ESERCITAZIONE N.8. Il calcolatore ad orologio di Gauss. L aritmetica dell orologio di Gauss. Operazioni e calcoli in Z n

Transcript

1 Il calcolatore ad orologio di Gauss ESERCITAZIONE N.8 18 novembre L aritmetica dell orologio di Gauss Operazioni e calcoli in Z n 1, 1, -11, sono tra loro equivalenti ( modulo 12 ) Rosalba Barattero Sono le e se aggiungiamo 5 ore, l'orologio indicherà le 8. Scriviamo +5 =8. Sono le 9 e aggiungiamo 5 ore, l'orologio indicherà le 2. Scriviamo 9+5=2. Ogni volta che passiamo dallo zero ( le 12), ricominciamo a contare le ore da 1. Tutti i multipli di 12 equivalgono a 0. 1

2 Quindi per convertire numeri interi ai numeri equivalenti modulo 12 ( 0, 1, 2,, 4,..., 11), dividiamo per 12 il numero e prendiamo il resto, che è l'unico che ci interessa, ed è UNICO! ( per la divisibilità! ) Dunque in modulo 12 usiamo solo i numeri : 0,1,2,,4,5,6,7,8,9,10,11 ( il resto della divisione di qualunque intero per 12 ) Siamo partiti da Z che è un insieme infinito e siamo arrivati a Z 12, un insieme finito di 12 elementi. Ogni numero intero è rappresentato da un UNICO numero compreso tra 0 e 11. Formalizziamo come fa Gauss: Scriviamo le classi di equivalenza modulo 12: Per ogni x Z vale x r ( x congruo ad r) dove r è il resto della divisione x:12. I resti possibili sono 0,1,2,,4,,11, quindi ci sono 12 classi di equivalenza (con la notazione seguente): 0 = {tutti gli elementi congruenti a 0} = {,-24,-12,0,12,24, } = {12k al variare di k in Z} 1 = {tutti gli elementi congruenti a 1} = {,-2,-11,1,1,25, } etc. = {12k+1 al variare di k in Z} ( n=12k+1 n diviso per 12 dà come quoziente k e come resto 1 (teorema di divisibilità, Eserc.N.2,pag. 1,2)) 11 = = {12k+11 al variare di k in Z} DEFINIZIONE DI CONGRUENZA MODULO n Sia n ù, n>1. Due numeri interi a, b Z si dicono congruenti modulo n, in simboli a b (mod n) se n divide la differenza a-b,ossia se vale a-b=kn con k Z. La congruenza è una relazione di equivalenza e si può e- sprimere anche così : a, b Z sono congruenti modulo n se hanno lo stesso resto quando vengono divisi per n L insieme quoziente ( l insieme delle classi di equiv.) è : Z 12 = { 0,1,2,, 4,,11}. Ma gli orologi con 12 ore non hanno nulla di speciale! Gauss crea così l aritmetica modulare ( orologi con un n. qualsiasi di ore). Ma quale è il vantaggio di lavorare con Z n anziché con Z? Calcoli che in Z sono impraticabili, diventano possibili in Z n e a volte addirittura elementari. 2

3 UN ESEMPIO Senza sapere quanto fa 7 99, Gauss sa che il numero 7 99 diviso per 12 dà resto 7! 7 7 = 49, ma il calcolatore ad orologio di Gauss dà come risultato 1, ossia il resto di 49: = invece di fare 49 7, Gauss può limitarsi a fare 1 7 e ottenere così 7. L informazione ottenuta dice che 7 è il resto di (=4, ma non occorre saperlo!) diviso per TABELLE di somma e prodotto in Z 12 Come eseguire le operazioni classiche in Z 12? Così come indicano le tabelle seguenti : SOMMA =? il calcolatore ad orologio dà come risultato 7, che vuol dire il resto di 7 99 : 12 è Perché? sappiamo che 7 7 1, ossia 7 2 1, notiamo che possiamo scrivere 7 99 = = (7 2 ) (1) L informazione può essere così generalizzata: 7 pari 1, 7 dispari Sono omessi per semplificare la tabella i segni di classe 1+11 = 0, 2+10= = = 9... Ogni riga si incrementa di 1 rispetto alla riga precedente, com è naturale che sia! Nota di rilievo : numeri identici sulle diagonali da sin a dx. Si leggono gli opposti: ad es. a partire dallo 0 segnato in verde, si risale a 4+8 =0 e 8+4=0: 8 è l opposto di 4 e viceversa. 4 5

4 PRODOTTO Più interessante della tabella preced. per la presenza di vari pattern. Le righe (colonne) corrispondenti a numeri primi con 12 contengono tutti i numeri da 1 ad 11.Le altre contengono blocchi ripetuti. Non prendendo in considerazione R 1 e C 1, nelle righe o colonne in cui appare 0 non appare 1 e viceversa. Ciò si interpreta così: un elemento non nullo o è 0 divisore o è invertibile! Ad es. 8 =0 ( fatto impossibile in Z!! ), ossia 8 (opp. ) divide 0, e in tal caso né 8, né sono invertibili, ossia n t.c. 8 n=1, n =1 (n 8=1, n =1), infatti nella riga (colonna) di 8 e di non compare 1. Osservando le righe ( risp. le colonne) si vede che 1 compare solo nelle righe relative a 1,5,7,11. Ciò conferma quanto visto a teoria:un elemento è invertibile se e solo se è primo con n ( qui n=12). 6 Operazioni ESERCIZIO 1. def. di somma in Z n : a +b = a + b def. di prodotto in Z n a b = a b def. di potenza in Z n ( ) ( discende dal prodotto) n a = a Calcoli in Z 10 Determinare(*) : a) il resto della divisione di 245 per 10 b) l ultima cifra di 245 a) Per determinare il resto dobbiamo trovare in Z 10 la classe a t.c. a = 245 con 0 a<9 ( c è un unico a che soddisfa a questa proprietà, il resto della divisione di 245 per 10). 245 = 245 ( def. potenza in Z 10 ) Riduciamo la base 245 modulo 10, cioè determiniamo n, 0 n 9 t.c. n=245. Sappiamo che n è il resto della divisione di 245 per 10 : 245 = n=5. Ne segue : 245 = 5. Si tratta di moltiplicare 5 per sé stesso volte! Iniziamo 5 2 = 5 5 = 5 2 (per def. prodotto o equiv. di potenza! ) = 25 = 5 ( il resto di 25:10). Allora è immediato concludere che 5 = 5. b) L ultima cifra di un numero scritto in base decimale è il resto della divisione del numero per 10. Quindi per a) è 5. (*) la formulazione più corretta dell ex.è: Determinare, facendo uso dell aritmetica modulare... perché altrimenti, in questo caso, si può lavorare in modo elementare sull ultima cifra e non è indispensabile ricorrere all aritmetica modulare. n 7

5 ESERCIZIO 2. L orologio: la congruenza modulo 12 a) Per ciascuno dei numeri seguenti determinare il minimo intero positivo modulo 12 a cui è congruente: 19, 149, -11, -128 b) Se adesso sono le ore 14 (= 2 P.M.) che ora del giorno ( o della notte) sarà tra 1000 ore? c) Se lo scorso anno Natale era Martedì, in che giorno cadrà Natale quest anno e nel 2020? a) 19? (mod 12) 19 = (mod 12) (pensare all orologio!) 149? (mod 12) 149 = ? (mod 12) -11 = ( giriamo in senso antiorario ) Per gli interi negativi, come ad es si può procedere ad es. così: prima si divide 128 per 12 e si ha 128 = si cambia segno : -128 = 12(-10) - 8 per def. di congruenza: (cfr. pag.2 : in pratica i multipli di 12 non contano!) Ora Osservazione In modo equivalente si può passare alle classi e usare le operazioni tra classi. Così : da 128 = si cambia segno e si passa alla scrittura tramite classi 8 128= = ( 8) = 8 = 12 + ( 8) = 12 8 = 4 128= ( due classi sono uguali se e solo se i loro rappresentanti sono equivalenti, ossia qui congruenti ). b) Se adesso sono le ore 14 (= 2 P.M.) che ora del giorno (o della notte) sarà tra 1000 ore? Determiniamo x, 0 x <24 tale che x = mod (24). x = 1014 = = 6 (1014: 24 = 42 con resto 6) Risposta: saranno quindi le 6 del mattino. c) Se lo scorso anno Natale era di martedì, in che giorno cadrà Natale quest anno? e nel 2020? Il 2007 ha 66 giorni (anno bisestile).poniamo: 0 = domenica, 1= lunedì, 2=martedì,=mercoledì, 4= giovedì, 5= venerdì, 6= sabato Troviamo x, 0 x <6 tale che x = in Z 7 x = 68 = ( 68= in Z), quindi x =4. Allora quest anno Natale cade di Giovedì. Per il 2020 attenti al n di anni bisestili (quelli divisibili per 4, ossia le ultime due cifre sono divisibili per 4: ce ne sono ) 0= {12k al variare di k in Z} 0 = 12 10= qualsiasi multiplo di 12 x = = 487 =5 Natale 2020 è venerdì 9

6 ESERCIZIO C. Calcoli in Z n a) E' divisibile per 26 il numero 12-1? b) Sia n= Determinare il resto della divisione di n per 7. c) Sia n=1! + 2! +! !. Determinare il resto della divisione di n per 12. d) Con quale cifra termina il numero 222? a) ( 12 1) è divisibile per 26 ( 12 1)= 26 h con h Z (passando alle classi) 12-1 = 0 in Z 26 (somma e opposto in Z n ) =1 in Z 26 = 1 (proprietà potenze in Z n : a n = a n ) Con un po di esercizio si possono semplificare i calcoli. Notiamo che in Z 26 2 = 9, = 1. Ma analizziamo bene i singoli passaggi in Z 26 : = ( def. di potenza in Z n ) Ora, sapendo che = 1, eleviamo ambo i membri alla quarta, così otteniamo 4 4 ( ) = 1 e poiché valgono le solite proprietà delle potenze, concludiamo che 12 = 1. b) n= Quale è il resto della divisione di n per 7? Per dire quale è il resto dobbiamo trovare a= con a tale che 0 a<7 ( a è l unico che ha questa proprietà). Calcoliamo in Z 7 : 29 19= ( def. prodotto in Z 7 ) Dividiamo per 7 : 29 = , 19 =2 7+5 passiamo alle classi in Z 7 : 29 = = 6, Quindi = 6 5 = 0 19 = = 5 Riduciamo ancora modulo 7 : 0= 2. Finito : 2 è il resto di (29 19) : 7 = 27 = ( sotto la barra siamo in Z ) = ( somma in Z 26 ) = = 1 (0 è l el. neutro risp. alla somma in Z n )

7 c) Sia n=1! + 2! +! !. Determinare il resto della divisione di n per 12. Per def. si ha a! = a(a-1)(a-2) 1, quindi 1!=1, 2!=2 1=2,! = 2 1=6, 4!=4 2 1=24 stop! 24 è multiplo di 12 e così sono i fattoriali successivi, perché 5!=5 4!, 6!=6 5! etc n!=n (n-1)! Quindi in Z 12 si ha : n = 1! + 2! +! + 4! + 100! (per def. di somma negli Z n ) = = 9 Poiché 9 è minore di 12, 9 è il resto di n:12. d) Con quale cifra termina il numero 222? Ogni intero è congruo all'ultima cifra ( le unità del numero nella sua rappresentazione decimale) modulo 10. Quindi con il calcolo in Z 10 : 222 = 222 = 222 ( perché = ) comodo con i negativi! 2 = ( ) 111 (ma in Z 10 = 111 (-1) = - 1 = 9 2 = 2 = - 1 ) Finito! 9 è il resto di 222 :10 e quindi 9 è l'ultima cifra. 12