Il calcolo integrale

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1 CAPITOLO 4 Il clcolo integrle Il problem che ffrontimo in questo cpitolo è il clcolo di ree di lcune regioni del pino. Inizimo il cpitolo spiegndo quli regioni pine simo interessti. Questi rgomenti sono in relzione con il clcolo di funzione di riprtizione, vlore tteso e vrinz di vribili letorie continue.. Clcolo di ree f (x) < x < b Si f un funzione limitt e non negtiv nell intervllo [, b]. Si desider clcolre l re dell regione colort in rosso in figur, ossi dell regione compres tr l sse delle scisse, le rette x =, x = b e il grfico dell funzione f(x). b Inizimo dividere l intervllo [, b] in n sottointervlli: dpprim sceglimo n + punti cso nell intervllo [, b] in modo che = x < x <... < x n = b. Questo procedimento ci permette di prtizionre l intervllo inizile [, b] in n sottointervlli del tipo [x i, x i ], che si toccno solo gli estremi. Per comodità, indichimo con P l insieme contenente gli n + punti scelti e lo chimimo prtizione dell intervllo [, b]. x = x x x 3 x 4 = b In ciscun sottointervllo del tipo [x i, x i ] pprossimimo per difetto l re dell regione che ci interess con l re del rettngolo che h stess bse m ltezz m i = inf {f(x) : x [x i, x i ]}. Sommndo le ree degli n rettngoli dell prtizione P scelt ottenimo un pprossimzione per difetto dell re che desiderimo vlutre. 53

2 54 Cpitolo 4 Tle pprossimzione si chim somm inferiore reltiv ll prtizione P, si indic con s(f, P ) e si h n s(f, P ) = m i (x i x i ). i= Anlogmente possimo pensre di pprossimre l re dell regione in figur per eccesso: sull i-esimo sottointervllo i vlori dell funzione sono più piccoli del vlore M i = sup {f(x) : x [x i, x i ]}. L somm superiore reltiv ll stess prtizione è l somm delle ree dei rettngoli di stess bse m ltezz M i. L indichimo con S(f, P ); quindi n S(f, P ) = M i (x i x i ). i= Si noti che l crescere del numero di punti dell prtizione, l somm inferiore cresce e l somm superiore decresce. Inftti, se pensimo, come in figur, di ggiungere un punto tr x e x ll prtizione inizile, llor l pprossimzione del bsso contempl nche l re del rettngolo verde. Questo ccde perché [x, y] e [y, x ] sono contenuti in [x, x ], quindi inf {f(x) : x [x, x ]} inf {f(x) : x [x, y]} x = x y x x 3 x 4 = b inf {f(x) : x [x, x ]} inf {f(x) : x [y, x ]}. Quindi, se P e Q sono due prtizioni dell intervllo [, b] e P Q s(f, P ) s(f, Q) S(f, Q) S(f, P ). Indichimo con s(f) e S(f) rispettivmente l integrle inferiore e l integrle superiore di f definiti d s(f) = sup {s(f, P ) : P prtizione di [, b] } S(f) = inf {S(f, P ) : P prtizione di [, b] }. Ovvimente s(f) e S(f) sono due numeri reli, compresi tr m(b ) e M(b ), dove m = inf {f(x) : x [, b]} e M = sup {f(x) : x [, b]}. Definizione 4.. L funzione f si dice integrbile (secondo Riemnn) in [, b] se i due procedimenti di pprossimzione forniscono lo stesso risultto, ossi s(f) = S(f). In tl cso si chim integrle definito tr e b dell funzione f tle vlore comune e si indic col simbolo b f(x) dx. Tutte le considerzioni che bbimo sinor svolto continuno d vere senso nche se f non è necessrimente positiv, con l convenzione che ree di regioni che stnno nel terzo o

3 4. Clcolo di ree 55 qurto qudrnte contino come negtive. In questo modo, l integrle divent un modo di rendere continuo il processo di somm. 3 Ossi: se l funzione f h il grfico in figur, llor 4 f(x) dx = , ovvero l integrle di f sull intervllo [, 4] è un modo (un po complicto) di sommre i vlori,,.5, Non tutte le funzioni sono integrbili, come mostr il seguente esempio. ZEsempio 4.. L funzione di Dirichlet D(x) = { x [, ] \ Q x [, ] Q non è integrbile sull intervllo [, ]. Inftti, comunque si scelg un prtizione P dell intervllo [, ], risult s(d, P ) = S(D, P ) =. Quindi s(d) = e S(D) =. Tuttvi, un teorem importnte grntisce che se f è continu su [, b], llor f è integrbile in [, b]. Quindi l mggior prte delle funzioni che conoscimo risultno integrbili. Questo teorem, che non dimostrimo, si bs sull ide che se f è continu llor oscill poco, ossi è possibile prtizionre l intervllo [, b] in modo che l differenz tr il vlore mssimo e il vlore minimo di f su un dto sottointervllo (del tipo [x i, x i ] individuto dll prtizione scelt) si piccol picere. Le seguenti proprietà dell integrle definito sono grficmente ovvie. Proprietà. Sino f e g funzioni integrbili su [, b]. Allor - Additività dell integrle definito. Se c b llor f è integrbile su [, c] e su [c, b] e b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. c c b

4 56 Cpitolo 4 - Linerità dell integrle definito. Sino λ e µ due numeri reli, llor b (λf(x) + µg(x)) dx = λ b f(x) dx + µ b g(x) dx. f (x) (Nell figur il cso di λ =, µ = ; gli integrli differiscono per il segno) f (x) f (x) g(x) 3- Monotoni dell integrle definito.. Se sull intervllo [, b] vle f(x) g(x), llor b f(x) dx b g(x) dx. b 4- Proprietà dell medi. Se inoltre f è continu e indichimo con m il minimo e con M il mssimo di f sull intervllo [, b], llor Il vlore m(b ) b b f(x) dx M(b ). b f(x) dx si chim vlor medio di f e rppresent l ltezz di un rettngolo che h per bse l intervllo [, b] e re ugule quell dell regione trtteggit nell prim figur. Per il Teorem dei vlori intermedi esiste α in [, b] tle che f(α) = b b f(x) dx. Notimo che dll dditività dell integrle (con = c) segue che f(x) dx =.

5 4. I teoremi fondmentli 57 Inoltre combinndo l monotoni e l linerità si ottiene b f(x) dx b f(x) dx b f(x) dx, ossi b b f(x) dx f(x) dx. Per consistenz con l proprietà ), si pone b f(x) dx = b f(x) dx. Nell prossim sezione vedimo come clcolre gli integrli definiti.. I teoremi fondmentli Dt un funzione f integrbile sull intervllo [, b], possimo considerre l funzione integrle I f definit per ogni x in [, b] d I f (x) = Ovvimente I f () = e I f (b) = b f(t) dt. x f(t) dt. Teorem 4. (Teorem fondmentle del clcolo integrle). Se f è continu in [, b], l funzione integrle I f di f risult derivbile in (, b) e l su derivt è (I f ) (x) = f(x) x (, b). Dimostrzione. Si x un punto fissto dell intervllo (, b). Clcolimo il rpporto incrementle di I f in x e usimo l dditività dell integrle x I f (x) I f (x ) = f(t) dt x x f(t) dt = f(t) dt + x f(t) dt = x f(t) dt. x x x x x x x x x Siccome f è continu, per l proprietà dell medi esiste α x,x x x Qundo x si vvicin x, nche α x,x x x f(t) dt = f(α x,x ). si vvicin x. Quindi I f (x) I f (x ) lim = lim f(α x,x ) = f(x ). x x x x x x compreso tr x e x tle che Questo vuol dire che I f è derivbile in x e che l su derivt in tle punto è f(x ) e il teorem è dimostrto.

6 58 Cpitolo 4 Definizione 4.. Si f un funzione definit sull intervllo I. Si dice che un funzione F definit su I è primitiv di f se F (x) = f(x) per ogni x in I. Un importnte conseguenz del Teorem 4. è che ogni funzione continu f in un intervllo [, b] mmette un primitiv: l funzione I f. In prticolre, I f (x) è quell primitiv di f(x) che si nnull per x =. Ricordndo nche il corollrio dell regol di Hôpitl (Proposizione.6), ffinché un funzione poss mmettere un primitiv sull intervllo I, non deve presentre discontinuità slto. Per nlogi con il cso dell funzione integrle di un funzione continu, si indic con il simbolo di integrle indefinito f(x) dx l insieme di tutte le primitive di f, ovvero (4.) f(x) dx = {F (x) : F primitiv di f}. È evidente che se F è primitiv di f sull intervllo I, llor nche ogni trslt verticlmente di F è un primitiv di f; in prticolre un funzione h infinite primitive. Nel disegno, l funzione F (x) = x è un primitiv di f(x) = x, m nche tutte le funzioni del tipo x + k con k costnte rele sono ncor primitive di f(x). M queste sono tutte le primitive di f: Teorem 4.3. Se F e G sono primitive dell funzione f sull intervllo I, llor F e G differiscono per un costnte. Dimostrzione. Inftti F (x) = G (x) = f(x) per ogni x in I. Quindi F (x) G(x) è un funzione con derivt null sull intervllo I. M llor per un conseguenz del Teorem di Lgrnge, F (x) G(x) è costnte in I; il che vuol dire che esiste un costnte k in R tle che F (x) = G(x) + k per ogni x in I. Spesso nell (4.) si omettono le prentesi grffe e si scrive più semplicemente f(x) dx = F (x) + k, k R,

7 4. I teoremi fondmentli 59 dove F è un qulche primitiv fisst di f. ZEsempio 4.4. Clcolre un primitiv di x; clcolre quell primitiv che si nnull in ; infine, clcolre 3 x dx. Abbimo ppen consttto che x è un primitiv di x; dovrebbe essere fcile convenire che x / è un primitiv di x. Quindi tutte le primitive di x sono x dx = x + k k R. Quell prticolre primitiv F tle che F () = srà quindi di questo tipo; bst trovre il vlore di k: occorre che = / + k, quindi F (x) = x. Notimo infine che, per il Teorem fondmentle, nche I f (x) = x t dt è un primitiv di f(x) = x. M llor nche I f srà del tipo x + k per un opportum costnte k. Siccome I f () =, deve risultre = I f () = + k, quindi k =. Ne deriv che I f (x) = x. In prticolre per x = 3 3 t dt = I f (3) = 9 = 5. Il rgionmento del precedente esempio h vlidità generle: ecco un fcile regol di clcolo per b f(x) dx un volt che si conosc un primitiv rbitrri F di f. Teorem 4.5. Si f un funzione continu sull intervllo [, b] e si F un su primitiv. Allor b f(x) dx = F (b) F (). Dimostrzione. Siccome F e I f sono entrmbe primitive di f, llor esse differiscono per per un costnte k, ovvero (4.) I f (x) + k = F (x). Siccome I f () =, per x = vremo che k = F (). Per x = b nell formul (4.) vremo invece I f (b) + k = F (b). M llor I f (b) = b f(x) dx = F (b) k = F (b) F (). Spesso nelle ppliczioni risult comodo indicre l differenz F (b) F () medinte il simbolo b F (x) = F (b) F ().

8 6 Cpitolo 4 ZEsempio 4.6. Clcolre x3 dx. Un primitiv di x 3 è x4 4. Pertnto x 3 dx = x4 4 = = 4. Vist l importnz di sper costruire primitive di funzioni, nell prossim sezione proponimo lcuni metodi per poterle clcolre bbstnz gevolmente. 3. Clcolo di primitive Anticipimo subito che non ci sono regole generli per clcolre primitive, trnne per clssi di funzioni prticolri. Il punto di prtenz sono le primitive fondmentli del prossimo esempio e/o dell tbell. ZEsempio 4.7. i) Un primitiv di f(x) = su R è l funzione F (x) = x; tutte le primitive sono quindi dell form x + k, per un qulche k rele. ii) Si n =,,.... Un primitiv di f(x) = x n su R è l funzione F (x) = xn+ n+ primitive sono quindi dell form x n+ n + + k, per un qulche k rele. ; tutte le iii) Un primitiv di f(x) = su I = (, + ) è F (x) = log x. Tutte le primitive di f su x (, + ) sono quindi dell form log x + k, per un qulche k rele. iv) Un primitiv di f(x) = su J = (, ) è F (x) = log( x). Tutte le primitive di f x su (, ) sono quindi dell form log( x) + k, per un qulche k rele. È uso comune dire che l generic primitiv di è dell form log x + k, trlscindo di x specificre qule intervllo si sti considerndo. Più corretto srebbe scrivere { x dx = log x + k x > log( x) + k x <, con k, k R.

9 4.3 Clcolo di primitive 6 Tbell. Primitive delle funzioni elementri f(x) f(x) dx x α α x α + xα+ + k log x + k +x rctg x + k x rcsin x + k e x sin x cos x cos x sin x e x + k cos x + k sin x + k tg x + k cotg x + k Introducimo or lcune regole per poter utilizzre e combinre le primitive già note. Proposizione 4.8 (Linerità dell integrle). Sino f e g funzioni continue su un intervllo I e si un numero rele. Allor per ogni x in I (f(x) ) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx f(x) dx = f(x) dx. Dimostrzione. L verific è molto semplice: se F (x) è un primitiv di f(x) e G(x) è un primitiv di g(x), llor F (x) + G(x) è un primitiv di f(x) + g(x), per l regol di derivzione dell somm di due funzioni: (F (x) + G(x)) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x). Anlogmente, per l regol di derivzione di un prodotto per un costnte si h (F (x)) = F (x) = f(x). ZEsempio 4.9. Clcolre primitive di f(x) = x 4 5x.

10 6 Cpitolo 4 Per l linerità dell integrle (x 4 5x) dx = x 4 dx 5 x dx = x4 4 5x + k, l vrire di k in R. Proposizione 4. (Integrzione per prti). Sino f, g C (I), I intervllo; llor f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx x I e per ogni [, b] I si h b f(x) g (x) dx = f(x) g(x) b b f (x) g(x) dx x I. Dimostrzione. L prim formul segue notndo che l derivt del secondo membro è l funzione integrnd l primo membro. Inftti, dll regol di derivzione del prodotto di due funzioni ottenimo ( f(x) g(x) f (x) g(x) dx) = f (x) g(x) + f(x) g (x) f (x) g(x) = f(x) g (x). L second formul è dirett ppliczione del teorem 4.5. ZEsempio 4.. Clcolre ) x e x dx b) 6 5 log x dx c) x log x dx d) e x sin x dx. ) Si usi integrzione per prti con f(x) = x e g (x) = e x. Si ottiene x e x dx = x e x e x dx = x e x e x + k, l vrire di k in R. b) Si usi integrzione per prti con f(x) = log x e g (x) =. 6 5 log x dx = x log x x dx = 6 log 6 5 log 5 dx = 6 log 6 5 log 5 x 5

11 4.3 Clcolo di primitive 63 c) Si usi integrzione per prti due volte. L prim volt con f(x) = log x e g (x) = x. L second volt con f(x) = log x e g (x) = x. x log x dx = x log x x ( log x x ) dx = x log x x log x dx = x log x x log x + x dx x l vrire di k in R. = x log x x log x + x 4 + k, d) Si usi integrzione per prti due volte. L prim volt con f(x) = sin x e g (x) = e x. L second volt con f(x) = cos x e g (x) = e x. e x sin x dx = e x sin x e x cos x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx. M llor, meno di un costnte k, e x sin x dx = e x sin x e x cos x + k quindi, meno di un costnte c, e x sin x dx = (ex sin x e x cos x) + c. Teorem 4. (Integrzione per sostituzione). Sino I, J intervlli, f continu in I e ϕ : J I di clsse C (J); llor f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(y) dy. y=ϕ(x) Quindi per ogni [, b] J si h b f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f(y) dy. Dimostrzione. L prim formul segue notndo che l derivt del secondo membro è l funzione integrnd l primo membro. Dobbimo controllre che: se F è un primitiv di f, llor F (ϕ(x)) è un primitiv di f(ϕ(x)) ϕ (x). Dll regol di derivzione dell compost di due funzioni ottenimo (F (ϕ(x))) = F (ϕ(x)) ϕ (x) = f(ϕ(x)) ϕ (x).

12 64 Cpitolo 4 L presenz del simbolo dx consente di rendere un po più utomtic l sostituzione in un integrle. In prtic, si pone y = ϕ(x), si scrive dy/dx = ϕ (x) e quindi (come se fosse un vero quoziente) dy = ϕ (x) dx. ZEsempio 4.3. Clcolre ) e 3x dx b) π/4 sin x dx c) cos x x x + dx. ) Per sostituzione, si pong y = 3x d cui x = y/3 e quindi dx = dy/3. Si ottiene quindi e 3x dx = e y dy 3 = 3 ey + c = 3 e3x + c, l vrire di c R. b) Per sostituzione, si pong y = cos x e quindi dy = sin x dx. Si noti che, se x vri tr e π/4 llor y vri tr e /. Quindi π/4 sin x / cos x dx = / y dy = log y = log. c) Per sostituzione, si pong y = x + e quindi dy = x dx. Allor x x + dx = dy y = log y + c = log(x + ) + c, l vrire di c R. Più in generle, verificte che se f(x) è un funzione di clsse C e mi null sull intervllo I, llor f (x) dx = log f(x) + c c R x I. f(x) ZEsempio 4.4. Clcolre ) dx b) x 7x + 6 dx c) x + x + 4 x (x + ) dx. Il metodo consiste nel decomporre l funzione in funzioni rzionli più semplici, in bse lle eventuli rdici del denomintore. Con il termine funzioni rzionli semplici intendimo funzioni d esempio dei tipi: i) x+ con R (un primitiv è log x + ); ii) (x+) n con R, n {, 3,...} (un primitiv è (x+) n+ n+ ); iii) x + (un primitiv è rctg x);

13 4.3 Clcolo di primitive 65 iv) x con n {, 3,...} (un primitiv è (x +) n+ ); (x +) n ( n+) v) (x +) n con n {, 3,...} (per un primitiv rimndimo l testo []). Un ftto importnte è che ogni funzione rzionle si può decomporre nell somm di un polinomio più un combinzione linere di funzioni dei tipi sopr citti o che si riconducono questi tipi trmite semplici sostituzioni. Vedimo negli esempi come ottenere questo obiettivo. Il punto di prtenz sono le rdici del denomintore. Nel cso ), x 7x+6 è un polinomio di grdo due con esttmente due rdici (di molteplicità uno): e 6. Allor x 7x + 6 = (x 6)(x ). Cerchimo A, B R in modo che Siccome x 7x + 6 = (x 6)(x ) = A x 6 + B x. A + B = A(x )+B(x 6) x 6 x (x 6)(x ) Quindi A = /5 e B = /5 e x 7x + 6 dx = 5 x 6 dx 5, questi numeri A, B devono verificre A(x ) + B(x 6) = x R. x dx = 5 log x 6 log x + k, 5 l vrire di k in R. Si ricordi che quest formul h senso in un intervllo, che non contiene i punti, 6. Quindi d esempio nell intervllo (, 6) x 7x + 6 dx = 5 log(6 x) log(x ) + k, 5 l vrire di k in R. b) Il polinomio di grdo due x + x + 4 non h rdici reli. Possimo però scrivere ( ) ( x + x + 4 = (x + ) + 3 = 3 (x+) ( ) ) x+ + = Quindi, ponendo y = x+ 3, ottenimo dx = 3 dy e x + x + 4 dx = ( ( ) ) dx = x l vrire di k in R. 3 3 y + dy = 3 rctg y + k = ( ) 3 rctg x k, c) Il polinomio di grdo tre x (x+) h due rdici reli: e quest ultim con molteplicità doppi. Provimo determinre A, B, C R in modo che x (x + ) = A x + B x + C x +.

14 66 Cpitolo 4 Con semplici clcoli, ci ccorgimo che A, B, C devono soddisfre Ax(x + ) + B(x + ) + Cx =, quindi A =, B =, C =. D cui x (x + ) dx = x dx + x dx + x + dx = log x + log x + + k, x l vrire di k in R. ZEsempio 4.5. Un esercizio importnte è il seguente. Clcolre x dx. x L esercizio è immedito qundo si consideri il grfico di x : si trtt di sommre le ree di due tringoli, uno di bse 3 e ltezz 3, l ltro di bse e ltezz. Quindi l integrle proposto vle 5. Volendo invece trovre un primitiv di x sull intervllo [, ], possimo procedere in questo modo (che si dtt tutte le funzioni del tipo f(x) ). Notimo che { { x x x x = quindi x dx = x + c x x + x < x + x + c x <, dove c e c vnno scelti in modo che l funzione destr risulti derivbile in tutti i punti (quindi nche continu in ). Questo ccde se c = + c, ossi se c = c. Allor { { x x dx = x + c x x x + x + c x <, = c + x x x + x x <, L integrle proposto vle quindi ( ) x x dx = x x= x + x x= = ( ) = 4. Si potev nche procedere scrivendo x dx = ( x) dx + (x ) dx Il metodo dei trpezi Il Teorem fondmentle fferm in prticolre che se f è un funzione continu, llor ess mmette sempre primitiv. Tuttvi non è sempre fcile né sempre possibile esprimere tle primitiv in termini di funzioni elementri.

15 4.4 Il metodo dei trpezi 67 Ad esempio si dimostr che le funzioni e x, sin x x, e x x,... non hnno primitive esprimibili trmite funzioni elementri. Si può trovre un vlore pprossimto dell integrle definito b f(x) dx usndo un somm superiore (oppure un somm inferiore) reltive un cert prtizione. In tl modo pprossimimo l funzione f su ciscun intervllo individuto dll prtizione con il suo vlore mssimo (oppure con il suo vlore minimo). Un risultto più soddisfcente si ottiene pprossimndo f trmite spezzte. consiste il metodo dei trpezi, che or descrivimo. In questo Dividimo il segmento [, b] in N prti uguli, ciscun di mpiezz h = (b )/N; questo vuol dire che sceglimo un prtizione dell intervllo [, b] dell form (4.3) = x < x <... < x N = b con x i = + ih e h = b N. f(x) spezzt Dividimo quindi l regione di pino compres sotto il grfico di f in N strisce, sempre di mpiezz h. Approssimimo quindi l re di ciscun di queste strisce medinte quell del trpezio corrispondente. In figur l situzione prendendo N = 4 sottointervlli dell intervllo [, b]. x = x x x 3 x 4 = b In formule, nell strisci compres tr x i e x i+ pprossimimo il grfico dell funzione con quello dell rett pssnte per i punti (x i, f(x i )) e (x i+, f(x i+ )). Ottenimo quindi un trpezio, l cui re è dt d semisomm delle bsi per ltezz, quindi d: ( f(xi ) + f(x i+ ) ) h L somm delle ree di questi trpezi fornisce l pprossimzione dell integrle definito che stimo cercndo. h N ( f(xi ) + f(x i+ ) ) i= Nell mggior prte dei csi, l stim miglior l crescere di N: notimo che su ciscun intervllo bbimo sostituito ll funzione il polinomio interpolnte pssnti per gli estremi, ossi bbimo sostituito nell i-esimo intervllo l funzione con il polinomio P i di grdo.

16 68 Cpitolo 4 Qunto vle l errore? b f(x) dx = = N xi+ i= x i N xi+ = h i= N i= f(x) dx x i P i (x) dx + N i= xi+ (f( + ih) + f( + (i + )h)) + x i (f(x) P i (x)) dx N i= xi+ x i (f(x) P i (x)) dx D ltr prte per il teorem.4 su ciscun intervllo (x i, x i+ ) l errore f(x) P i (x) si controll con l derivt second dell funzione f per il polinomio di grdo due dto d (x x i)(x i+ x i ): N xi+ N (f(x) P i (x)) dx xi+ f(x) P i (x) dx i= x i i= x i mx{ f (t) : t [, b]} N i= xi+ x i (x x i )(x i+ x) dx. Con l sostituzione t = x x i e ricordndo dll (4.3) che x i+ = x i + h, scoprimo che gli integrli dell formul precedente sono tutti uguli e vlgono xi+ x i (x x i )(x i+ x) dx = h t(h t) dt = = h t t3 3 h h (ht t ) dt = h3 h3 3 = h3 6. Quindi, ricordndo le relzioni (4.3) N xi+ (f(x) P i (x)) dx N h3 mx{ f (t) : t [, b]} Rissumendo: i= x i = (b )3 N mx{ f (t) : t [, b]}. Teorem 4.6. Si f : [, b] R un funzione di clsse C, N un numero nturle positivo, h = (b )/N. Allor nel senso che b f(x) dx h b N i= f(x) dx h N i= (f( + ih) + f( + (i + )h)) (f( + ih) + f( + (i + )h)), (b )3 N mx{ f (t) : t [, b]}.

17 4.4 Il metodo dei trpezi 69 ZEsempio 4.7. Usimo il metodo dei trpezi per pprossimre l integrle definito ex dx. In modo grossolno, dividimo l intervllo [, ] in d esempio N = sottointervlli, ciscuno di mpiezz h = / =.. Usndo un foglio di Mple, possimo scrivere d esempio > n:=::=:b:=: > h:=(b-)/n: > f:=x->exp(x): > int_ppr:=: for j from to n- do int_ppr:=int_ppr+h*(f(+j*h)+f(+(j+)*h))/: od: int_ppr; Mple risponde con il risultto + e/ + e/5 + e3/ + e/5 + e/ + e3/5 + e 7 + e4/5 + e 9 + e Per ottenere il risultto in formto virgol mobile scrivimo convert(%,flot); e ottenimo il risultto cercto: il vlore pprossimto dell integrle risult Confrontimo l nostr pprossimzione con il vero vlore dell integrle, che in questo cso è semplice d clcolre: e. L errore commesso è quindi: e (cioè circ.43663); il risultto è molto buono, considerto che bbimo usto solo N = sottointervlli. Più significtivo è cpire priori in qunti intervlli vremmo dovuto suddividere [, ] per ottenere un vlore pprossimto, d esempio meno di 3. Siccome l derivt second dell funzione e x è l funzione stess, sull intervllo [, ], tle derivt second l mssimo vle e < 3. Se sceglimo N sottointervlli l errore si può quindi controllre con 3 N = 4 N. Il problem è determinre N in modo che questo errore si minore dell precisione scelt, in questo cso 3. Risult < 3 se N > 5, quindi potremmo scegliere d esempio 4 N N = 6.

18 7 Cpitolo 4 ZEsempio 4.8. Approssimre log(x + ) dx meno di 5. f(x) spezzt Il metodo dei trpezi fornisce un stim ccurt, purché l funzione non bbi ccelerzioni e decelerzioni troppo brusche. Nell esempio dell figur ccnto, l funzione f(x) = sin(/x) nell intervllo [.,.85]. Si sono scelti n = 5 sottointervlli (h =.5). Pur vendo scelto sottointervlli molto piccoli, l spezzt non pprossim bene l funzione nel primo sottointervllo. Possimo controllre che l derivt second di quest funzione è molto gross vicino zero. Si f(x) = log(x + ). Allor f (x) = x (+x ) + x, x 3, ottenimo f (x) 3 4 = 3 e, siccome sull intervllo [, ] vlgono x [, ]. (In reltà si potrebbe notre dllo studio del grfico di f che f (x) /4, m occorrerebbero troppi conti). Quindi per ottenere un stim meno di 5 dobbimo dividere l intervllo [, ] in N sottointervlli con N tle che (b ) 3 mx{ f (t) : t [, b]} < 5 in questo cso N quindi d esempio N = 5 (m bsterebbe N = ). ( ) 3 N 3 < 5, Con Mple scrivimo un file che implementi il metodo dei trpezi, fcendo clcolre il numero di intervlli necessri con un ciclo while inizile. > f:=x->log(x^+): > :=: b:=: > prec=^(-5): # precisione > Mx=3/: # stim dell derivt second, che potremmo migliorre usndo > plot(d(d(f)),..b); > N:=; # clcolo numero intervlli necessri con ciclo while > while ((b-)^3)*mx/(*( n^))>= prec do n:=n+: od: n; > h:=(b-)/n: # psso > int_ppr:=: # inizilizzzione vlore pprossimto > for j from to n- do int_ppr:=int_ppr+h*(f(+j*h)+f(+(j+)*h))/:

19 4.5 Integrli impropri 7 od: > convert(int_ppr,flot); In rispost ottenimo e il vlore richiesto è quindi circ Integrli impropri Supponimo di dover studire l funzione integrle F (x) = x e t t + dt. L interesse risiede nel ftto che l funzione integrnd non h primitive esprimibili in form elementre, quindi stimo effettivmente studindo un nuov funzione. L funzione integrnd f(t) = et è definit se t e ivi continu. In prticolre risult t+ quindi integrbile su ogni intervllo contenuto in R\{ }. Allor, se e x sono gli estremi di un intervllo contenuto in R \ { }, h senso clcolre l integrle dell formul che definisce F (x). Ossi se x è in (, + ), possimo ssegnre un vlore F (x), quindi il dominio di F (x) contiene l intervllo (, + ). A questo punto, possimo clcolre i limiti gli estremi di questo intervllo. Questo ci port considerre (idelmente) l integrle di f sull intervllo illimitto [, + ) oppure l integrle di f sull intervllo (, ] che è limitto, m f non è limitt su (, ]. Le domnde che ci ponimo sono: sppimo clcolre questi limiti? Se no, sppimo lmeno stbilire se esistono e se sono finiti? L integrle improprio, che introducimo in quest sezione, è un estensione dell integrle usule nei csi in cui ci si trovi integrre in qulche senso su un intervllo illimitto oppure un funzione ilimitt su un intervllo limitto. Trtteremo in dettglio il cso dell intervllo illimitto; riportimo le principli considerzioni per il cso di funzione non limitt su intervllo limitto. 5.. Cso intervllo illimitto. Si f un funzione integrbile su ogni intervllo limitto contenuto in [, + ); d esempio si f continu sull intervllo [, + ). Allor per ogni b in [, + ) h senso clcolre b f(x) dx. Definizione 4.3. Si dice che f è integrbile in senso improprio su [, + ) se esiste finito il b lim b + f(x) dx. In tl cso si dice che l integrle è convergente e si pone + f(x) dx = lim b + b f(x) dx.

20 7 Cpitolo 4 Nel cso il limite risulti + [rispettivmente ] si dice che l integrle improprio diverge + [rispettivmente ]. In tutti gli ltri csi dicimo semplicemente che l integrle improprio non converge. Anlogo è il cso in cui si considerno funzioni continue su semiintervlli infiniti sinistr (del tipo (, b]): si pone, qundo il limite destr esiste finito b f(x) dx = lim b f(x) dx. Infine si dice che + f(x) dx è convergente se sono seprtmente convergenti f(x) dx e + f(x) dx. Si pone + f(x) dx = f(x) dx + + f(x) dx. ZEsempio 4.9. Dire se sono convergenti ed eventulmente clcolre i seguenti integrli: ) + e x dx b) + dx > c) x + sin x dx. ) Un primitiv di e x è l funzione e x. Pertnto b b e x dx = lim lim b + b + e x = lim b + ( e b + ) =. Questo vuol dire che l integrle improprio in ) è convergente e vle. b) Se un primitiv di /x è x + /( + ); se = invece un primitiv è log x. Quindi x b + x dx = + b b se + se + = log x b se = log b se = Nel cso =, pssndo l limite per b tendente infinito ottenimo che l integrle impropio è divergente +. Lo stesso succede se < <. Invece se > l integrle improprio risult convergente (e vle /( )). Rissumendo + x dx { è convergente se > è divergente se <. c) Un primitiv di sin x è cos x. Pertnto b sin x dx = cos x b = cos b +. Poiché lim b + cos b non esiste, l integrle improprio proposto non è convergente.

21 4.5 Integrli impropri 73 Nell mggior prte dei csi interess stbilire se un integrle improprio dto risult convergente o divergente o non convergente e eventulmente fornire un pprossimzione del suo vlore. Gli integrli impropri di funzioni non negtive (o non positive) sono più fcili d trttre. Inftti se f(x) e b b, llor b f(x) dx b f(x) dx, ovvero l funzione integrle risult crescente. b b b Per il teorem sul limite delle funzioni monotone il lim b + f(x) dx esiste sempre e può essere finito (integrle convergente) oppure + (integrle divergente). In ltre prole, non cpit mi qunto visto nell esempio c). Un criterio bsilre per stbilire l convergenz o divergenz è il seguente. Teorem 4. (Teorem del confronto). Sino f e g funzioni continue sull intervllo [, + ) con f(x) g(x) per ogni x in [, + ). i) Se + g(x) dx è convergente, llor nche + f(x) dx è convergente. ii) Se + f(x) dx è divergente, llor nche + g(x) dx è divergente. g(x) f(x) L spiegzione del teorem è fcilmente illustrt nell figur ccnto: se l re dell regione più grnde è finit, mggior rgione è finit l re dell regione più piccol; vicevers, se l re dell regione più piccol è infinit, mggior rgione risult infinit quell dell regione più grnde. Più formlmente: Dimostrzione. Supponimo che vlg i). Siccome f è non negtiv, lim b + b f(x) dx esiste. Dobbimo stbilire se è finito oppure no.

22 74 Cpitolo 4 Per l ipotesi f(x) g(x) per ogni x in [, + ) e l monotoni dell integrle definito, per ogni b vle b f(x) dx Per il teorem del confronto dei limiti si h lim b + b f(x) dx lim b + b b g(x) dx. g(x) dx = + g(x) dx. b Supponimo che vlg ii). Siccome g è non negtiv, lim b + g(x) dx esiste. Dobbimo stbilire se è finito oppure no. Per l ipotesi f(x) g(x) per ogni x in [, + ) e l monotoni dell integrle definito, per ogni b vle b f(x) dx Per il teorem del confronto dei limiti si h + = lim b + b b g(x) dx. f(x) dx lim b + b g(x) dx. Si noti che nel Teorem 4. (del confronto) non è necessrio che l mggiorzione f(x) g(x) vlg su tutto l intervllo [, + ), m è sufficiente che vlg d un certo punto in poi. Inftti se f è un funzione continu sull intervllo [, + ) e < c, vle: f(x) dx convergente se e solo se + f(x) dx è convergente e + f(x) dx = c f(x) dx+ + f(x) dx. c Il criterio ppen enuncito ci permette di concludere qulcos nche per funzioni non necessrimente non negtive: + c Corollrio 4.. Si f un funzione continu sull intervllo [, + ). Se + convergente, nche + f(x) dx è convergente. f(x) dx è Dimostrzione. Indichimo con f + l prte positiv di f e con f l prte negtiv, in modo che f = f + f. In formule { { f + f(x) se f(x) (x) = f f(x) se f(x) (x) = ltrimenti ltrimenti Nelle figure seguenti potete confrontre f(x) con f(x), f + (x) e f (x).

23 4.5 Integrli impropri 75 5 f(x) 5 f(x) f + (x) f (x) L prte positiv f + e l prte negtiv f di f sono funzioni non negtive ed entrmbe più b piccole di f(x). M llor esistono finiti lim b + f + b (x) dx e lim b + f (x) dx. Ne segue che esiste finito lim b + b f(x) dx = lim b + b f + (x) dx lim b + b f (x) dx. In sintesi, per studire l convergenz di un integrle improprio, bst sper confrontre l funzione dt con funzioni di cui è noto il comportmento dell integrle improprio, come le funzioni dell esempio 4.9 ) e b). Si può fcilmente verificre che d un certo punto in poi f(x) si comport come /x clcolndo l ordine di infinitesimo di f(x) (o un limite) per x +. Corollrio 4.. Si f un funzione continu su [c, + ). i) Se per un qulche > risult lim x + x f(x) = l R, llor + f(x) dx è c convergente. ii) Se f(x) e per un qulche con < risult lim x + x f(x) = l R\{}, llor + f(x) dx è divergente. c

24 76 Cpitolo 4 L spiegzione di questo criterio è contenut nell definizione di limite. Ne deducimo che se, per x +, l funzione f è un infinitesimo di ordine α con α >, llor + f(x) dx è convergente. Se f(x) e se, per x +, l funzione f è un c infinitesimo di ordine α con α, llor + f(x) dx è divergente. c ZEsempio 4.3. Lo scopo di questo esempio è mostrre che null si può concludere nel cso =, l = (che corrisponde dire f infinitesim, per x +, di ordine non ben precisto mggiore di uno). Vlutre l convergenz degli integrli impropri + x log x dx Si noti che le funzioni e x log x x log x l =. e + Medinte l sostituzione y = log x, dy = dx/x, ottenimo lim b + lim b + b b x log x dx. entrmbe soddisfno le ipotesi del criterio con =, dx = lim x log x b + x log dx = lim x b + log b log log b log dy = + y y dy = log, ossi il primo integrle è divergente e il secondo è invece convergente. ZEsempio 4.4. ) + 5 per ogni, in prticolre per =. b) + x log ( x+ x dx è convergente. Inftti, si h e x x + lim = x + e x x+) dx è convergente. Inftti per >, ( ) x x + lim x + x log = lim x + x + e, usndo l regol dell Hôpitl, lim x + x+ x+ ( ) x+ (x+) (x+) = lim ( ) x x + log ( ) x+ x+ x x ( )(x + )(x + ) e quest ultimo limite vle per = (per > viene, per < < viene ). ZEsempio 4.5. Lo scopo di questo esempio è mostrre che un integrle improprio può essere convergente senz che l funzione integrnd si infinitesim (il limite potrebbe non esistere, come in questo cso). Verificre che + π /4 sin(x ) dx è convergente.

25 4.5 Integrli impropri 77 Utilizzimo innnzi tutto l sostituzione t = x e dopo integrimo per prti. Ottenimo: + π /4 b sin(x ) dx = lim b + ( = lim b + ( π /4 sin(x ) dx = lim cos(t) t b π/ 4 b + b π/ b b π/ cos(t) t 3/ = lim cos( b) b + 4 cos(t) b 4 π/ t 3/ b = lim cos(t) dt = b + 4 π/ t 3/ 4 sin(t) t dt ) dt + π/ dt ) cos(t) t 3/ e l ultimo integrle scritto è convergente, perché vle l i) del Corollrio 4. con = 3/. Rispetto ll funzione sin x (dell esempio 4.9 c), integrle improprio non convergente), l funzione sin x present oscillzioni più veloci ed è questo che le permette di vere integrle improprio convergente. ZEsempio 4.6. Scopo di questo esercizio è mostrre che può ccdere che + f(x) dx si divergente m + f(x) dx si convergente (ovvimente f non vrà segno costnte). Possimo scegliere l funzione dell esempio precedente: f(x) = sin(x ). Abbimo visto che + sin(x ) dx è convergente. Mostrimo or che + sin(x ) dx non è convergente, quindi, π π siccome sin(x ), l integrle srà divergente. Per ogni numero nturle N si h, con l sostituzione t = x, N π π sin(x ) dx = Nπ Ancor, siccome l integrnd è non negtiv, N π π sin(x ) dx N k= π kπ+3π/4 kπ+π/4 sin(t) dt = t Infine, siccome l funzione / t è decrescente, N π sin(x ) dx 4 π N k= sin(t) dt t N k= π (k+)π kπ N k= 4 kπ + 3π/4. dt sin(t) dt. t kπ+3π/4 kπ+π/4 t dt. Se N +, l serie che ottenimo secondo membro è divergente, quindi per confronto N π π sin(x ) dx + e l integrle proposto non può convergere. ZEsempio 4.7. Dire se converge ed in cso ffermtivo pprossimre meno di / l integrle improprio + e x dx. L integrle improprio è convergente, perché e x e x x e, come visto nell esempio 4.9 ) l integrle improprio + e x dx è convergente.

26 78 Cpitolo 4 Cerchimo or di stimre l integrle improprio di prtenz. Innnzi tutto, se un integrle improprio + f(x) dx è convergente, llor d un certo punto M in poi + f(x) dx è molto piccolo. Dividimo in due prti l intervllo [, + ), ossi M per un certo M d determinre [, + ) = [, M] [M, + )..8.6 e x e x Si vrà + e x dx = M e x dx + + M e x dx Stimimo seprtmente ciscun integrle secondo membro meno di /. Sommndo le due stime, otterremo un stim dell integrle cercto, in cui l errore è minore dell somm dei due errori, cioè /, come richiesto. Inizimo dl secondo integrle. Se M è grnde, il secondo integrle srà molto piccolo e quindi trscurbile; precismente si h che + M e x dx + M e x dx = e M < per M = 6. Quindi ci rest d pprossimre 6 e x dx meno di /. Possimo frlo con il metodo dei trpezi o con le serie di Tylor. L errore nell pprossimzione dei trpezi si controll con il Teorem Si f(x) = e x. Dl grfico di f (x) ottenimo che f (x) su [, b] = [, 6], quindi dobbimo prendere N in modo che b N mx f (x) ossi N 6 (d esempio N = e quindi h =.5). Utilizzndo il metodo dei trpezi ottenimo Oppure usndo le serie di Tylor: è noto che ( x ) n e x = n! n=

27 4.5 Integrli impropri 79 e che l convergenz è uniforme su ogni intervllo limitto. Allor 6 6 ( x ) n 6 ( ) n e x dx = dx = x n ( ) n 6 n+ dx = n! n! n! n +. n= n= L ultim serie si stim con un opportun ridott, come spiegto nel cpitolo sulle serie numeriche d esempio nel Teorem di Leibniz.4 (97 termini). Concludendo: bbimo + e x dx meno di / 6 dx.88 meno di / 6 e x quindi + e x dx +.88 =.88 meno di /. Il prossimo nno ttrverso integrli doppi, clcoleremo esplicitmente questo integrle e mostreremo che + e x dx = π. 4 n= 5.. Cso intervllo limitto. Si f un funzione continu sull intervllo [, c), m non limitt. Allor per ogni b in [, c) h senso clcolre b f(x) dx. Definizione 4.4. Si dice che f è integrbile in senso improprio su [, c) se esiste finito il lim b c f(x) dx. In tl cso si dice che l integrle è convergente e si pone b c f(x) dx = lim b c b f(x) dx. Nel cso il limite risulti + [rispettivmente ] si dice che l integrle improprio diverge + [rispettivmente ]. In tutti gli ltri csi dicimo semplicemente che l integrle improprio non converge. Anlogo è il cso in cui si considerno funzioni continue m non limitte su intervlli perti sinistr (del tipo (c, b]): si pone, qundo il limite destr esiste finito b c f(x) dx = lim c + b f(x) dx. Infine, supponimo che f si un funzione continu m non limitt sull intervllo I (limitto oppure non limitto) che poss essere diviso in un numero finito di sottointervlli I,..., I m tli che: o I k è limitto o ltrimenti f è limitt su I k. Allor si dice che f(x) dx è convergente se sono convergenti tutti gli integrli impropri sui I vri intervlli I k per ogni k =,..., m. Si pone f(x) dx = m I k= I k f(x) dx. ZEsempio 4.8. Dire se sono convergenti ed eventulmente clcolre dx, l vrire di x >.

28 8 Cpitolo 4 Le funzioni /x non sono limitte per x +. Si trtt dunque di integrli impropri. Se un primitiv di /x è x + /( + ); se = invece un primitiv è log x. Quindi x + ε x dx = + ε se + se + ε = log x ε se = log ε se = Nel cso =, pssndo l limite per ε tendente + ottenimo che l integrle impropio è divergente +. Lo stesso succede se >. Invece se < < l integrle impropio risult convergente (e vle /( )). Rissumendo x dx { è convergente se < < è divergente se. f(x) g(x) Considerzioni nloghe quelle svolte nell sezione precedente mostrno che le opportune vrizioni del Teorem 4. del confronto e successivo Corollrio 4. sono ncor vlide. L figur ccnto dovrebbe iutre scrivere tli vrizioni. c b All luce dell esempio ppen svolto, il Corollrio 4. divent Corollrio 4.9. Si f un funzione continu sull intervllo [b, c) m ivi illimitt. i) Se per un qulche, < < risult lim x c (c x) f(x) = l R, llor c f(x) dx è convergente. b ii) Se f(x) e per un qulche con risult lim x c (c x) f(x) = l R \ {}, llor c f(x) dx è divergente. b ZEsempio 4.3. Studire il grfico dell funzione integrle F (x) = x log t (t + ) 3 dt. L unico punto delicto è il dominio dell funzione integrle. Ovvimente possimo ssegnre log t un vlore F (x) qundo l funzione è integrbile sull intervllo [, x] (oppure [x, ]), m (t+) 3 possimo nche ssegnre un vlore qundo l integrle è un integrle improprio convergente.

29 4.5 Integrli impropri 8 log t (t+) 3 In questo cso, l funzione integrnd f(t) = è definit e continu su (, ) (, ) (, ). Siccome il punto bse è, llor possimo dire che (, ) è senz ltro contenuto nel dominio di F. Tuttvi il dominio può essere più grnde. Ci chiedimo inizilmente se è nel dominio di F. Questo ccde se e solo se l integrle log t log t dt è convergente. Siccome lim (t+) 3 t = di ordine più piccolo di ogni potenz, (t+) 3 llor l integrle f(t) dt è convergente e st nel dominio di F. Se poi prendimo x in (, ), possimo scrivere F (x) = x log t (t + ) dt = 3 log t x (t + ) dt + 3 log t (t + ) 3 dt e ciscuno degli integrli sopr scritti è convergente. Quindi (, ) è contenuto nel dominio di F. Ci chiedimo or se nche è nel dominio di F. Questo mmont chiedersi se è convergente. Siccome lim t log t (t+) 3 log t (t+) 3 dt = di ordine, llor l integrle f(t) dt non è convergente e non st nel dominio di F. A questo punto, per l dditività dell integrle, non vrà senso chiedersi se punti minori di stnno nel dominio di F. Quindi dom F = (, ). Clcolimo or i limiti gli estremi del dominio. Siccome log t = e tenendo conto dell orientmento dell intervllo, lim t + (t+) 3 x lim f(t) dt = +. t + Ci chiedimo or cos succede del lim x + F (x). L domnd equivle clcolre o lmeno chiedersi se esite finito l integrle improprio + f(t) dt. Siccome lim f(t) dt = t + di ordine mggiore di, possimo dire che l integrle improprio + f(t) dt è convergente, ossi lim F (x) x + esiste finito. Infine, per il teorem 4., l funzione integrle F risult senz ltro derivbile nei punti dove f è continu e in questi punti l derivt di F (x) è f(x). Quindi F (x) = log x x (, ) (, ) (x + ) 3 e F non è derivbile in, perché lim x F (x) =. D qui si v vnti come l solito per lo studio di intervlli di monotoni.

30 8 Cpitolo 4.5 f(t) Nell figur sinistr c è il grfico di f e destr il grfico di F. 6. Appliczioni lle serie numeriche Teorem 4.3 (Criterio integrle). Si f : [, ) R un funzione positiv e decrescente. Allor: i) l serie n= f(n) è convergente se e solo se l integrle improprio f(x) dx è convergente; ii) l serie f(n) è divergente se e solo se l integrle improprio f(x) dx è divergente. n= Dimostrzione. Usre il criterio del confronto per i limiti, ricordndo che n+ 3 4 f(x) dx n f(k) k= 3 4 n f(k) k= n f(x) dx ZEsempio 4.3. Con il criterio integrle è fcile notre che l serie rmonic generlizzt n= è convergente se e solo se lo è l integrle improprio dx e quindi, come bbimo n α x α visto nell esempio 4.9 se e solo se α >. Forse ricordte che vevmo ftto molt più ftic nell esempio.. Altri esempi sono costituiti d n log n e n log n, rispettivmente divergente e convergente per il criterio integrle e l esempio 4.3.

31 4.6 Appliczioni lle serie numeriche 83 In generle, clcolre l somm di un serie è un problem bbstnz difficile, trnne in lcuni csi prticolri (serie geometriche, telescopiche). È quindi utile sper pprossimre l somm di un serie. Supponimo di voler pprossimre n, dove n è dell form n = f(n) con f : [, ) R n= un funzione positiv, decrescente di integrle improprio f(x) dx convergente (come nel criterio integrle). Allor l serie f(n) è convergente. Desiderimo stimre l su somm n= s meno di un errore E (d esempio E = ). Inizilmente possimo pensre di troncre l somm un certo indice N, d determinre, e trttre l cod come errore. In formule: N f(n) = f(n) + f(n). n= n= }{{} ridott, s N che dà l pprossimzione Ricordndo che, come nel criterio integrle, bbimo che N+ f(x) dx s s N = s N + N+ n=n+ f(x) dx s s N + n=n+ }{{} cod, che per N opportuno deve essere<e f(n) N N f(x) dx. f(x) dx, Abbimo così determinto un intervllo di mpiezz N+ f(x) dx in cui si trov l somm N s dell serie. Se prendimo il punto medio di questo intervllo, vremo un pprossimzione s N dell somm dell serie (migliore di quell che potrebbe drci s N). Rissumendo, se ponimo s N = s N + (I N+ + I N ) llor l errore commesso è s s N (I N I N+ ). Occorre determinre N in modo che questo si minore di E (d es. ). I N = N f(x) dx s N + I N+ s N s N + I N ZEsempio Approssimre meno di 4 l somm di Usimo il trucchetto precedente. Si h I N = e l stim fornit d N s N dà un errore dell ordine di (I N I N+ ) =. Abbimo < N(N+) N(N+) 4 d esempio per N = 7. Con Mple possimo scrivere un vrizione dei comndi n=. n

32 84 Cpitolo 4 > ridott:=convert(sum(/k^,k=..7),flot); > int_infinito:=n->/n; > pprossimzione:=ridott+.5*(int_infinito(7)+int_infinito(7)); Il risultto che ottenimo è.6449, con quindi due cifre decmli estte. Notimo che il metodo ingenuo di usre solo l stim dll lto fornit dl criterio integrle ci vrebbe obbligti molte iterzioni in più: siccome si trtt di un serie termini positivi e convergente, possimo pprossimre (per difetto) l somm dell serie con un opportun ridott di ordine N. Il problem è determinre N in modo che l errore commesso si più piccolo di 4. In formule: n= n = N n= n }{{} ridott, che dà l pprossimzione + n n=n+ }{{}. resto, che per N opportuno deve essere< 4 Cerchimo llor di determinre N, in modo che il resto si minore di 4. dll lto del criterio integrle ci dice che n dx N x = N. n=n+ L stim Pertnto N dovrà essere scelto bbstnz grnde, in modo che < N 4, quindi lmeno N =.. Clcolre (x x ) dx; 3 (x + ) dx; 7. Esercizi x + 5 x 5 dx; x e x dx; xrctg x dx sin x dx; ( ) x + 3x + dx; (x ) + ; log(x + ) dx; x dx + x + ( + x ) 3/ sull intervllo (, + ) (con l sostituzione + x = y ); ( ) log(x( + x)) dx sull intervllo (, + ); x + 3 x dx (con l sostituzione x = y6 ); ( ) x 3 sin(x ) dx; x (x + ) 3 dx. e 5x dx; 4 + x dx; tg (x) dx;. Clcolre l re dell regione di pino delimitt dll sse delle scisse, dlle rette verticli x = e x = 4 e dl grfico dell funzione f(x) = x.

33 4.7 Esercizi Clcolre l medi sull intervllo [, ] dell funzione f(x) = x. 4. Clcolre l medi sull intervllo [, π] dell funzione f(x) = cos x e di g(x) = cos x. 5. Clcolre i seguenti integrli definiti e pprossimrli trmite il metodo dei trpezi meno di 4 : π 5 3 e e x sin x dx; x dx; e x + e dx; x log x dx x rcsin x dx (con l sostituzione x = sin y); (x 3 + x x ) 4 dx; ( ) log(( x)( x)) dx; 3 e x dx; π/ (con l sostituzione y = x). 6. Discutere l convergenz del seguente integrle: cos x + sin x dx; 3 3 x + x dx e, qulor converg, clcolrlo. + rctg x + x dx 7. Discutere l convergenz di + x log x log x e x e dx e 5 4 3x x dx. 8. Si Studire l convergenz di f(x) = 3 cos x log( + 5 x), f(x) x dx e + f(x) x dx. 9. Dire se le seguenti serie sono convergenti e eventulmente pprossimrne l somm meno di 5 n ; 3 n + 4 ; n n 3 n log n. n= n=. ) Dire se è convergente e in cso ffermtivo pprossimre meno di / l integrle improprio + n= e x log x dx. n=

34 86 Cpitolo 4 Trcci: si g(x) = e x log x i) Spiegre perché e x log x e x x e dedurne che... ii) Determinre b > tle che + b e x dx < /. iii) Approssimre con il metodo dei trpezi b g(x) dx meno di /. Si ricord che: dti, b R, < b, g un funzione di clsse C ([, b]) n =,,..., llor, posto h = (b )/n si h b g(x) dx h n (b )3 (g( + (i )h) + g( + ih)) < n mx{ g (x) : x [, b]}.. Si In questo cso si h i= ( ) mx{ g (x) : x [, b]}, 8 e quindi bisogn scegliere n... iv) Scrivere il vlore pprossimto così ottenuto dell integrle improprio v) Verificre l stim ( ). b) Si clcoli log x dx, x + g(x) dx = b rctg x dx. g(x) dx + + f(x) = e x +x ( ( x + ) ). b g(x) dx... ) Determinre il dominio di f e i limiti gli estremi del dominio. b) Determinre mssimi e minimi (ssoluti e reltivi) di f su tutto il dominio e di f ristrett ll intervllo [, ]. c) Determinre l immgine di f. d) Disegnre uno (o più) grfici qulittivi di f. e) Approssimre meno di 4 l integrle. Discutere, l vrire di α R +, l convergenz di: I = + Clcolre inoltre I per α = /. 3. Provre che l funzione è definit su tutto R e h infiniti zeri. e x +x dx. sin x x α ( + x) α dx e I = g(x) = cos x + e x 3 x + dt 3 + t e 3x α dx. 4. Discutere l convergenz di: + e x sin x e πx sin(πx) dx.

35 4.7 Esercizi Dire per quli α R esiste finito: + x logα (x + ) dx. 6. Clcolre 7. Studire l funzione x (x 4) dx. 8. (difficile) Si x π/4 rctn t f(x) = (4 + t)( + t) dt; (i) determinre il dominio di f, i punti critici di f e il loro tipo; (ii) dire se lim x + f(x) esiste e se è finito. 9. Dt F (x) = x [ ] e t t 8 log (t + ) dt, trovre il numero di punti in cui l tngente l grfico di F è orizzontle.