Esercitazione X - Legge dei gas perfetti e trasformazioni

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1 Esercitazione X - Legge dei gas perfetti e trasformazioni termodinamiche Formulario Il primo principio della termodinamica afferma che la variazione dell energia interna di un sistema U è uguale alla somma dell energia data al sistema come calore Q e del lavoro fatto sul sistema W, U = Q + W Nel caso in cui il sistema in esame sia del gas contenuto in un pistone, il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da a f è W = P d Nel caso di un gas ideale P, e T sono legate dall equazione di stato P = nrt, dove n è il numero di moli è costituito il gas e J R = 8314 molek Per definizione, una mole di gas è quella quantità di gas che contiene N A molecole, dove N A = Numero di Avogadro Studiamo ora alcune fondamentali trasformazioni dei gas perfetti Isobara Durante una trasformazione isobara la pressione del gas rimane costante, P = cost Il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da a f è W = Pd = P d = P f Il calore ceduto al sistema è Q = nc P T, dove C P è il calore specifico molare a pressione costante Per un gas monoatomico vale che C P = 5 2 R 1

2 Isocora Durante una trasformazione isocora il volume del gas rimane costante, = cost Il lavoro W fatto sul gas è nullo in quanto = f, Il calore ceduto al sistema è W = 0 Q = nc T, dove C è il calore specifico molare a volume costante Per un gas monoatomico vale che C = 3 2 R Isoterma Durante una trasformazione isoterma la temperatura del gas rimane costante, T = cost Per calcolare il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da a f uso che W = P = nrt P = nrt nrt f d Pd = d = nrt, = nrt ln f Poiché l energia interna U di un gas perfetto dipende solo dalla sua temperatura si ha U = 0, f Q = W = nrt ln Adiabatica Durante una trasformazione adiabatica il gas non scambia calore con l esterno, Q = 0 Si dimostra che in una trasformazione adiabatica P γ = cost P = cost γ, dove γ = C P /C In particolare per un gas monoatomico γ = 5/3 Il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da a f è W = Pd = cost cost d = γ+1 γ f γ 1 γ+1 i = P f f P i γ 1 2

3 Legge dei gas perfetti Esercizio 1 Sapendo che in 1cm 3 di aria ci sono molecole numero di Loschmidt calcolare la pressione dell aria alla temperatura T = 0 C Il numero di moli di molecole d aria in 1cm 3 sono n = N A = E di fondamentale importanza convertire il volume in m 3 e la temperatura in K, La pressione P dell aria è = 1cm 3 = 10 6 m 3, T = 0 C = 27315K P = nrt 10 5 Pa 1atm Trasformazioni termodinamiche Esercizio 2 Un recipiente contenente n = 2 moli di un gas perfetto alla pressione P A = 1atm è a contatto con un termostato che lo mantiene alla temperatura T A = 300K Lentamente si comprime il gas fino a farne dimezzare il volume In seguito staccato il recipiente dal termostato e mantenendo la pressione costante, si porta il recipiente ad un volume pari ad un terzo di quello iniziale Calcolare La temperatura e la pressione finale del gas Il lavoro totale compiuto dal gas Sia A lo stato iniziale del gas, B lo stato del gas dopo la compressione che ne dimezza il volume e C lo stato in cui il volume è ridotto a un terzo di quello iniziale La presenza di un termostato fa si che mentre per ipotesi A B = isoterma, B C = isobara Si vogliono calcolare T C e Per ipotesi = P B e per la legge dei gas perfetti 3

4 Analogamente P B = nrt B B = 2 nrt A A = 2P A = 2atm T C = C nr = 1 P B A 3 nr = 2 P A A 3 nr = 2 3 T A = 200K Il lavoro totale W AC compiuto sul gas nella trasformazione A B C è la somma del lavoro W AB compiuto durante l isoterma e del lavoro W BC compiuto durante l isobara, W AC = W AB + W BC, B 1 W AB = nrt A ln = nrt A ln = 3458J, 2 A W BC = P B C B = 1 3 P A A = 1 3 nrt A = 1663J, W AC = 5121J Il lavoro compiuto dal gas è W = 5121J Esercizio 3 Calcolare il lavoro compiuto da n = 3 moli di gas perfetto durante la trasformazione A B C, dove A B = isocora, B C = isoterma, P A = 2atm P B = 2P A = P A T A = 70 C T B = 133 C T C = T B Il lavoro W AC fatto sul gas nella trasformazione A B C è W AC = W AB + W BC, dove W AB è il lavoro fatto sul gas nella trasformazione isocora e W BC è il lavoro fatto sul gas nella trasformazione isoterma Dato che in una generica trasformazione isocora il lavoro fatto sul gas è nullo si ha W AB = 0 Rimane da calcolare W BC e usando l espressione generale del lavoro in una isoterma si ha 4

5 W BC = nrt B ln C B Si è scritto T B ma si sarebbe potuto egualmente scrivere T C in quanto T B = T C T B lo conosciamo ma dobbiamo convertirlo in Kelvin Si ricordi che 0 C = 273K, T B = T C = 406K Si osservi che non ci interessa davvero sapere chi siano B e C bensì il loro rapporto Dato che B = nrt B P B, C = nrt C, e T B = T C e P B = 2 si ha C B = P B = 2 Sostituendo questi valori nella formula per W BC si ha che il lavoro fatto sul gas è W = AC = W BC = J/moleK 406K ln 2 = 7019J Perciò il lavoro fatto dal gas è 7019J Si osservi che con i dati a disposizione avremmo potuto calcolare direttamente B e C, B = nrt B P B C = nrt C J/moleK 406K = Pa J/moleK 406K = Pa = 0025m 3, = 005m 3, dove si è usato il fattore di conversione atmosfere Pascal 1atm = Pa 5