Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

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1 Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana

2 Una funzione (numerica) é una applicazione definita su un insieme numerico a valori in un insieme numerico. Ovvero, la differenza tra il termine applicazione e il termine funzione sta solamente in questo: Una applicazione é un modo di associare elementi di un insieme a elementi di un altro insieme, quando questi insiemi sono composti da numeri si parla di funzione. Le funzioni sono quindi un sottoinsieme delle applicazioni. La variabile x prende il nome di variabile indipendente, la variabile f(x) prende il nome di variabile dipendente. 1

3 Esempi: 1. x x 2 2. x 1 + a x 3. x 1 1 a x 4. x (1 + a) x 5. L L α 2

4 6. La funzione che ad ogni giorno associa la temperatura espressa in gradi Celsius rilevata a mezzogiorno all aereoporto di Elmas. 7. La funzione che ad ogni giorno di borsa aperta associa il valore di chiusura dell indice MIB La funzione che ad ogni anno esercizio associa il fatturato di una azienda. 9. La funzione che associa ad ogni giorno il valore del C/C di un individuo. 10. La funzione che ad ogni trimestre associa il valore del PIL italiano. 11. La funzione che associa l IRPEF a ogni livello di reddito. 3

5 Esempio: Secondo gli economisti il consumo é funzione del reddito, ovvero dato il livello del reddito, assunto quindi come variabile esogena, il livello del consumo viene determinato: C = f(y ) La esatta forma funzionale va scelta in modo tale da soddisfare ulteriori esigenze statistiche o di teoria economica. Ad esempio: C = c Y C = C 0 + c Y C = c log(y ) 4

6 Le lettere che compaiono all interno di una espresione algebrica che definisce una funzione possono giocare un ruolo diverso a seconda di ció che rappresentano. Abbiamo giá visto la distinzione tra variabile dipendente e variabile indipendente. Le altre lettere che compaiono sono costanti o parametri. Senza tentare di spaccare il capello in quattro, possiamo dire che le costanti e i parametri giocano lo stesso ruolo, ovvero vengono considerati fissi e invariabili, almeno nell ambito della stessa analisi. 5

7 Esempio: Dobbiamo rappresentare un modellino che ci permetta di prevedere quanto spendiamo per fare la spesa al supermarket. Supponiamo di voler comprare solamente carciofi. Indichiamo con S la spesa in euro e con C la quantitá di carciofi comprata. Infine con P indichiamo il prezzo dei carciofi. Possiamo ragionevolmente prevedere che la spesa ammonti a S = P C Supponiamo ora di sapere che il prezzo dei carciofi sia di 1, 5 euro al KG. (Attenzione quindi a misurare la quantiá di carciofi in KG!). Abbiamo allora: 6

8 S = 1, 5 C Ai fini della analisi che stiamo facendo, l unica cosa che cambia é la quantitá di carciofi e quindi il prezzo degli stessi é un parametro, ma ció non toglie che in un diverso tipo di analisi il prezzo dei carciofi sia una variabile.

9 Rappresentazione grafica di funzioni 1. Grafico di una applicazione. Se f : A B è una applicazione possiamo descrivere lo stesso modo di associare un elemento di B ad ogni elemento di B considerando il grafico di questa applicazione: Definizione. Grafico Il grafico di una applicazione f : A B è dato da tutte le coppie (a, b) A B : b = f(a) 2. Grafico di una funzione reale di variabile reale. Definizione. Il grafico di una funzione f : R R è dato da tutte le coppie (a, b) R R : b = f(a) 7

10 Definizione. Piano cartesiano Si definisce piano cartesiano il piano formato dalle coppie (a, b) R R L asse che riporta i valori della variabile indipendente si chiama asse delle ascisse, esso sará quindi costituito dalle coppie di valori (x, 0) con la seconda componente nulla e prima componente un numero reale qualsiasi. L asse che riporta i valori della variabile indipendente si chiama asse delle ordinate, esso sará quindi costituito dalle coppie di valori (0, y) con la prima componente nulla e seconda componente un numero reale qualsiasi. Tutte le coppie di punti (x, y) con x 0 e y 0 sono appartenenti al primo quadrante. Tutte le coppie di punti (x, y) con x 0 e y 0 sono appartenenti al secondo quadrante. 8

11 Tutte le coppie di punti (x, y) con x 0 e y 0 sono appartenenti al terzo quadrante. Tutte le coppie di punti (x, y) con x 0 e y 0 sono appartenenti al quarto quadrante. Il punto (0, 0) si chiama origine del piano cartesiano.

12 In corrispondenza dei valori x tali che f(x) sia positiva, si ha che il punto corrispondente (x, f(x)) ha ordinata positiva, quindi é situato o nel primo o nel secondo quadrante, a seconda che sia x 0 o x 0. I punti in cui f(x) é negativa sono invece rappresentati da punti giacenti o nel terzo o nel quarto quadrante. 9

13 Data una funzione f(x) si definisce zero della funzione f ogni valore x di x tale che f(x ) = 0 Il punto che rappresenta una funzione nel suo zero sará allora della forma (x, 0), ovvero sará situato sull asse delle ascisse: Gli zero della funzione sono graficamente individuati dalla intersezione del grafcio della stessa con l asse delle ascisse. 10

14 Tra gli esempi di funzioni riportati prima c é una differenza fondamentale tra gli esempi 1-5 e I primi riportano delle funzioni definite mediante espressioni matematiche, mentre i secondi riportano delle funzioni che sono concettualmente ben definite, ma non esprimibili tramite funzioni matematiche. Trovare espressioni matematiche per delle funzioni ben definite che descrivano fenomeni reali é il problema principale della matematica applicata. Definiamo funzioni algebriche quelle in cui compaiono solamente operazioni algebriche. Definiamo funzioni trascendenti quelle in cui compaiono funzioni trascendenti. 11

15 Ogni singola operazione algebrica puó definire una funzione algebrica in una variabile: 1. y = f(x) = a + x 2. y = f(x) = a x 3. y = f(x) = a x 4. y = f(x) = a x 5. y = f(x) = x n 6. y = f(x) = x a 7. y = f(x) = n x 12

16 Anche un polinomio puó essere visto come una funzione. Indichiamo con P n (x) il polinomio di grado n nella variabile x P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n La funzione polinomiale di grado n é definita da x P n (x) 13

17 Esaminiamo piú da vicino P 1 (x) x P 1 (x) Grafico di a x + b. 14

18 3. Soluzione di una equazione come interserzione con l asse x Una qualsiasi equazione é data dalla ricerca dei valori che annullano una funzione qualsiasi: f(x) = 0 Graficamente questo equivale alla ricerca del punto x in cui l ordinata f(x) del grafico é pari a zero, ovvero della intersezione tra il punto grafico della funzione e l asse delle ascisse. 15

19 6. Divisione dell ascissa in tre parti: P 1 (x) > 0, P 1 (x) < 0 e P 1 (x) = 0. 16