Esercizi S A 2.0 S B. =0.2; Metodo B: S B ii)

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1 Si usano ue metoi ifferenti per misurare il carico i rottura i un filo i acciaio e si fanno 0 misure per ognuno ei metoi. I risultati, espressi in tonnellate, sono i seguenti: Metoo : Metoo B: i) stimare la precisione i ciascun metoo ii) calcolare la meia e il rispettivo errore per ciascun metoo. Esprimere l errore anche in termini percentuali iii) ire quante misure si ovrebbero fare con il metoo meno preciso in moo a ottenere un errore uguale a quello ell altro metoo. i) La precisione è ata alla eviazione stanar che risulta pari a: Metoo : S =0.; Metoo B: S B =0.07 ii) S 0. x.5 S 0.06 N SB 0.07 xb.56 S 0.0 B N err% 00.79% err% %.56 iii) Il metoo è quello meno preciso. Per avere un errore sulla meia uguale a quello el metoo B è necessario effettuare un numero N i misure tale a avere: S S B S N' S B 0 N N' 8 S ' 0 S B

2 Si consieri il parallelepipeo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati ella base e l altezza trovano i seguenti valori: a =(4 ± ) cm; b =(0 ± ) cm; cm; h=(6 ± ) cm Calcolare: ) Il perimetro ella base con il suo errore ) L area i base con il suo errore ) Il volume el parallelepipeo con il suo errore ) La base è un rettangolo il cui perimetro è pari a: p a b cm Per il calcolo ell errore applico la formula i propagazione per somme/ifferenze: 7 8. cm p a b 49 ) L area i base è pari a: ab 40 cm Per il calcolo ell errore applico la formula i propagazione per prootti/rapporti: h a b p=(48 ± 8) cm a a b b cm =(40 ± 5) cm

3 Si consieri il parallelepipeo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati ella base e l altezza trovano i seguenti valori: a =(4 ± ) cm; b =(0 ± ) cm; cm; h=(6 ± ) cm Calcolare: ) Il perimetro ella base con il suo errore ) L area i base con il suo errore ) Il volume el parallelepipeo con il suo errore a b h Per il calcolo ell errore applico la formula i propagazione per prootti/rapporti: cm h b a h b a =(5000 ± 000) cm ) Il volume è pari a: 5040 cm h b a

4 Tre biologi, attraverso tre ifferenti tecniche i misura, calcolano il tasso i riprouzione i una colonia i batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione ella colonia i batteri raoppia. I tempi registrati sono: biologo : tempo =.4 ± 0.6 giorni biologo : tempo =.8 ± 0. giorni biologo : tempo =. ± 0.6 giorni Trovare la miglior stima el tempo e la sua incertezza. Determinare la compatibilità tra i valori ottenuti al biologo e. Si tratta semplicemente i applicare le formule ella meia pesata. xi.4.8. N i i i x i i X X best best N i N i x N i i i i i X best X best Teneno conto elle cifre significative:(.8 0.) Compatibilità:..4 t 0.94 P(t=0.94)=65.8% CL=4.7% giorni

5 Un analisi conotta si 000 uomini ha rivelato che le altezze sono istribuite normalmente attorno al valore (.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attene con: i) ltezza compresa tra.75 e.8 m ii) tezza maggiore i.85 m iii) ltezza maggiore i.65 m iv) ltezza compresa tra.65 e.75 m La istribuzione elle altezze è centrata sul valore meio.78 m con eviazione stanar pari a: S x S x N i) l intervallo [.75-.8] è simmetrico rispetto al valore meio Per il calcolo ella probabilità associata a tale intervallo si ricava apprima il valore i t e poi si guara la tabella ella gaussiana: i è quini una probabilità i circa il 5% che gli uomini abbiano un altezza tra.75 e.78 m. Esseno il campione composto a 000 iniviui, ci si aspetta un numero pari a: 5 N x x x t S x x t S x t t t t

6 ii) tezza maggiore i.85 m ii) Il numero i uomini con altezza maggiore i.85 m si trova anano a eterminare apprima il valore i t corrisponente a.85: t Dalla tabella ella gaussiana, si trova che P(t=0.44) = 4% e corrispone all a probabilità i avere un altezza tra.7 e.85 m (area blu). Noi siamo interessati però all area rosa che è pari a: P 00 P( t) 00 4 x.85 % Esseno il campione composto a 000 iniviui, ci si aspetta un numero pari a: N

7 iii) tezza maggiore i.65 m iii) Il numero i uomini con altezza maggiore i.65 m si trova anano a eterminare apprima il valore i t corrisponente a.65: t Dalla tabella ella gaussiana, si trova che P(t=0.8) = 59% circa e corrispone all a probabilità i avere un altezza tra.65 e.9 m (area blu). Noi siamo interessati però alla somma ell area blu e rosa che è pari a: P 00 P( t) x.65 P( t) %.0.5 Esseno il campione composto a 000 iniviui, ci si aspetta un numero pari a:.0.5 N

8 .0 Esercizi iv) tezza compresa tra.65 m e.75 m iv) Si ha a che fare con un intervallo non simmetrico (entrambi gli estremi sono a sinistra el valore centrale ella istribuzione. Si ricavano i corrisponenti valori i t e le probabilità associate, isegnano le gaussiane t 0.8 P( t) 59% t 0.9 P( t) 5% P( t) P( t ) P.65 x.75 % N

9 Si etermina il volume i un cilinro misuranone il iametro e l altezza. Se i risultati elle ue misure sono: iametro: (8 ± ) cm, altezza: (40 ± ) cm Si chiee: Quale è l errore sul volume? E quale il suo errore relativo (percentuale)? Se si potesse migliorare una sola elle ue misure, quale bisognerebbe scegliere per ottenere un errore più piccolo sul volume? Il volume i un cilinro è il prootto ell area i base per l altezza: r h 8 h cm ERRORE RELTIO SUL OLUME: h h % ERRORE SSOLUTO SUL OLUME: =000 ± 500 cm Nell espressione el volume el cilinro il iametro è elevato al quarato. Ciò fa si che nella formula i propagazione per prootti e rapporti compare il fattore moltiplicativo () in corrisponenza ell errore relativo sul iametro. E quini il iametro a avere un peso maggiore nel calcolo ell errore sul volume.

10 Un chimico eve prelevare 50 ml i soluzione utilizzano una pipetta a 0 ml. Effettua pertanto 5 pipettate. Sapeno che la precisione nominale ella pipetta è pari a 0.5 ml, calcolare l errore associato al volume totale prelevato Il volume totale prelevato è la somma el volume i 5 pipettate: tot 4 5 L errore sul volume totale si ricava quini utilizzano la formula i propagazione egli errori per somme e ifferenze: tot ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 5 ) tot Gli errori sui singoli volumi i sono tutto pari a 0.5 ml (precisione ella pipetta). Quini: ml 4

11 Si consieri una sferetta i massa m=5.40 ± 0.04 g, ella quale si vuole eterminare la ensità. Qual è la precisione con cui i eve eterminare il iametro ella sferetta per avere un errore percentuale sulla ensità inferiore all %? E richiesto un errore percentuale sulla ensità inferiore all %, cioè: 0.0 m m La ensità ella sferetta si esprime come: m con 4 La ensità ella sferetta si può quini riscrivere come: m K (ove K è una costante che racchiue tutti i termini numerici) Risolveno la isuguaglianza rispetto all errore relativo sul iametro si ha: 0.% m m

12 Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza i una porta. Il primo trova 46.8 cm, il secono 48.6 cm. Sapeno che l incertezza su ognuna elle ue misure può essere stimata pari a 5 mm, ire a quale livello i confienza le ue misure sono compatibili tra loro Per calcolare il CL si calcola apprima il valore i t : t Dalla tabella ella gaussiana si ricava che la probabilità corrisponente è: P(t)=98.9% Il livello i confienza CL è quini pari a: CL=00- P(t)=00%-98.9%=.08%

13 I risultati ottenuti a 4 ricercatori circa la misura ella velocità i propagazione el suono nell aria sono: ricercatore : v = 40 ± 8 m/s ricercatore : v = 4 ± 6 m/s ricercatore : v = 0 ± 6 m/s ricercatore 4: v = 45 ± m/s Si chiee, quale è la miglior stima ella velocità e quale è la sua incertezza. Inicare, inoltre, il grao i compatibilità tra la misura che ha ato il risultato maggiore e quella che ha ato il risultato minore. xi 40 i 8 i x i i X best 4.6 X best Teneno conto elle cifre significative: 44 m / s I ati a confrontare per il calcolo i CL sono il terzo e il quarto: t Dalla tabella ella gaussiana si ricava che la probabilità corrisponente è: P(t)=64.4% N i Il livello i confienza CL è quini pari a: CL=00- P(t)=00%-64.4%=5.76%

14 Si vuole eterminare il volume i un cilinro i cui si è misurato il raggio i base (r=0 cm) e l altezza (h=50 cm), entrambe con un errore pari a cm. Quanto vale il volume? E il suo errore? Il volume i un cilinro è il prootto ell area i base per l altezza: r h cm ERRORE RELTIO SUL OLUME: r r h h % ERRORE SSOLUTO SUL OLUME: =6000 ± 000 cm