I POLIEDRI GEOMETRIA 3 I PRISMI. richiami della teoria. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Completa la seguente definizione:

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1 GEOMETRIA 3 I PRISMI richiami della teoria n Un oliedro eá la arte di sazio delimitata da oligoni osti su iani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi; n la relazione di Eulero dice che in ogni oliedro convesso la somma del numero delle facce e del numero dei vertici eá uguale al numero degli sigoli iuá due: f v ˆ s ; n il risma eá un oliedro costituito da due oligoni congruenti, osti su due iani aralleli e con i lati aralleli, e da tanti arallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due oligoni; n un risma retto ha gli sigoli laterali erendicolari ai iani delle basi; n un risma regolare eá retto e ha come basi due oligoni regolari; n il aralleleiedo eá un risma che ha come basi due arallelogrammi; n il aralleleiedo rettangolo eá un aralleleiedo retto che ha come basi due rettangoli; le sue facce sono a due a due congruenti; n il cubo eá un aralleleiedo rettangolo avente le tre dimensioni congruenti e quindi come facce sei quadrati congruenti; n l'area della suerficie laterale di un risma retto eá uguale al rodotto del erimetro della base er la misura dell'altezza del risma; formula diretta: A l ˆ h; formule inverse: ˆ A l : h; h ˆ A l : ; n l'area della suerficie totale di un risma retto eá uguale alla somma dell'area laterale con il doio dell'area di una base; formula diretta: A t ˆ A l A b ; formule inverse: A l ˆ A t A b ; A b ˆ A t A l : ; n l'area della suerficie di un aralleleiedo rettangolo eá data dalla formula: A t ˆ ab a c b c ; n la misura della diagonale di un aralleleiedo rettangolo eá uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure delle sue tre dimensioni: d ˆ a b c ; n l'area della suerficie laterale e totale di un cubo sono date risettivamente dal rodotto dell'area di una faccia er 4 e er 6; formule dirette: A l ˆ 4 l ; A t ˆ 6 l ; formule inverse: l ˆ A l : 4; l ˆ A t : 6; n la misura della diagonale di un cubo eá uguale al rodotto della misura dello sigolo er 3 ; formula diretta: d ˆ l 3 ; formula inversa: l ˆ d : 3 (con 3 ˆ 1,73). COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Comleta la seguente definizione: un oliedro eá la arte di... delimitata da... osti su iani diversi in modo tale che ogni... sia in comune a due di essi.

2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Comleta le seguenti definizioni: a. la relazione di Eulero dice che in un... la somma del numero delle... e del numero dei vertici eá uguale al numero di... iuá due; b. il risma eá un... costituito da due oligoni..., osti su due iani... e con i lati... e da tanti... quanti sono i lati di ciascuno dei due oligoni; c. un risma eá retto se... sono... ai iani delle basi; d. un risma eá regolare se eá... e ha come basi... 3 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: a. un risma eá un aralleleiedo se le sue basi sono due arallelogrammi; V F b. il aralleleiedo rettangolo eá un aralleleiedo retto che ha er base un traezio rettangolo; V F c. il aralleleiedo rettangolo eá un aralleleiedo retto che ha er basi due rettangoli; V F d. le facce del aralleleiedo rettangolo sono rettangoli a due a due congruenti; V F e. le dimensioni di un aralleleiedo rettangolo sono i tre sigoli aventi lo stesso vertice in comune. V F 4 Comleta la seguente definizione: un cubo eá un... avente le 3 dimensioni... 5 Indica quale oliedro genera ciascuno dei seguenti svilui. a. b. c. d. 6 Qual eá la formula er calcolare l'area della suerficie laterale del risma retto? 7 Quali delle seguenti formule er calcolare l'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo sono corrette? a. A t ˆ a b a b c; b. A t ˆ a b a b c; c. A t ˆ a b b c a c. 8 Qual eá la formula er calcolare l'area della suerficie totale di un cubo? APPLICAZIONE 9 Verifica la relazione di Eulero nel caso di una iramide a base quadrata e di un risma a base esagonale. 10 Un oliedro ha 6 facce e 8 vertici; quanti sono gli sigoli? [1]

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 3 11 La base di un risma retto eá un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 4 cm e 10 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza del risma misura 8 cm. AC ˆ 4cm BC ˆ 10 cm AA 0 ˆ 8cm A t Determiniamo l'area del triangolo rettangolo di base: A b ˆ AC BC ˆ 4 10 cm ˆ 10 cm Per calcolare l'area della suerficie laterale abbiamo bisogno del erimetro di base e dobbiamo quindi calcolare la misura dell'iotenusa alicando il teorema di Pitagora. q AB ˆ AC BC ˆ 4 10 cm ˆ cm ˆ 676 cm ˆ 6cm ABC ˆ AB AC BC ˆ cm ˆ 60 cm A l ˆ AA 0 ˆ 60 8 cm ˆ 480 cm A t ˆ A l A b ˆ cm ˆ 70 cm 1 La base di un risma retto eá un triangolo rettangolo avente l'iotenusa e un cateto che misurano risettivamente 55 cm e 33 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza misura 1cm cm Š 13 Un traezio isoscele con la base maggiore, la base minore e il lato obliquo lunghi risettivamente 38 cm, 0 cm e 15 cm eá la base di un risma retto. Calcola l'area della suerficie totale del risma saendo che l'altezza del solido eá 5 dell'altezza del risma. 016 cmš 4 14 In un traezio rettangolo la somma delle due basi eá 55 cm, una eá 5 dell'altra e il lato obliquo misura 6 13 cm. Calcola l'area della suerficie totale di un risma retto che ha er base il traezio rettangolo saendo che l'altezza del risma eá 18 cm. 100 cm Š 15 Un risma retto ha er base un rombo. Calcola l'area della suerficie totale del risma saendo che le diagonali della base misurano 36 cm e 48 cm e l'altezza del risma eá lunga 10 cm. 98 cm Š 16 Esercizio Guidato L'area di base di un risma retto a base rombica eá 96 cm. Determina l'area della suerficie totale del risma saendo che le diagonali di base sono una 3 dell'altra e che l'altezza misura 7 cm. 4 A b ˆ 96 cm BD ˆ 3 4 AC AA 0 ˆ 7cm A t

4 4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Per calcolare l'area della suerficie laterale abbiamo bisogno del erimetro. Nel rombo si evidenziano 4 3 ˆ 6... di uguale... A quadrato ˆ A b : ::::: ˆ ::::: : ::::: cm ˆ 16 cm lato quadrato A ˆ 16 cm ˆ 4cm BD ˆ 4 3 cm ˆ ::::: cm AC ˆ ::::: 4 cm ˆ 16 cm s s AC AB ˆ BD 1 ˆ 16 cm ˆ ABCD ˆ AB ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ 40 cm A l ˆ ABCD ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ :::::::::::: A t ˆ ::::: ::::: A b ˆ ::::: ::::: cm ˆ 17 cm 6 8 cm ˆ 100 cm ˆ 10 cm 17 L'area di base di un risma retto a base triangolare eá 43cm. Determina l'area della suerficie totale del risma saendo che il triangolo eá isoscele, la base eá dell'altezza e l'altezza del risma misura 3 41 cm ,08 cm 18 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno 5 dell'altro. Calcola l'area 1 della suerficie totale del risma saendo che l'area di base eá 750 dm e l'altezza del risma eá dell'iotenusa dm Š 19 Un triangolo isoscele la cui base misura 36 dm e il cui lato obliquo eá 5 della base eá la base di un 9 risma retto che ha l'area della suerficie laterale uguale a 167dm. Calcola l'altezza del risma. AB ˆ 36 dm AA 0 BC ˆ 5 9 AB A l ˆ 167dm Calcoliamo la misura del lato obliquo del triangolo: BC ˆ 5 9 AB ˆ dm ˆ 0dm ABC ˆ AB BC ˆ 36 0 dm ˆ 76 dm AA 0 ˆ A l : ˆ 167 : 76 dm ˆ dm 0 Un risma retto con l'area della suerficie totale uguale a 1360 dm, ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 8 dm e 15 dm. Calcola la misura dell'altezza del risma. [31 cm]

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 1 Il erimetro di base di un aralleleiedo rettangolo eá 96 cm e una dimensione eá 5 dell'altra. Calcola 7 l'area della suerficie totale del aralleleiedo saendo che l'altezza misura 19 cm. 944 cm Š (Suggerimento: il aralleleiedo rettangolo eá un risma retto che ha er basi due rettangoli) 3 La somma delle tre dimensioni di un aralleleiedo rettangolo eá 117 dm. Calcola l'area della suerficie totale del aralleleiedo saendo che due dimensioni della base sono una 3 dell'altra e che 4 l'altezza del solido eá lunga 6 dm dm Š Esercizio Guidato L'area della suerficie totale di un risma retto che ha er base un traezio isoscele eá 430 cm e l'area di base eá 70 cm. Calcola la misura dell'altezza del risma saendo che la base maggiore e la base minore del traezio misurano risettivamente 6 cm e 10 cm. A t ˆ 430 cm AA 0 A b ˆ 70 cm AB ˆ 6cm DC ˆ 10 cm Per oter determinare la misura dell'altezza dobbiamo calcolare l'area della suerficie laterale e il erimetro di base. A l ˆ A t A b ˆ ::::::::: ::::: cm ˆ ::::::::: cm Oeriamo ora sugli elementi della base er calcolare il erimetro: CH ˆ A b : ::::: ::::: ˆ 70 : ::::: ::::: Š cm ˆ 15 cm HB ˆ AB CD : ˆ 6 10 : Š cm ˆ 8cm q BC ˆ CH HB ˆ ::::: ::::: cm ˆ 5 64 cm ˆ 89 cm ˆ 17 cm ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ cm ˆ 70 cm AA 0 ˆ A l : ˆ ::::: : ::::: cm ˆ 7cm 4 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno 3 4 dell'altro. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'area della suerficie laterale eá 43cm e che l'altezza del risma e l'iotenusa misurano risettivamente 1cm e 15 cm. 540 cm Š 5 L'area della suerficie laterale di un aralleleiedo rettangolo eá 3600 cm e le due dimensioni sono una 7 dell'altra. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza del solido eá 5 cm. 5 39cm Š 6 L'area della suerficie totale di un risma retto a base rombica eá 1800 cm e l'area di base eá 1 13 dell'area laterale. Calcola la misura dell'altezza del risma saendo che una diagonale eá lunga 10 cm. [30 cm] 7 Un traezio isoscele, avente la base maggiore, la base minore e l'altezza lunghe risettivamente 85 cm, 5 cm e 40 cm, eá la base di un risma retto. Calcola quanto eá alto il risma saendo che l'area della suerficie totale eá di 1 00 cm. [80 cm]

6 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 8 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 708 cm. Calcola la misura delle tre dimensioni e della diagonale saendo che il erimetro di base eá 30 cm e una dimensione eá 3 dell'altra. Incognite A t ˆ 708 cm AB, BC ABCD ˆ 30 cm AA 0, BD 0 BC ˆ 3 AB Della base ABCD conosciamo il erimetro e il raorto fra i lati; calcoliamo la misura dei lati AB e BC: AB BC ˆ : ˆ 30 : cm ˆ 15 cm BC ˆ 15 : 5 Š cm ˆ 6cm AB ˆ 15 : 5 3Š cm ˆ 9cm A artire dall'area della suerficie totale determiniamo er differenza l'area della suerficie laterale er oi calcolare la misura dell'altezza. A b ˆ AB BC ˆ 9 6 cm ˆ 54 cm A l ˆ A t A b ˆ cm ˆ 600 cm AA 0 ˆ A l : ˆ 600 : 30 cm ˆ 0cm Calcoliamo infine la misura della diagonale note le misure delle 3 dimensioni. q d ˆ AB AD DD 0 ˆ cm ˆ 517 cm ˆ,7 cm 9 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 14 dm. Calcola la misura delle tre dimensioni e della diagonale saendo che il erimetro di base eá 66 dm e una dimensione eá 5 6 dell'altra. [15 dm; 18 dm; 4 dm; 33,54 dm] 30 L'area della suerficie totale e di base di un aralleleiedo rettangolo sono risettivamente 1606 cm e 153 cm. Determina la misura dell'altezza e della diagonale del aralleleiedo saendo che una delle due dimensioni di base misura 9 cm. [5 cm; 31,54 cm] 31 Il lato di un cubo eá lungo 45 cm. Calcola l'area della suerficie laterale e totale. [8100 cm ; 1150 cm ] 3 Un cubo ha la misura dello sigolo di 1cm. Calcola l'area della suerficie totale e la misura della diagonale. 864 cm ; 0,784 cmš 33 Un cubo ha la misura dello sigolo di 15 cm. Calcola l'area della suerficie laterale e la misura della diagonale. 900 cm ; 5,98 cmš

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 34 Un cubo ha l'area della suerficie totale di 1536 cm. Calcola la misura dello sigolo. Dato A t ˆ 1536 cm AB Per calcolare la misura della sigolo, basta alicare la formula inversa: AB ˆ A t : 6 ˆ 1536 : 6 cm ˆ 16 cm 35 Un cubo ha l'area della suerficie laterale di 3136 cm. Calcola la misura dello sigolo. [8 cm] 36 Un cubo ha l'area della suerficie totale di 6144 cm. Calcola l'area della suerficie laterale cm Š 37 Esercizio Guidato La diagonale di un cubo misura 39,836 dm. Calcola l'area della suerficie totale del cubo. Dato A 0 C ˆ 39,836 dm A t AB ˆ A 0 C : 3 ˆ 39,836 : :::::::: dm ˆ ::::: dm A t ˆ ::::: A b ˆ 6 ::::: dm ˆ :::::::: dm cm Š 38 La diagonale di un cubo misura 7,71 cm. Calcola le misure delle dimensioni di un aralleleiedo rettangolo avente la stessa suerficie totale del cubo saendo che le dimensioni di base sono una 1 3 dell'altra e l'area di base eá 48 cm. [1cm; 4 cm; 45 cm]

8 8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA PIRAMIDE E REGOLARI richiami della teoria n La iramide eá la arte di una iramide indefinita comresa fra una sezione iana e il vertice; n una iramide eá retta se nella base si uoá inscrivere una circonferenza e il iede dell'altezza coincide con il centro di questa circonferenza; n l'aotema di una iramide retta eá l'altezza di uno qualunque dei triangoli che costituiscono le sue facce laterali; l'aotema di base eá il raggio della circonferenza inscritta e si calcola dividendo l'area del oligono di base er il semierimetro: r ˆ A : ; n una iramide eá regolare se eá retta e se ha come base un oligono regolare; n l'area della suerficie laterale di una iramide retta eá uguale al rodotto del semierimetro della base er la misura dell'aotema; formula diretta: A l ˆ a; formule inverse: ˆ A l : a; a ˆ A l : ; n l'area della suerficie totale di una iramide retta eá uguale alla somma dell'area laterale con l'area della base; formula diretta: A t ˆ A l A b ; formule inverse: A l ˆ A t A b ; A b ˆ A t A l ; n un oliedro eá regolare se tutte le sue facce sono oligoni regolari congruenti fra di loro e i suoi diedri e i suoi angoloidi sono congruenti fra loro; n l'area della suerficie dei oliedri regolari eá uguale al rodotto del numero di facce er il quadrato della misura del lato er il relativo numero fisso. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 39 Comleta le seguenti definizioni: a. la iramide eá la arte di una... comresa fra una sua... e il...; b. una iramide si dice retta se nella base si uoá... una circonferenza e... coincide con il centro di questa circonferenza; c. una iramide si dice regolare se eá... e se ha come base un Quale formula ermette di calcolare l'area della suerficie laterale della iramide retta? 41 Quali oliedri regolari esistono? APPLICAZIONE 4 Una iramide quadrangolare regolare ha lo sigolo di base e l'altezza che misurano risettivamente 16 cm e 6 cm. Calcola l'area della suerficie totale. AB ˆ 16 cm VH ˆ 6cm A t

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 Per determinare l'area della suerficie laterale dobbiamo rima calcolare la misura dell'aotema VK alicando il teorema di Pitagora al triangolo VHK. HK ˆ AB : ˆ 16 : cm ˆ 8cm q VK ˆ VH HK ˆ 6 8 cm ˆ cm ˆ 100 cm ˆ 10 cm A l ˆ ABCD VK ˆ cm ˆ 30 cm A b ˆ AB ˆ 16 cm ˆ 56 cm A t ˆ A b A l ˆ cm ˆ 576 cm 43 Una iramide quadrangolare regolare ha lo sigolo di base e l'altezza che misurano risettivamente 0 cm e 4 cm. Calcola l'area della suerficie totale cm Š 44 Una iramide quadrangolare regolare ha l'area di base di 104 cm e l'altezza lunga 30 cm. Calcola l'area della suerficie totale cm Š 45 Calcola la misura dell'aotema di una iramide quadrangolare regolare saendo che l'area della suerficie totale eá 864 cm e lo sigolo di base eá lungo 18 cm. A t ˆ 864 cm AB ˆ 18 cm VK Calcoliamo l'area di base e oi l'area della suerficie laterale sottraendo quest'ultima dall'area totale. A b ˆ AB ˆ 18 cm ˆ 34 cm A l ˆ A t A b ˆ cm ˆ 540 cm Doo aver calcolato il erimetro di base alichiamo la formula inversa dell'area della suerficie totale er calcolare la misura dell'aotema. ABCD ˆ AB 4 ˆ 18 4 cm ˆ 7cm VK ˆ Al ˆ cm ˆ 15 cm 46 Calcola la misura dell'aotema di una iramide quadrangolare regolare saendo che l'area della suerficie totale eá 856 cm e lo sigolo di base eá lungo 34 cm. [5 cm] 47 Calcola la misura dello sigolo di base e l'area della suerficie totale di una iramide quadrangolare regolare saendo che l'area della suerficie laterale eá 756 cm e l'aotema eá lungo 18 cm. 1 cm; 1197 cm

10 10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 48 Esercizio Guidato Una iramide a base rettangolare con il iede dell'altezza nel unto di incontro delle diagonali di base eá alta 8 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che il erimetro di base eá 84 cm e una dimensione eá 5 dell'altra. VH ˆ 8cm ABCD ˆ 84 cm BC ˆ 5 AB A t Per calcolare l'area della suerficie laterale dobbiamo calcolare l'area delle singole facce laterali ercheâ la iramide non eá retta. Determiniamo le dimensioni del rettangolo di base: AB BC ˆ : ˆ 84 : cm ˆ 4cm BC ˆ 4 : ::::: :::::Š cm ˆ 1cm AB ˆ 4 : ::::: :::::Š cm ˆ ::::: cm Calcoliamo la misura degli aotemi VK e VT considerando i triangoli rettangoli VHK e VHT. q VK ˆ VH HK ˆ 8 15 cm ˆ 64 5 cm ˆ 89 cm ˆ 17 cm q VT ˆ VH HT ˆ 8 6 cm ˆ cm ˆ 100 cm ˆ 10 cm AB ::::: A t ˆ A b A ABV A BCV ˆ AB ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ 864 cm ::::: ::::: ::::: ˆ 49 Una iramide a base rettangolare con il iede dell'altezza nel unto d'incontro delle diagonali di base eá alta 1cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che il erimetro di base eá 56 cm e una 50 dimensione eá 5 9 dell'altra. Esercizio Guidato 564 cmš L'altezza di una iramide retta a base rombica misura 10 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'area di base eá 400 cm e la diagonale minore della base misura 60 cm. VH ˆ 10 cm A b ˆ 400 cm BD ˆ 60 cm A t

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11 Per determinare la misura del lato del rombo AB dobbiamo alicare il teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo AHB; mentre er determinare la misura dell'aotema VK dobbiamo alicare lo stesso teorema al triangolo VHK. Calcoliamo gli elementi della base: AC ˆ A b : ::::: ˆ ::::::::::::: : :::::Š cm ˆ 80 cm HB ˆ DB : ˆ ::::: : cm ˆ ::::: cm q AB ˆ HB AH ˆ cm ˆ AH ˆ ::::: : ˆ ::::: : cm ˆ ::::: cm cm ˆ 500 cm ˆ 50 cm Per calcolare la misura dell'aotema VK eá necessario conoscere la lunghezza del segmento HK che eá il... della circonferenza inscritta e corrisonde all'altezza del triangolo rettangolo BHC relativa all'iotenusa BC. HK ˆ VK ˆ ::::: HC BC ˆ q HK ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: cm ˆ 4cm ::::: ::::: cm ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm ˆ ::::: cm Possiamo ora calcolare A l ˆ ABCD VK : ˆ 4 ::::: ::::: : Š cm ˆ ::::: cm A t ˆ A l A b ˆ cm ˆ 5000 cm 51 L'altezza di una iramide retta a base rombica eá lunga 16,dm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'area di base eá 1944 dm e una diagonale misura 54 dm dm Š 5 Calcola l'area della suerficie totale di un tetraedro regolare il cui sigolo eá lungo 36 cm. 44,67 cm Š 53 Un dodecaedro regolare ha l'area della suerficie totale di 856 cm. Calcola la misura dello sigolo. [0 cm] 54 Un oliedro regolare ha l'area della suerficie di ,5 cm. Saendo che il suo sigolo misura 45 cm, di che oliedro si tratta? [icosaedro]

12 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I SOLIDI EQUIVALENTI richiami della teoria n Il volume di un coro consiste nella arte di sazio che il coro occua; n i due solidi equivalenti hanno lo stesso volume; n rinciio di Cavalieri: due solidi equivalenti si ossono disorre, risetto ad un iano, in modo che ogni iano arallelo a questo li intersechi secondo sezioni equivalenti; n misurare il volume di un solido significa confrontarlo con un altro solido scelto come unitaá di misura e stabilire quante volte quest'ultimo eá contenuto nel rimo; n il volume del aralleleiedo rettangolo eá uguale al rodotto delle misure delle tre dimensioni; formula diretta: V ˆ a b c oure V ˆ A b h; formule inverse: A b ˆ V : h; h ˆ V : A b ; n il volume del risma retto eá uguale al rodotto dell'area della base er la misura dell'altezza; formula diretta: V ˆ A b h; formule inverse: A b ˆ V : h; h ˆ V : A b ; n il volume del cubo eá uguale alla terza otenza della misura del suo sigolo; formula diretta: V ˆ `3; formula inversa: ` ˆ V ; 3 n la iramide eá equivalente alla terza arte di un risma avente la base equivalente e l'altezza congruente a quella della iramide; formula diretta: V ˆ A b h : 3; formule inverse A b ˆ 3 V : h; h ˆ 3 V : A b ; n il volume di un oliedro regolare eá uguale al rodotto del cubo della misura dello sigolo er il numero r fisso; formula diretta: V ˆ l 3 3 V n; formula inversa: l ˆ ; n n il eso secifico di un coro eá dato dal raorto fra il eso e il volume; formula diretta Ps ˆ P V ; formule inverse P ˆ Ps V ; V ˆ P Ps. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 55 Quando due solidi si dicono equivalenti? 56 Collega ogni solido con la formula er calcolare il suo volume: a. cubo a b c b. aralleleiedo rettangolo A b h 3 c. risma retto l 3 d. iramide A b h 57 Collega ogni solido con la formula che ermette di calcolare la misura del lato noto il volume: a. cubo r 3 V ` ˆ h b. iramide quadrangolare r 3 V ` ˆ n c. oliedro regolare ` ˆ 3 V

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 13 APPLICAZIONE 58 L'area della suerficie laterale di un risma retto a base quadrata eá 35 cm. Calcola il volume del risma saendo che l'altezza misura 4cm. A l ˆ 35 cm AA 0 ˆ 4cm V Per oter calcolare il volume abbiamo bisogno dell'area di base, quindi calcoliamo il erimetro di base e oi la misura dello sigolo alicando la formula inversa dell'area della suerficie laterale. ABCD ˆ A l : AA 0 ˆ 35 : 4 cm ˆ 56 cm AB ˆ : 4 ˆ 56 : 4 cm ˆ 14 cm A b ˆ AB ˆ 14 cm ˆ 196 cm V ˆ A b AA 0 ˆ cm 3 ˆ 83 cm 3 59 L'area di base di un risma retto a base quadrata eá 784 cm e l'altezza eá 9 dello sigolo di base. Calcola il volume del risma. 8 4 cm 3 7 Š 60 Le diagonali di base di un risma retto a base rombica misurano risettivamente 48 dm e 8 dm. Calcola il volume del risma saendo che la sua altezza misura 5 dm dm 3 Š 61 L'area della suerficie laterale di un risma retto a base triangolare eá 160 cm. Calcola il volume del risma saendo che la base eá un triangolo rettangolo i cui cateti misurano risettivamente 1cm e 5 cm. 160 cm 3 Š 63 6 Calcola il volume di un arelleleiedo rettangolo saendo che l'altezza misura 45 cm, che il erimetro di base eá 16 cm e le due dimensioni sono una 3 4 dell'altra cm3š Il volume di un aralleleiedo rettangolo eá 167 cm 3. Calcola la misura delle due dimensioni di base saendo che sono una 3 dell'altra e che l'altezza misura 33 cm. V ˆ 167 cm 3 AB BC ˆ AB 3 BC AA 0 ˆ 33 cm Calcoliamo l'area di base alicando la formula inversa del volume: A b ˆ V : AA 0 ˆ 167 : 33 cm ˆ 384 cm

14 14 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Nella suerficie di base si evidenziano 3 ˆ 6 quadrati di ugual suerficie, ciascuno con area uguale a: A quadrato ˆ A b : 6 ˆ 384 : 6 cm ˆ 64 cm lato quadrato A quadrato ˆ 64 cm ˆ 8cm AB ˆ 8 3 cm ˆ 4cm BC ˆ 8 cm ˆ 16 cm 64 Il volume di un aralleleiedo rettangolo eá 630 cm 3. Calcola la misura delle due dimensioni di base saendo che sono una 5 7 dell'altra e che l'altezza misura 47 cm. [0 cm; 8 cm] 65 L'area di base e della suerficie laterale di un aralleleiedo rettangolo sono risettivamente 1815 cm e 167 cm. Calcola il volume del aralleleiedo saendo che le dimensioni di base sono una 3 5 dell'altra cm 3 Š 66 Un cubo con lo sigolo lungo 4cm eá equivalente ad una iramide quadrangolare regolare alta 56 cm. Calcola l'area della suerficie totale della iramide. 1064,5 cm 67 Esercizio Guidato Un risma retto ha er base un triangolo isoscele con la base ari a 16 del lato obliquo. Calcola il 17 volume del solido saendo che l'area della suerficie laterale e la misura dell'altezza sono risettivamente 400 cm e 4cm. AB ˆ BC V A l ˆ 400 cm AA 0 ˆ 4cm Calcoliamo il erimetro alicando la formula inversa dell'area della suerficie laterale ˆ A l : ::::: ˆ ::::: : 4 cm ˆ 100 cm Determiniamo la lunghezza dei lati AB ˆ 16 : ::::: Š ˆ : 50 Š cm ˆ 3cm BC ˆ 17 : ::::: ::::: ::::: Š ˆ 17 ::::: : ::::: Š cm ˆ ::::: cm Calcoliamo la misura dell'altezza CH alicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo HBC. HB ˆ AB : ˆ ::::::::: : cm ˆ 16 cm CH ˆ BC ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ 30 cm A b ˆ AB ::::: : ˆ 3 ::::: : cm ˆ ::::: cm V ˆ A b AA 0 ˆ ::::: ::::: cm 3 ˆ 0160 cm 3 68 Un risma retto ha er base un triangolo isoscele con il lato obliquo ari a 13 dalla base. Calcola il 10

15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 15 volume del solido saendo che l'area della suerficie laterale e la misura dell'altezza sono risettivamente 5616 cm e 5cm cm 3 Š 69 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo con i cateti lunghi risettivamente 0,8 cm e 15,6 cm. Calcola il volume del risma saendo che l'area della suerficie laterale eá 187cm. 4867,cm 3 70 Un aralleleiedo rettangolo ha l'area della suerficie laterale di 6880 cm e l'altezza lunga 19cm. Calcola la misura dello sigolo di un cubo equivalente al aralleleiedo saendo che le dimensioni di base di quest'ultimo sono una 5 9 dell'altra. [60 cm] 71 Un aralleleiedo rettangolo eá equivalente ad un cubo con lo sigolo lungo 4 cm. Calcola l'area della suerficie totale del aralleleiedo saendo che l'altezza misura 7 cm e una dimensione di base eá doia dell'altra cm Š 7 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 1550 dm e due dimensioni sono risettivamente 3 e 5 della terza. Calcola il volume del solido dm3š 3 73 Un aralleleiedo rettangolo ha l'area della suerficie laterale di 856 cm e l'altezza lunga 49 cm. Calcola la misura dello sigolo di un cubo equivalente al aralleleiedo saendo che le dimensioni di base di quest'ultimo sono una 8 1 dell'altra. 4cmŠ 74 In un aralleleiedo rettangolo, con le dimensioni di base lunghe 36 cm e 30 cm e l'altezza che misura 7cm, eá stata raticata una cavitaá a forma di aralleleiedo rettangolo che lo traassa er tutta l'altezza da arte a arte. Il foro eá ari a 1 3 del volume del aralleleiedo e le sue dimensioni sono una 5 dell'altra. Determina l'area della suerficie del solido cosõá ottenuto cmŠ 75 Un cubo di rame Ps ˆ 8,8, avente lo sigolo lungo 15 dm viene fuso con un risma entagonale di zinco Ps ˆ 6,8 avente l'area della suerficie laterale di 600 dm e l'altezza che misura 1dm. Dalla fusione dei due solidi si ottiene un risma esagonale regolare avente l'area di base di 59 dm. Calcola la misura dell'altezza del risma e il suo eso. 1 dm; , kgš 76 Una iramide retta ha er base un rettangolo il cui erimetro eá 80 cm e con le dimensioni una 3 5 dell'altra. Calcola il volume della iramide saendo che l'altezza misura 36 cm. ABCD ˆ 80 cm BC ˆ 3 5 AB VH ˆ 36 cm V Dalla raresentazione della base si caisce che il erimetro eá formato da ˆ 16 segmenti unitari ciascuno dei quali misura: AK ˆ 80 : 16 cm ˆ 5cm ertanto BC ˆ 3 5 cm ˆ 15 cm e AB ˆ 5 5 cm ˆ 5cm

16 16 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS A b ˆ AB BC ˆ 5 15 cm ˆ 375 cm V ˆ Ab VH 3 ˆ cm 3 ˆ 4500 cm 3 77 Una iramide retta ha er base un rettangolo il cui erimetro eá 78 cm e con le dimensioni una 6 7 dell'altra. Calcola il volume della iramide saendo che l'altezza misura 39 cm cm 3 Š 78 Calcola il volume di una iramide quadrangolare regolare saendo che lo sigolo di base e l'altezza misurano risettivamente 1cm e 35 cm cm 3 Š 79 Il volume di una iramide quadrangolare regolare eá 61 cm 3. Calcola la misura dell'altezza saendo che lo sigolo di base misura 9 cm. V ˆ 61 cm 3 AB ˆ 9cm VH Determiniamo l'area di base: A b ˆ AB ˆ 9 cm ˆ 81 cm Calcoliamo la misura l'altezza alicando la formula inversa del volume: VH ˆ V 3 ˆ 61 3 A b 81 cm ˆ 3cm 80 Il volume di una iramide quadrangolare regolare eá 304 cm 3. Calcola la misura dell'altezza saendo che lo sigolo di base misura 16 cm. 7cmŠ 81 Il volume di una iramide quadrangolare regolare eá 300 cm 3. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza misura 4 cm cm Š 8 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale e laterale di una iramide avente er base un rombo sono risettivamente 7776 cm e 430 cm. Calcola il volume della iramide saendo che la diagonale minore della base misura 7cm. A t ˆ 7776 cm A l ˆ 430 cm BD ˆ 7cm V Per oter calcolare il volume della iramide abbiamo bisogno dell'area di base e della misura dell'altezza. Calcoliamo l'area di base come differenza di aree e oi determiniamo le misure dell'aotema di base e dell'aotema della iramide er oter oi calcolare la misura dell'altezza. A b ˆ A t ::::: ˆ 7776 ::::: cm ˆ ::::: cm AC ˆ A b : BD ˆ ::::: : 7 cm ˆ 96 cm

17 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 17 HB ˆ ::::: : ˆ ::::: : cm ˆ ::::: cm HC ˆ ::::: : ::::: ˆ ::::: : ::::: cm ˆ ::::: cm q BC ˆ HB HC ˆ cm ˆ cm ˆ 3600 cm ˆ 60 cm HK ˆ ::::: HC BC ˆ ::::: 48 ::::: cm ˆ ::::: cm VK ˆ A l : ˆ ::::: : 60 Š cm ˆ ::::: cm VH ˆ VK HK ˆ 36 8,8 cm ˆ 1,6 cm V ˆ ::::: VH : ::::: ˆ ::::: 1,6 : ::::: ˆ 4883, cm 3 83 L'area della suerficie totale di una iramide avente er base un rombo eá 150 cm. Calcola il volume della iramide saendo che le due diagonali di base misurano risettivamente 30 cm e 40 cm cm 3 Š 84 L'area della suerficie totale di una iramide quadrangolare regolare eá 4800 dm e l'area di base eá 1 dell'area laterale. Calcola il volume della iramide dm 3 Š 85 Un aralleleiedo rettangolo alto 100 cm con una dimensione di base 1 dell'altra eá equivalente ad 4 una iramide quadrangolare regolare con lo sigolo di base lungo 40 cm e con l'area della suerficie totale di 5760 cm. Calcola l'area della suerficie totale del aralleleiedo. 8 51cm Š 86 Un cubo eá sormontato da una iramide quadrangolare regolare con la base coincidente con una faccia del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che lo sigolo del cubo misura 7cm e l'altezza della iramide eá lunga 7 cm cm ; cm 3 Š 87 In un cubo vi eá una cavitaá a forma di iramide quadrangolare regolare con la base coincidente con quella del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che lo sigolo del cubo misura 96 cm e l'altezza della iramide eá lunga 0 cm cm ; cm 3 Š 88 Un solido eá costituito da un aralleleiedo rettangolo sormontato da una iramide la cui base si ottiene congiungendo i unti medi dei lati della faccia sueriore del aralleleiedo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che l'area della suerficie laterale e l'aotema della iramide misurano risettivamente 160 cm e 8 cm, mentre l'area della suerficie laterale e una dimensione di base del aralleleiedo misurano risettivamente 1400 cm e 1cm cm ; 5 004,8 cm 3 89 Sia ABC un triangolo rettangolo in A la base di una iramide. Il vertice V si trova sulla erendicolare al iano di ABC assante er A. Determina l'area della suerficie totale e il volume della iramide cosõá ottenuta saendo che i due cateti del triangolo di base e l'altezza (che coincide con lo sigolo VA) misurano risettivamente 16 cm, 1cm e 1,8 cm. 435,cm ; 409,6 cm 3 90 In un risma vi eá una cavitaá a forma di iramide quadrangolare regolare con la base coincidente con quella del risma e er vertice il centro della base oosta. Calcola l'area della suerficie totale e il eso del solido Ps ˆ 5 saendo che l'area della base comune eá 1764 dm e l'aotema della iramide eá lungo 35 dm dm ; kg 91 Un solido eá formato da un cubo e da due iramidi quadrangolari regolari congruenti aventi le basi coincidenti con le due facce ooste del cubo. Saendo che la distanza tra i due vertici delle iramidi misura 119 cm e che il lato del cubo eá 3 di ciascuna delle due altezze delle iramidi, calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido cm ; cm 3 Š