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1 Università di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Industriale Corso di: TERMOTECNICA 1 FLUIDODINAMICA: MOTO IN CONDOTTI E ATTRITO Ing. G. Bovesecchi gianluigi.bovesecchi@gmail.com (7249) Anno Accademico

2 Fluidodinamica Moto in condotti FLUSSO ENTRO I CONDOTTI A SEZIONE CIRCOLARE Passiamo ora ad analizzare a cosa succede quando il fluido si muove all interno di un condotto. Nel moto di un fluido all interno di condotti (ad esempio a sezione circolare ma le considerazioni qui descritte si possono applicare a qualsiasi sezione, ad eccezione delle zone vicino agli spigoli) l andamento dello strato limite si ottiene da quello della lastra piana immaginando di avvolgere su se stessa la lastra. LAMINARE TURBOLENTO!

3 Fluidodinamica Moto in condotti Nel moto laminare lo spessore dello strato limite cresce sino a raggiungere l asse del condotto. La portata risulta costante e quindi se la velocità sul bordo diminuisce a causa della viscosità, aumenta sul centro, ma l area sottesa dal profilo di velocità (dopo integrazione su tutta la sezione) risulta costante. Lo strato limite raggiunge l asse del condotto alla distanza Li dall imbocco. Una relazione empirica fornisce Li /d=0,05 Red essendo d il diametro del condotto Nel caso laminare i profili di velocità nel moto completamente sviluppato (dopo il tratto di imbocco) assumono andamento parabolico con legge: u y y = 2 ur R R 2 con R il raggio del condotto e y = R r, con r il raggio generico

4 Fluidodinamica Moto in condotti Nel caso del moto turbolento l andamento degli strati limite (sottostrato laminare e strato turbolento) si ottengono immaginando di avvolgere su se stessa una lastra piana ed il relativo strato limite. Chiaramente risulta più che probabile che lo strato limite raggiunga l asse del condotto, e quindi che non vi sia più entro il condotto una velocità indisturbata. Nel caso del moto turbolento l andamento della velocità sul profilo assume l espressione (empirica): u y = ur R 1/7 con R è il raggio del condotto e y = R r, con r il raggio. La velocità di riferimento (con cui calcolare per esempio il numero di Reynolds) non può più chiaramente essere la velocità indisturbata.

5 Fluidodinamica Moto in condotti Si assume la velocità media calcolata dalla portata massica: m u= ρa m = dm = ρ u da A A se ρ è costante (fluido incomprimibile): m = ρ u da A E quindi: m 1 u= = u da ρa A A

6 Fluidodinamica Moto in condotti Se invece ρ è varibile: 1 ρu = ρ u da A A E quindi: m = ρ u A

7 Fluidodinamica Fattore di attrito Per valutare nel moto laminare il fattore d attrito, si parte dalla relazione: 1 dp τ = r 2 dx da cui risulta come lo sforzo di taglio sia direttamente proporzionale al raggio e al gradiente di pressione lungo la lunghezza del condotto. Il suo valore massimo si ha sulla superficie interna del condotto, r=r, a contatto con la parete. In questo punto: 1 dp τ0 = R 2 dx τ0 r e τ= R

8 Fluidodinamica Fattore di attrito Il gradiente di pressione lungo la lunghezza del condotto, dp/dx, in genere non è elevato (la pressione varia gradualmente e abbastanza lentamente), ed è all incirca costante, almeno per il caso di condotti a sezione costante. Si può esprimere τ0 in funzione della velocità media sulla sezione del condotto, della densità e di un fattore adimensionale ξ (fattore d attrito). Tale espressione vale: ξ= 8τ 0 ρu2 Da cui: dp 2τ 0 4τ 0 4 ρ u 2 1 ρ u 2 = = = ξ = ξ dx R D 8 D 2 D

9 Fluidodinamica Fattore di attrito quindi: ΔP 1 Lu 2 = ξ ρ 2 D tenendo conto che il gradiente di pressione è costante. Questa equazione è l espressione di Darcy Weissbach, ed è quella più utilizzata per il calcolo delle perdite di carico (o caduta di pressione) distribuite all interno dei condotti. L espressione può anche essere scritta nella forma: ΔP 2 D ξ= L ρ u2

10 Fluidodinamica Fattore di attrito Ricordando che per il moto laminare la velocità media è funzione della caduta di pressione dalla relazione: ΔP D 2 u= 32 µ L Che inserita nella relazione: ΔP 2 D ξ= L ρ u2 Portano alla relazione: ξ= u 32 µ 2D D 2 Pu 2 µ 64 = 64 = Dρu Re

11 Fluidodinamica Fattore di attrito In regime turbolento bisogna considerare che le grandezze dinamiche (velocità, temperatura, etc) hanno andamenti variabili nel tempo e nello spazio. Se si utilizzano i valori medi, si può affermare che la velocità media continua ad avere come unica componente quella assiale, e risulta ancora costante nella direzione del flusso (la portata è sempre costante). La pressione non può più essere considerata rigorosamente costante sulla sezione, e τ rappresenta lo sforzo di taglio totale, dovuto sia alla viscosità che alle turbolenze che spostano materia da un punto all altro provocando variazioni della velocità del fluido (sono i cosiddetti sforzi apparenti o di Reynolds).

12 Fluidodinamica Fattore di attrito τ risulta ancora funzione solo della distanza dall asse secondo la relazione: r τ = τ0 R l equazione di Darcy Weissbach continua ad essere valida. Unicamente il fattore d attrito ξ non dipende più solamente dal numero di Reynolds, ma anche dalla rugosità del condotto. Dall analisi dimensionale si ottiene che il fattore d attrito ξ (adimensionale) risulta funzione degli altri due numeri adimensionali Re e e/d, essendo e la rugosità. La dipendenza di ξ da Re e e/d viene rappresentata da un diagramma, molto usato per il calcolo delle perdite di carico, chiamato diagramma di Moody.

13 Fluidodinamica Fattore di attrito

14 Fluidodinamica Fattore di attrito Qui di seguito sono presentate alcune espressione empiriche per determinare il fattore d attrito nei condotti per il moto turbolento. Se e/d è trascurabile (tubi lisci), cioè se: eρ u D 5 5,75log + 5,77 2e µ si usa la formula semiempirica di Prandtl (valida per Re<3,4 106): 1 ξ ( ) = 2.035log Re ξ 0,91

15 Fluidodinamica Fattore di attrito Oppure la formula di Blasius (valida per 3000<Re<100000): ξ= 0,3164 Re0,25 o l altra analoga (valida per 20000<Re<300000): ξ= 0,184 Re0,2 Quando invece predomina la rugosità, cioè vale la condizione: e ρu D > 70 5,75log + 4,75 2e µ Si utilizza la relazione: D ξ = 2log + 1,74 2e 2

16 E da notare come le relazioni sopra descritte predicono per il moto laminare una dipendenza di ΔP/L da u di tipo lineare, mentre per il moto turbolento ΔP/L risulta proporzionale a u oppure u secondo la relazione usata. Per le perdite di carico concentrate ΔP/L è proporzionale 2 u invece a. Quando il fattore d attrito risulta funzione sia della rugosità che del numero di Reynolds, si utilizza la relazione empirica di Colebrook White: 2e 18,7 1 = 1,74 2log + ξ D Re ξ Che dà il fattore d attrito in forma implicita. Occorre quindi effettuare un calcolo iterativo per ottenerne il valore.

17 Si noti come il diagramma di Moody rappresenta esattamente la soluzione (chiaramente numerica) dell equazione implicita descritta dalla relazione di Colebrook White. Per la progettazione pratica degli impianti vengono utilizzati dagli impiantisti dei diagrammi ad hoc, che riportano in ascissa la portata massica (in kg/s) o volumica (in m3/h, ad esempio), in ordinata la caduta di pressione per unità di lunghezza, dovuta alla perdita di carico distribuita (in Pa/m, o in millimetri di caduta d acqua al metro). Inoltre sono riportate nel diagramma le curve della velocità del fluido e i diametri dei condotti. Un esempio è il seguente.

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20 Nei condotti non circolari, in particolare in quelli in cui la sezione presenta degli spigoli (condotti a sezione rettangolare o polinomiale), chiaramente non vi è più simmetria cilindrica, ma l equazione di Darcy Wiessbach si può continuare a considerare valida se si sostituisce il diametro del condotto con il cosiddetto diametro idraulico equivalente, definito come il diametro di un condotto circolare che presenta lo stesso fattore d attrito del condotto considerato. Una espressione analitica di tale diametro equivalente è la seguente: 4A Deq = P dove A è la sezione del condotto e P il perimetro, inteso come la somma dei tratti bagnati dal fluido. Chiaramente il diametro equivalente coincide con il diametro effettivo nel caso di condotti circolari.

21 Inoltre è uguale al lato per un condotto di sezione quadrata, vale 2 volte lo spessore di un intercapedine in cui un lato sia molto maggiore dell altro, e la differenza dei diametri in un condotto di sezione anulare. Il diametro equivalente si utilizza solo per il calcolo del fattore d attrito e delle perdite di carico, quindi nelle espressioni empiriche del fattore d attrito, come lunghezza caratteristica dei numeri adimensionali (Reynolds, Nusselt, Grashof, etc.), ma non chiaramente nel calcolo della sezione effettiva e della portata.

22 Nel caso delle perdite di carico in condotti a sezione non circolare percorsi da un fluido in moto non laminare, l espressione del fattore d attrito non vale più ξ=64/redeq, bensì si usa un altro fattore, che è dato da tabelle in funzione del rapporto dei lati nel caso di condotti a sezione rettangolare, e del rapporto dei raggi nel caso di sezione ad anello. Per un condotto a sezione rettangolare definendo α = L1/L2 dove L1 è il lato inferiore, il numero n che sostituisce 64 nell espressione del fattore d attrito si può calcolare dall espressione: ( n = ,3553α + 1,9467α 2 1,7012α 3 + 0,9564α 4 0,2537α 5 )

23 Nel caso delle perdite di carico in condotti a sezione non circolare percorsi da un fluido in moto non laminare, l espressione del fattore d attrito non vale più ξ=64/redeq, bensì si usa un altro fattore, che è dato da tabelle in funzione del rapporto dei lati nel caso di condotti a sezione rettangolare, e del rapporto dei raggi nel caso di sezione ad anello. Per un condotto a sezione rettangolare definendo α = L1/L2 dove L1 è il lato inferiore, il numero n che sostituisce 64 nell espressione del fattore d attrito si può calcolare dall espressione: ( n = ,3553α + 1,9467α 2 1,7012α 3 + 0,9564α 4 0,2537α 5 )

24 PERDITE DI CARICO CONCENTRATE. Si tratta di tratti localizzati del percorso delle tubazioni dove avviene una perdita di carico per effetti diversi dal semplice attrito distribuito. Si hanno per esempio perdite di carico concentrate in occasione di bruschi restringimenti o allargamenti dei condotti, di curve, diramazioni e ricongiungimenti. Esistono apposite tabelle che danno il fattore di perdita concentrata kl in funzione di alcuni parametri del condotto e della perdita (ad esempio rapporto tra il raggio della curva e il diametro del condotto, o rapporto tra le sezioni prima e dopo la contrazione).

25 L espressione per le perdite concentrate, analoga a quella di Darcy Weissbach, è: ΔP 1 = k Lu 2 ρ 2 (chiaramente le perdite di carico concentrate non dipendono dalla lunghezza e in genere neanche dal diametro a meno della dipendenza del fattore d attrito da questo). A volte per unire in un unica espressione le perdite di carico distribuite e concentrate si definisce una lunghezza fittizia equivalente alle perdite concentrate, cioè una lunghezza del tubo che mi dà una perdita di carico distribuita uguale a quella concentrata, da aggiungere alla perdita distribuita dovuta alla lunghezza del condotto.

26 Tale lunghezza fittizia equivalente vale chiaramente: kl D Leq = ξ ΔP 1 2 L + Leq = ξu ρ tot 2 D Per le perdite di carico concentrate chiaramente vi è dipendenza 2 di ΔP/L da u. Le perdite di carico possono essere in serie o in parallelo.

27 In una analogia elettrica, le perdite di carico possono essere assimilate a cadute di tensione, le prevalenze (aumenti di pressione dovuti a elementi attivi, quali pompe, compressori o ventilatori) a forze elettromotrici, la portata di fluido alla corrente elettrica, e le resistenze al moto, quindi non il fattore d attrito, ma la quantità: ΔP = m l ξ + ζ i 2 d 2 πd ρ 4 Alla resistenza elettrica. m

28 Quando si hanno tratti del circuito in serie, pertanto, le perdite di carico e le prevalenze si sommano (o sottraggono) mentre le portate rimangono le stesse. Quando i circuiti sono in parallelo, le perdite di carico devono essere le stesse sui vari tratti (in parallelo appunto); le portate che entrano nei nodi invece devono essere uguali a quelle che escono. Nei circuiti chiusi, l andamento della pressione si può valutare, anche qualitativamente, tenendo conto che aumenta solamente in corrispondenza degli elementi attivi (pompe, compressori, ventilatori) e diminuisce a causa delle predite di carico (in modo improvviso per quelle localizzate e in modo graduale lungo il precorso per quelle distribuite).

29 Si deve valutare l andamento della pressione nel precorso più lungo tra tutti quelli in parallelo, tenendo conto del ramo di andata e quello di ritorno, la pressione finale e quella iniziale chiaramente coincideranno. I calcoli sulle perdite di carico determinano le differenze di pressione ma non la pressione assoluta, che invece viene stabilita da opportuni dispositivi (ad esempio negli impianti di riscaldamento ad acqua dal vaso di espansione). Nei diversi rami in parallelo, come detto sopra, la caduta di pressione deve essere la stessa. Le considerazioni generali qui fatte verranno applicate direttamente nel caso degli impianti di riscaldamento ad acqua.

30 Nel caso di circuiti aperti, la situazione è simile, ma bisogna tenere conto che l inizio del circuito si trova alla pressione del volume da cui viene estratto il fluido (una vasca aperta per l acqua, o un ambiente per l aria) e la fine in un volume analogo, che può essere lo stesso o più facilmente un altro. Anche per tali circuiti, se come avviene di solito le pressioni dell ambiente di estrazione e quella di immissione sono le stesse, la prevalenza dell elemento attivo deve compensare le perdite di carico, ma la pressione assoluta del circuito viene determinata dalla pressione dell ambiente aperto che è stabilita.

31 Nel caso dell acqua (e in casi particolari anche per l aria, come nel caso dei camini) occorre anche tenere conto delle variazioni di pressione dovute all altezza, cioè della componente piezometrica, che fa aumentare la pressione quando la quota del circuito si abbassa, e la fa diminuire quando si alza. Nel caso dei un circuito chiuso queste variazioni si compensano tra andata e ritorno. Nei circuiti aperti invece bisogna tenere conto della differenza di quota tra ingresso e uscita.

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