Unità Didattica N 28 Punti notevoli di un triangolo

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1 68 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 0) ircocentro 0) Incentro 03) Baricentro 04) Ortocentro Pagina 68 di 73

2 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 69 Punti notevoli di un triangolo Teorema : Gli assi dei lati di un triangolo qualsiasi passano per uno stesso punto O equidistante dai tre vertici. Il punto O è detto circocentro in quanto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. B c b O a Dimostrazione : Sia O il punto comune agli assi a e b. Voglio dimostrare che O c. a = asse di b = asse di B BO O O O BO O O c O BO O O equidistante dai vertici del triangolo. La circonferenza di centro O e raggio O passa per i tre vertici del triangolo. Osservazione Dicesi asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. L asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Teorema : Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto I equidistante dai tre lati. Il punto I è detto incentro in quanto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Pagina 69 di 73

3 70 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo Dimostrazione : Sia I l intersezione delle bisettrici a e b. Voglio dimostrare che I c. Infatti : a = bisettrice di ˆ IL IK b = bisettrice di Bˆ IH IL IH IK I c IL IK IH I equidistante dai lati del triangolo. La circonferenza di centro I e raggio IL è inscritta nel triangolo. L K B I H Osservazione La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l angolo in due parti uguali La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti ( interni all angolo ) equidistanti dai lati dell angolo. Pagina 70 di 73

4 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 7 Teorema : Le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto G detto baricentro che divide ogni mediana in due parti di cui quella che contiene il vertice è doppia dell altra. Hp : R = RB BM = M N = N Th : { } M BN R = G G = GM BG = GN G = GR R G N B M B R S G N T R G N B M Dimostrazione : Detta G l intersezione delle mediane BN e R, indichiamo con S e T i punti medi dei segmenti BG e G. R = RB N = N RN B RN = B BS = SG T = TG ST B ST = B RN B RN = B ST B ST = B RN = ST = B RN ST Pagina 7 di 73

5 7 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo Il quadrilatero NRST è un parallelogrammo per avere una coppia di lati opposti uguali e paralleli. Ricordando che le diagonali di un parallelogrammo si dimezzano scambievolmente possiamo scrivere : RG = GT = T BS = SG = GN e quindi : BG = GN G = GR ed anche : G = R 3 bbiamo così dimostrato che due mediane di uno stesso triangolo si incontrano in un punto che divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella contenente il vertice è doppia dell altra. Sia G l intersezione delle mediane M e R. Per la precedente dimostrazione possiamo scrivere : G = GR e quindi : G = R ; 3 G = R 3 G = R 3 G = G G G bbiamo così dimostrato che le tre mediane di uno stesso triangolo passano per uno stesso punto. Osservazione Mediana relativa ad un lato di un triangolo è il segmento che congiunge il punto medio del lato col vertice opposto al lato. Pagina 7 di 73

6 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 73 Teorema : Le tre altezze di un triangolo passano per uno stesso punto H detto ortocentro. T R H L Q Hp K B BL R B B K Th { K BL R = H P Dimostrazione : ondotte per i vertici, B, le rette parallele ai lati opposti, otteniamo il triangolo PQT. T B ( lati opposti dello stesso parallelogramma BT ) Q B ( lati opposti dello stesso parallelogramma QB ) T Q BT BP BT BP P B Q B P Q Dunque le altezze del triangolo B sono gli assi del triangolo PQT e quindi, per quanto dimostrato precedentemente, passano per uno stesso punto. Osservazione TQ // B H B TQ K PQ // B, PQ R R B PT //, PT BL BL ltezza di un triangolo rispetto ad un suo lato è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta che contiene il lato, detto base del triangolo. L ortocentro è interno al triangolo se il triangolo è acutangolo, coincide col vertice dell angolo retto se il triangolo è rettangolo, è esterno se il triangolo è ottusangolo. Pagina 73 di 73