4 per tre grandezze di influenza che assumono rispettivamente i valori G1, G2, G3, G4 (la prima), g1, g2, g3, g4 (la seconda),,,, (la terza); A, B, C, D sono le condizioni del misurando da sottoporre alla sperimentazione. I due gruppi di lettere greche e latine di un quadrato grecolatino, separate per alfabeto, costituiscono due quadrati latini che vengono definiti ortogonali in quanto i rispettivi elementi omologhi (A ed, B e, ) si sovrappongono in un solo punto. La costruzione di due quadrati latini ortogonali di ordine superiore a 4 non è un problema banale e, per oltre un secolo, i matematici si sono interrogati per cercare risposta ad un problema sviluppato da Eulero e che è conosciuto come il

4 problema dei 36 Ufficiali. Secondo Eulero non sarebbe stato possibile costruire quadrati greco-latini di ordine multiplo di 6 e gli studi di Gaston Tarry, che nel 1901 dimostrò la non esistenza di un quadrato greco-latino di ordine 6, parvero confermare la congettura euleriana. Solo nel 1959, grazie all'uso di un calcolatore elettronico UNIVAC, Parker, Bose e Shrikhande furono in grado di correggere la affermazione di Eulero: oggi infatti sappiamo che esistono quadrati greco-latini di ogni ordine superiore a 3 con la sola eccezione dell'ordine 6. È quindi possibile organizzare il piano sperimentale in modo da attenuare 3 grandezze di influenza con grande libertà per quanto riguarda il numero di valori del misurando che si desidera sottoporre alla sperimentazione. Ma come operare se le grandezze di influenza fossero più di tre? Prima di rispondere a questa domanda è opportuno che si consideri anche un altro aspetto del problema che in questo lavoro è stato fino ad ora trascurato. V. LA ORGANIZZAZIONE DEI TURNI DI PROVA Nell'esempio di quadrato latino che è stato presentato nella introduzione si è operato in un solo turno di prova: tale situazione è resa possibile dalla ipotesi (implicita) che tutti i semi del frumento di una stessa razza siano perfettamente uguali fra loro e si è motivata la scelta di operare con un solo turno con varie considerazioni. Nelle applicazioni industriale è più frequente il caso in cui si debba ricorrere all'uso di prototipi che, per le inevitabili imperfezioni dei processi produttivi, non possono essere considerati identici l'uno all'altro. Per questo motivo, e per non dover essere costretti ad usare un numero elevato di prototipi, si opera in più turni di prova. Supponiamo di dover esaminare il comportamento di tre diversi dispositivi elettronici nominalmente simili, ma diversi per comportamento effettivo a causa, per esempio, del fatto di essere stati prodotti in stabilimenti diversi. Per consentire il funzionamento di ogni dispositivo dovremo montarlo in un circuito e fornirgli la necessaria alimentazione. A causa delle inevitabili imperfezioni e tolleranze costruttive i circuiti in cui montare i dispositivi saranno tutti leggermente diversi l'uno dall'altro e stesso dicasi per i circuiti di alimentazione: sia i circuiti sia gli alimentatori assumono il ruolo di grandezze di influenza sul comportamento dei dispositivi elettronici sottoposti al test. Sappiamo che per attenuare tali grandezze di influenza potremmo ricorrere ad un quadrato latino 3x3 con cui individuare la più opportuna disposizione dei gruppi dispositivo-circuito-alimentatore ma in questo caso dobbiamo anche tener conto del fatto che la sperimentazione avviene in più turni di prova: al termine di ciascun turno ogni dispositivo verrà smontato da un circuito per essere montato su un altro circuito e lo stesso accadrà per le alimentazioni. Facendo in modo che ogni dispositivo sia montato su ogni circuito di prova e sia alimentato da ogni sorgente di alimentazione si realizza una sperimentazione corretta ed è evidente che bisogna anche cercare di minimizzare il numero di turni di prova. Con un poco di attenzione è possibile notare che il quadrato latino 3x3 che è stato sviluppato (fig. 8) permette di organizzare la prova in tre soli turni, ma quando la dimensione della matrice aumenta la organizzazione di turni può diventare laboriosa. c1 A C B c1 c2 B A C c2 c3 C B A c3 Fig. 8. Quadrato latino 3x3 per la sperimentazione di tre diversi dispositivi elettronici (A, B, C) con l'uso di tre circuiti (c1, c2, c3) e di tre alimentatori (a1, a2, a3) Il problema della organizzazione dei turni di prova può essere risolta ricorrendo non ad un quadrato latino, ma ad un quadrato greco-latino in cui le lettere greche indicano non gli stati di una grandezza di influenza, ma i turni di prova. Supponiamo di avere tre dispositivi da sottoporre a sperimentazione, tre circuiti e tre alimentatori. Costruiamo un quadrato 3x3 e disponiamo sulle righe e sulle colonne rispettivamente i circuiti di prova (c1, c2,c3) e gli alimentatori (a1, a2, a3) poi indichiamo con,, e rispettivamente il primo, il secondo ed il terzo turno di prova. I tre dispositivi sotto sperimentazione saranno indicati, classicamente, con A, B e C. Il quadrato greco-latino di questo esperimento (fig. 9) ci mostra che nel primo turno () il dispositivo A sarà montato sul circuito c1 per essere alimentato da a1, il dispositivo B sarà montato su c2 e alimentato da a3, il dispositivo C sarà montato su c3 e alimentato da a2. Nel secondo turno () gli abbinamenti saranno: A-c2-a2; B- c3-a1; C-c1-a3 per terminare, al terzo turno () con: A-c3-a3; B-c1-a2; C-c2-a1. c1 A C B c2 B A C c3 C B A Fig. 9. Quadrato greco-latino 3x3 per la sperimentazione di tre diversi dispositivi elettronici (A, B, C) con l'uso di tre circuiti (c1, c2, c3) e di tre alimentatori (a1, a2, a3) e sperimentazione in tre turni (,, ) c1 c2 c3

5 Come si è visto la progettazione dell'esperimento potrebbe essere condotta tramite un classico quadrato greco-latino 3x3; possiamo però introdurre un diverso modo di operare in modo da rendere più chiara la organizzazione della sperimentazione. Costruiamo ancora una matrice 3x3, ma anziché considerare le grandezze di influenza sulle righe e sulle colonne le andremo a disporre come coppie ordinate negli elementi della matrice. Nel nostro nuovo schema le righe rappresentano i diversi dispositivi e le colonne rappresentano i turni di prova: gli elementi della matrice, come anticipato, saranno delle coppie ordinate che rappresentano circuiti ed alimentazioni: la matrice sotto riportata corrisponde alla sperimentazione dell'esempio precedente. T1 T2 T3 A c1 a1 c2 a2 c3 a3 A B c3 a2 c1 a3 c2 a1 B C c2 a3 c3 a1 c1 a2 C T1 T2 T3 Fig. 10. Matrice 3x3 descrittiva della sperimentazione in tre turni (T1, T2, T3) di tre diversi dispositivi elettronici (A, B, C) con l'uso di tre circuiti (c1, c2, c3) e di tre alimentatori (a1, a2, a3) La maggiore chiarezza di tale soluzione nei confronti del classico quadrato greco-latino è già evidente, ma la utilità di questa nuova disposizione sarà ben più evidente non appena si affronterà il problema della attenuazione di 4 o più grandezze di influenza. VI. QUADRATI NXN DI ORDINE SUPERIORE Dovendo organizzare una prova su più turni con l'obbiettivo di contrastare più di due grandezze di influenza si può fare ricorso ad una regola di uso generale che consente di costruire il quadrato NxN che descrive la conduzione della prova. Il numero N è pari al più piccolo numero primo che soddisfa le due condizioni: { N > G N L in cui G è il numero di grandezze di influenza che si desidera contrastare e L è il numero di condizioni che il misurando deve assumere. Supponiamo di voler condurre un esperimento in più turni in cui si devono esaminare 4 diverse condizioni del misurando con la presenza di 3 grandezze di influenza: dalle condizioni sopra citate si desume che dovremo approntare un quadrato 5x5 e ciò significa che si dovranno organizzare 5 turni di prova. Come risolvere il problema determinato dal fatto che si intendono esaminare solo 4 condizioni per il misurando? Come vedremo nel seguito ci saranno due possibili soluzioni, per ora portiamo la nostra attenzione sulla procedura di costruzione del quadrato 5x5. Per prima cosa disponiamo sulle righe della matrice 5 diverse condizioni del misurando (A, B, C, D, E) e sulle colonne i 5 turni di prova (T1, T2, T3, T4, T5). Dovendo considerare 3 grandezze di influenza gli elementi della matrice sono delle terne ordinate. Conviene utilizzare delle terne numeriche nelle quali ciascuna cifra indica uno degli stati di una grandezza di influenza: la prima cifra di ciascuna terna rappresenta lo stato della prima grandezza di influenza, la seconda cifra di ciascuna terna rappresenta la seconda grandezza di influenza, ecc. La fase più ostica nella preparazione del quadrato è rappresentato dalla individuazione delle terne che rispettino le regole base: ciascuna cifra deve comparire una ed una sola volta in ciascuna riga e ciascuna colonna e non possono esistere due terne in cui si ripete la combinazione di due o più cifre. Il metodo originale per la costruzione delle terne che si propone risolve questo problema. Nella prima riga si introducono le terne base costituite dai gruppi 111, 222, 333, 444 e 555. Per costruire le altre righe si opera col seguente schema: passando da una riga a quella sottostante: le cifre al primo posto (da sinistra) si spostano a destra di una posizione; le cifre al secondo posto (da sinistra) si spostano a destra di due posizioni; le cifre al terzo posto (da sinistra) si spostano a destra di tre posizioni. in tutti i casi si ha un rientro a sinistra per quelle cifre che escono a destra dalla matrice. La applicazione delle regole sopra indicate è schematizzata nella figura 11 che mostra la costruzione di un quadrato 5x5. T1 T2 T3 T4 T5 A B 1 x x x 1 x x x 1 C x x 1 1 x x x 1 x D x 1 x 1 x x x x 1 E x x 1 x 1 x 1 x x Fig. 11. Costruzione del quadrato 5x5 di ordine 3 per la sperimentazione in 5 turni con azioni di contrasto verso tre grandezze di influenza

6 In precedenza si era notato che il processo prevede di esaminare 5 diverse condizioni del misurando mentre l'esperimento che si vorrebbe condurre ne dovrebbe esaminare solamente 4. Le soluzioni a questo problema sono due: per come è stato costruito il quadrato è possibile censurare la sua ultima riga limitando al numero desiderato le condizioni del misurando. La seconda soluzione prevede la ripetizione delle prove relative ad una condizione (ovviamente questa seconda soluzione richiede che si possano considerare equivalenti due distinti elementi in prova): i risultati delle misurazioni condotte sulla ripetizione vanno tenuti separati da quelli ottenuti sull'elemento primo e possono servire per validare tali risultati. La procedura descritta consente con facilità la costruzione della matrice per qualsiasi numero di grandezze di influenza si desideri attenuare: le n-ple ordinate che costituiscono gli elementi della matrice avranno tante cifre quante sono le grandezze di influenza e verranno determinate generalizzando le regole sopra riportate: nella costruzione delle n-ple ordinate, passando da una riga a quella sottostante, la cifra che si trova al i-posto (da sinistra) della n-pla si sposta a destra di i posizioni. APPENDICE 1. IL CASO PARTICOLARE G=3, L=4 La regola di costruzione della matrice NxN è di validità generale, ma non si deve tacere che nel caso particolare di quattro condizioni di prova con tre sole grandezze di influenza è possibile costruire una quadrato 4x4 (e non 5x5 come vorrebbe la regola presentata) per una prova in 4 turni. In vari libri di statistica possono essere trovati quadrati greco-latini in grado di operare questa prova e da essi si possono desumere le matrici organizzate nel modo descritto in questo lavoro. Per completezza si riporta una di tali matrici. T1 T2 T3 T4 A B C D Fig. 12. Quadrato 4x4 di ordine 3 per la sperimentazione in 4 turni con azioni di contrasto verso tre grandezze di influenza VII. CONCLUSIONI Nella letteratura è molto facile trovare esempi di quadrati latini per operare con due grandezze di influenza; più rari gli esempi di quadrati greco-latini. Ad una approfondita indagine bibliografica non si sono trovati esempi di metodi per il contrasto di più di tre grandezze di influenza. Ciò è probabilmente da ascriversi alla difficoltà che si incontra nel costruire una matrice che soddisfi i vincoli del problema e per tale motivo assume particolare interesse la procedura che si è sviluppata per la costruzione della matrice. BIBLIOGRAFIA [1] J.W.Cotton, Latin Squares Design in Encyclopedia of Statistics in Behavioral Science, Vol 2, pp , John Wiley & Sons, Chichester, 2005 [2] D.R. Cox, N. Reid, The Theory of the Design of Experiments, Chapman & Hall/CRC, 2000 [3] D. Raghavarao, Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments New York: Dover, 1988