Misure di diversità tra unità statistiche. Loredana Cerbara

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Giorgio Mauri
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1 Misure di diversità tra unità statistiche Loredana Cerbara

2 LA DISTANZA IN STATISTICA In statistica la distanza ha un significato diverso da quello che si può intuire in altre discipline, dove, peraltro, si usa frequentemente fare riferimento allo spazio al massimo tridimensionale. I dati statistici invece spesso si trovano collocati in spazi non immaginabili con la comune esperienza perché sono spazi multidimensionali. La distanza tra due unità statistiche su cui siano rilevati k caratteri, è una distanza in uno spazio k-dimensionale ed esprime la differenza tenuto conto di tutte le k caratteristiche tra le due unità. E la metrica utilizzata può anche non essere quella euclidea che tende a dare molta importanza alle coordinate più grandi, a differenza di altre metriche, come la metrica della città a blocchi.

3 Le distanze sono un concetto matematico fondamentale per molte applicazioni della statistica. Una distanza rispetta le seguenti proprietà: d(x i, X j )=0 se e solo se X i =X j d(x i, X j )=d(x j, X i ) (simmetria) d(x i, X j )<=d(x i, X h ) + d(x h, X j ) per ogni terna X i, X h, X j Un insieme E che in cui sia definita una distanza si chiama spazio metrico. Una distanza è sempre non negativa Il quadrato di una distanza può non essere una distanza

4 DISTANZA DI MINKOWSKI o distanza city-block Si definisce come la distanza seguente di ordine t Per particolari valori di t si ottengono altre distanze note t=1: distanza di Manhattan o della città a blocchi (geometria del taxi) t=2: distanza euclidea (teorema di Pitagora) Vale la relazione

5 DISTANZA DI MINKOWSKI o city-block Secondo la distanza che si adotta si può ottenere una differente geometria. Ad esempio, ricordando che la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti (lunghezza del raggio) da un punto fisso (centro), supponiamo di prendere come centro A=(2,-1) e raggio r=3. L insieme dei punti P, secondo il sistema euclideo, sarà al circonferenza rossa, mentre applicando la distanza di Minkowski otteniamo il quadrato blu.

6 DISTANZA DI MINKOWSKI o city-block Una possibile applicazione pratica è quella dell urbanistica. Dovendo costruire una strada che passi esattamente a metà tra due punti A e B e tale che ogni punto di questa strada sia sempre equidistante dai due punti A e B, con la distanza euclidea si traccerebbe la strada lungo la linea nera. Però, se sono presenti edifici all interno dei quadrati della figura, l unica possibilità di costruire la strada è quella di usare la metrica della città a blocchi. La strada sarà più lunga ma non si abbatteranno edifici.

7 Esempio: Consideriamo il reddito ed il consumo mensile con riferimento a 2 individui: (1050, 800) (1000, 900) La distanza euclidea tra i due individui, con riferimento a due variabili, reddito e consumo, è: d x 1, x 2 = = = = 111,8 Esempio: consideriamo ora 4 individui su cui sono stati rilevati due caratteri: numero di ordini effettuati e importo speso. Individuo Ordini Importo A 3 20 B C 8 30 D 2 12 d AB = = 23,087

8 Possiamo costruire una matrice delle distanze calcolando la distanza tra tutte le coppie di unità Le distanze calcolate sono leggermente diverse ma restituiscono la stessa struttura dei dati

9 La distanza city-block dist. euclidea Distanza city-block risente in misura minore degli outliers, cioè dei valori molto lontani da tutti gli altri valori rilevati sul collettivo Tra i due tipi di distanza non esiste sempre una relazione monotona (cioè gli ordinamenti o graduatorie possono essere diversi) Se le variabili sono espresse in unità di misura diverse occorre calcolare le distanze facendo riferimento agli scostamenti standardizzati, invece che alle modalità originali dei caratteri rilevati

10 Per l esempio precedente calcoliamo allora gli scarti standardizzati. Sapendo che la media degli ordini è 5,75 e lo scostamento quadratico medio è 3,862 e che la media degli importi è 26 e lo scostamento quadratico medio è 12,961, si ha: Individuo Ordini Importo Scarti standardizzati Ordini Importo A ,71-0,46 B ,10 1,23 C ,58 0,31 D ,97-1,08

12 ESERCIZIO Per la seguente distribuzione doppia, calcolare la matrice delle distanze tra le aree geografiche. Il risultato è in basso a destra. Tassi di occupazione, disoccupazione e inattività della popolazione straniera e italiana, anno 2013, Fonte Istat Indicatori Nord Centro Mezzogiorn o Tasso di inattività (15-64 anni) Tasso di disoccupazione Tasso di occupazione (20-64 anni) Totale Popolazione straniera 28,8 27,3 37,4 29,7 Popolazione nazionale 29,9 33,5 48,0 37,3 Popolazione straniera 17,5 16,8 17,6 17,3 Popolazione nazionale 7,0 9,9 19,8 11,5 Popolazione straniera 62,8 64,2 54,5 61,9 Popolazione nazionale 69,5 64,1 45,2 59,5 Popolazione Nazionale Nord Centro Mezzogiorno Nord 0 7,1 32,9 Centro 0 25,8 Mezzogiorno 0 Popolazione straniera Nord Centro Mezzogiorno Nord 0 2,2 12,0 Centro 0 14,1 Mezzogiorno 0

13 INDICI DI SIMILARITA E DISSIMILARITA Molti metodi di analisi dei dati in statistica si basano sul calcolo della similarità o dissimilarità tra unità. DEFINIZIONE: Un indice di similarità è un applicazione s su un insieme E nel campo dei numeri reali non negativi nello spazio ExE, tale che: a) s(x i, X j )=s(x j, X i ) per ogni (i,j) ExE (simmetria) b) s(x i, X i )=s(x j, X j )=Max per ogni i e j diversi tra loro (similarità massima) Analogamente, un indice di dissimilarità è un indice simmetrico e assume valore zero quando le due unità coincidono. a) d(x i, X j )=d(x j, X i ) per ogni (i,j) ExE (simmetria) b) d(x i, X i )=0 e d(x i, X j )=0 per i = j (distanza minima)

14 INDICI DI SIMILARITA E DISSIMILARITA Inoltre vale la disuguaglianza triangolare: d(x i, X j ) d(x i, X k ) + d(x k, X j ) per ogni i, j, k Nel caso di caratteri qualitativi sconnessi, un indice di similarità tra due unità è il ma anche l indice Phi ad esso collegato dalla relazione

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