Calcolo integrale per funzioni di una variabile

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1 Cpitolo 10 Clcolo integrle per funzioni di un vribile 10.1 Funzioni primitive Abbimo studito il problem di dedurre d un dt funzione l su derivt. Voglimo or occuprci del problem inverso: dt un funzione f() in un certo intervllo A, definire in A un ltr funzione F () che bbi per derivt l f(), vle dire: F () = f(). (10.1) Se esistono funzioni F () che verificno l (10.1), esse si chimno funzioni primitive dell f() I Se l funzione f() mmette, nell intervllo A, un funzione primitiv F (), llor ne mmette infinite, che si ottengono tutte ggiungendo ll F () un costnte rbitrri c II Se l funzione f() mmette in A delle primitive, fr queste ne esiste un e un sol che, in un prefissto punto A, ssum un vlore u ssegnto d rbitrio. Si trtt or di studire sotto quli condizioni per l f() l (10.1) mmett un soluzione F () e, in cso ffermtivo, di drne un procedimento di clcolo. Questo problem, che ffrontto in tutt l su generlità comport difficoltà ssi elevte, srà studito qui nel cso prticolre in cui l funzione f() si continu. Con tle ipotesi si rriv dimostrre l esistenz delle primitive, dndo in pri tempo un metodo per clcolrle. Ciò è fondto sul concetto di integrle Integrle di un funzione continu esteso d un intervllo Si f() un funzione continu in un intervllo A. Fissto un intervllo [, b] A, si oper un decomposizione D di [, b] in un numero rbitrrio n di intervlli przili [ 0, 1 ], [ 1, 2 ],... [ n 2, n 1 ], [ n 1, n ] medinte i punti 1, 2,..., n 1 scelti sotto l sol condizione che risulti = 0 < 1 < 2 <... < n 1 < n = b. Posto δ = m( 1 0, 2 1,..., n 1 n ), tle numero positivo δ b srà chimto l norm dell composizione D. Esistono, evidentemente, infinite decomposizioni D venti un norm ssegnt δ < b. Si fissino or d rbitrio un punto ξ 0 [ 0, 1 ], un punto ξ 1 [ 1, 2 ],..., un punto 95

2 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile ξ 0 ξ ξ n n 1 n b Figur 10.1: Decomposizione dell intervllo [, b] e scelt dei punti per il clcolo dell somm integrle σ nell (10.2). ξ n 1 [ n 1, n ], come mostrto in figur 10.2, e si clcoli l somm n 1 σ = ( i+1 i )f(ξ i ) (10.2) che srà chimt somm integrle reltiv ll f() ed ll intervllo [, b]. i=0 Conviene osservre due modi prticolri di scegliere i punti ξ i. In ciscuno degli intervlli [ i, i+1 ] l f() è dott di minimo ssoluto m i e di mssimo ssoluto M i e si può scegliere in ciscun [ i, i+1 ] il punto i nel punto (o in uno dei punti) ove l f() ssume il corrispondente minimo vlore m i oppure il corrispondente mssimo vlore M i. Così fcendo si ottengono le due seguenti prticolri somme integrli n 1 n 1 s = ( i+1 i )m i, S = ( i+1 i )M i ; (10.3) i=0 confrontndole con l generic somm (10.2) è evidente che in corrispondenz dell medesim decomposizione D di [, b] risult s σ S. (10.4) Le somme integrli s, S dipendono soltnto dll decomposizione D, mentre un generic σ dipende, oltre che dll D, nche dll scelt dei punti ξ i. Non si può dire che tli somme sino funzioni dell norm δ dell decomposizione D perché, come si è già osservto, esistono infinite decomposizioni D con l medesim norm e quindi d un fissto δ corrispondono in generle infiniti vlori dell somm integrle σ (ed, in prticolre, dell s e dell S). Si può però dire che l σ è un funzione d infiniti vlori dell vribile δ, definit l vrire di δ nell intervllo [0, b ], il qule h il punto 0 come punto di ccumulzione. L definizione di limite, dt per funzioni d un sol vlore, si può immeditmente estendere funzioni più vlori dicendo che, se f() è un funzione più (eventulmente infiniti) vlori, definit in un insieme E vente 0 come punto di ccumulzione, l scrittur lim f() = l 0 signific che, fissto ε > 0, esiste un δ ε > 0 tle che, per ogni punto E che verifichi l 0 < 0 < δ ε, tutti i corrispondenti vlori f() verificno l f() l < ε. Adottndo quest estensione del concetto di limite, si dimostr il seguente risultto. i=0 96

3 10.3. Significto geometrico dell integrle 10.2.I Al tendere zero dell norm δ dell decomposizione D, l somm integrle σ tende d un limite determinto e finito l, nel senso che, ε > 0, δ ε > 0 tle che, in corrispondenz d ogni decomposizione D vente norm δ < δ ε, risult sempre σ l < ε. Il limite l di cui il 10.2.I ssicur l esistenz è un numero che dipende dll funzione continu f() e dll intervllo [, b]; esso si chim l integrle dell funzione f() esteso ll intervllo [, b] e si indic con l notzione b f() d. (10.5) Si h dunque per definizione (e col solito significto dei simboli) ed in prticolre b n 1 f() d = lim σ = lim ( i+1 i )f(ξ i ) (10.6) δ 0 δ 0 i=0 b n 1 f() d = lim s = lim ( i+1 i )m i, δ 0 δ 0 i=0 b n 1 f() d = lim S = lim ( i+1 i )M i. δ 0 δ 0 i=0 Poiché l integrle (10.5) coincide con il numero di seprzione delle due clssi {s}, {S} considerte in precedenz, si può ggiungere: 10.2.II l integrle dell funzione f() esteso ll intervllo [, b] coincide con l estremo superiore dell insieme costituito d tutte le possibili somme s e con l estremo inferiore dell insieme costituito d tutte le possibili somme S. Pertnto le somme s dnno vlori pprossimti per difetto dell integrle, le somme S ne dnno vlori pprossimti per eccesso. Circ il clcolo effettivo dell integrle (10.5) possimo dire per or che, in ogni cso, se ne possono ottenere vlori comunque pprossimti per mezzo delle somme integrli σ, s, S clcolte in corrispondenz decomposizioni di [, b] in intervlli przili molto piccoli. Dllo sviluppo dell teori risulternno però ltri metodi più rpidi Significto geometrico dell integrle All integrle di un funzione continu f() esteso d un intervllo [, b] si può dre un notevole significto geometrico qundo si suppong che nell intervllo [, b] si bbi sempre f() 0. Costruito il grfico dell funzione (situto nel semipino y 0), si può considerre l insieme pino T = {(, y) b, 0 y f()}, cioè l regione limitt dll sse, dll curv y = f() e dlle rette =, = b (figur 10.2). Ess srà chimt rettngoloide vente per bse l intervllo [, b] e reltivo ll funzione f(). 97

4 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile y y = f() T b Figur 10.2: Are individut dl grfico dell funzione y = f(). Allo scopo di definire in modo preciso che cos debb intendersi per re del rettngoloide T, si effettu un decomposizione D di [, b] e si clcolno le somme s, S considerte in precedenz: s = ( 1 0 ) m 0 + ( 2 1 ) m ( n n 1 ) m n 1, S = ( 1 0 ) M 0 + ( 2 1 ) M ( n n 1 ) M n 1, che or sono certmente non negtive. L espressione s rppresent l somm delle ree dei rettngoli r 0, r 1,..., r n 1 che ricoprono un regione T contenut nel rettngoloide T, dett scloide inscritto in T, mentre l S rppresent l somm delle ree dei rettngoli R 0, R 1,..., R n 1 che ricoprono un regione T contenente il rettngoloide T, dett scloide circoscritto T (figur 10.3). Volendo llor definire l re di T, conviene fre in modo che ess risulti mggiore di s e minore di S e ciò, non soltnto per un prticolre decomposizione D di [, b], m per tutte le possibili decomposizioni. Quest considerzione conduce definire l re di T come il numero di seprzione tr le due clssi contigue {s},{s}. M si s che tle numero di seprzione è proprio l integrle b f() d e perciò si può concludere col seguente enuncito: 10.3.I L re del rettngoloide T definit come numero di seprzione tr le clssi contigue costituite dlle ree degli scloidi inscritti e dlle ree degli scloidi circoscritti, è ugule ll integrle dell f() (continu e non negtiv) esteso ll intervllo [, b]. R 0 r 0 r1 r 2 r 3 R1 R 2 R 3 = = b = = b Figur 10.3: Aree dello scloide inscritto ( sinistr) e di quello circoscritto ( destr) l rettngoloide T. 98

5 10.4. Proprietà dell integrle 10.4 Proprietà dell integrle Esponimo or le proprietà fondmentli dell integrle di un funzione continu f(), esteso d un intervllo [, b]. Osservimo nzitutto che se è f() = c (costnte) in [, b], si h n 1 n 1 σ = ( i+1 i ) c = c ( i+1 i ) = c (b ). i=0 i=0 Le somme integrli hnno il vlore fisso c (b ) e perciò il loro limite per δ 0, cioè l integrle, vrà quel medesimo vlore; dunque b c d = c (b ). (10.7) 10.4.I (Teorem dell medi) Sino f(), g() C 0 [, b] e si sempre g() 0. Allor, detti m, M il minimo ed il mssimo vlore di f() in [, b], si h: m b g() d b ed esiste lmeno un punto ξ [, b] tle d versi b f()g() d M f()g() d = f(ξ) b b Nel cso prticolre g() = 1, il teorem dell medi divent 10.4.II g() d (10.8) g() d. (10.9) Detti m, M il minimo ed il mssimo vlore di f() in [, b], si h: m(b ) b ed esiste lmeno un punto ξ [, b] tle d versi b f() d M(b ) (10.10) f() d = (b )f(ξ). (10.11) Se f() 0 l (10.11) h l seguente interpretzione geometric: il rettngoloide T di bse [, b] e reltivo ll f() h l medesim re del rettngolo che h l stess bse ed ltezz f(ξ). Ciò suggerisce di chimre f(ξ) il vlore medio dell funzione f() nell intervllo [, b]. Quest definizione si dott in ogni cso (nche se non è sempre f() 0), si pone cioè vlore medio di f() in [, b] = 1 b b f() d. (10.12) 99

6 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile 10.4.III (Teorem dell dditività) Se c è un punto interno ll intervllo [, b], si h: b f() d = c f() d + b c f() d. (10.13) 10.4.IV (Teorem dell distributività) Se f 1 (), f 2 (),..., f n () sono funzioni continue in [, b], llor, comunque si ssegnino le costnti c 1, c 2,..., c n, si h: b n c i f i () d = i=1 n b c i i=1 f i () d. (10.14) D questo teorem segue in prticolre che l integrle dell somm di due o più funzioni è ugule ll somm degli integrli delle singole funzioni: segue inoltre, ponendo uguli zero tutte le funzioni trnne un e ricordndo l (10.7): b c f() d = c ossi che un fttore costnte si può portre fuori dl segno di integrle. b f() d (10.15) Aggiungimo ltri tre teoremi di cui il primo risult ben evidente qundo si pensi l significto geometrico dell integrle V Se in [, b] risult f() 0, si h b ed inoltre, se [α, β] è un qulsisi intervllo contenuto in [, b]: b f() d f() d 0 (10.16) β α f() d. (10.17) Nell (10.16) vle il segno di uguglinz soltnto se f() è identicmente null in [, b]; nell (10.17) soltnto se f() è identicmente null in [, b] [α, β] VI Se f(), g() C 0 [, b] e si h f() g(), risult b f() d b g() d (10.18) il segno di uguglinz vlendo nel solo cso che si identicmente f() = g() VII Sussiste l disuguglinz b b f() d f() d. (10.19) 100

7 10.4. Proprietà dell integrle Abbimo mostrto in precedenz il significto geometrico dell integrle, supponendo f() 0. Se fosse f() 0, poiché l (10.15) ci permette di scrivere b f() d = b [ f()] d, [con f() 0] è chiro che l integrle viene rppresentre l re del rettngoloide T di figur 10.4 cmbit di segno. y b T y = f() Figur 10.4: Are individut dl grfico dell funzione y = f(), con f() < 0 in [, b]. Supponimo or che l f() cmbi di segno un numero finito di volte nell intervllo [, b], riferendoci per esempio ll figur y T 1 y = f() T 2 T 3 T 4 b Figur 10.5: Are individut dl grfico dell funzione y = f(), che cmbi segno in [, b]. Possimo scrivere per il 10.4.III: b f() d = α f() d + β α γ f() d + β b f() d + f() d γ 101

8 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile e quindi, per qunto già sppimo b f() d = re T 1 re T 2 + re T 3 re T 4. L integrle rppresent dunque l differenz fr l somm delle ree dei rettngoloidi situti l di sopr dell sse e l somm dei rettngoloidi situti l di sotto Integrli definiti Abbimo già definito l integrle esteso d un intervllo [, b]; si è dunque implicitmente supposto < b. Conviene or llrgre il significto dell integrle per includere nche i csi > b, = b. Precismente porremo per definizione b f() d = b f() d, se > b, (10.20) e dremo or l simbolo b f() d = 0 (10.21) f() d con b il nome di integrle definito dell funzione continu f(), fr i punti e b, i quli si chimno rispettivmente limite inferiore e limite superiore di integrzione. Osservimo che il simbolo b f() d indic un numero che dipende soltnto dll funzione f e di limiti di integrzione e b; in tle simbolo non h dunque lcun importnz l letter con l qule si design l vribile d cui dipende l funzione f, onde si può scrivere per esempio b f() d = b f(t) dt = b f(u) du =.... Non tutte le proprietà degli integrli estesi d intervlli, viste in precedenz, si estendono gli integrli definiti; in generle vengono cdere, oppure vnno modificte, le proprietà espresse d disuguglinze. Ad ogni modo, per evitre errori, elenchimo qui ppresso le proprietà degli integrli definiti. 102

9 10.6. Esistenz delle primitive di un funzione continu 10.5.I (Teorem dell dditività) Comunque sino scelti i tre punti, b, c, si h: b f() d = c f() d + b c f() d. (10.22) 10.5.II (Teorem dell distributività) Se c 1, c 2,..., c n sono delle costnti, si h: b n c i f i () d = i=1 n b c i i=1 f i () d. (10.23) 10.5.III (Teorem dell medi) Se g() non cmbi segno fr i punti e b, si h: b f()g() d = f(ξ) b g() d (10.24) ove ξ è un opportuno punto dell intervllo che h per estremi i punti e b. Nel cso prticolre g() = 1 il teorem dell medi divent: 10.5.IV Si h: b f() d = (b )f(ξ) (10.25) ove ξ è un opportuno punto dell intervllo che h per estremi i punti e b V Sussiste l disuguglinz b b f() d f() d. (10.26) 10.6 Esistenz delle primitive di un funzione continu Si f() C 0 (A). Stbilito il concetto di integrle definito dell f() fr due punti, b A, ritornimo l problem delle funzioni primitive. Dimostrimo che sussiste il seguente fondmentle teorem: 10.6.I (Teorem di Torricelli-Brrow) Ogni funzione f() C 0 (A) è in A dott di funzione primitiv. Dett c un costnte rbitrri ed un punto comunque fissto nell intervllo A, tutte le primitive di f() sono dte dll formul F () = c + f(t) dt. (10.27) 103

10 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile Dim. Bst provre che F () = f(). Si h inftti, tenendo conto del 10.5.I: [ + ] [ ] F = F ( + ) F () = c + f(t) dt c + f(t) dt ovvero, pplicndo il 10.5.IV: = + f(t) dt F = f(ξ) f(t) dt = + f(t) dt ove ξ è un punto opportuno dell intervllo che h per estremi i due punti, +. Ne segue F/ = f(ξ). Si f or tendere zero; il punto ξ tende ovvimente l punto, onde si può scrivere, tenendo nche conto che f() è un funzione continu: F lim 0 = lim f(ξ) = lim f(ξ) = f(). 0 ξ Osservimo nzitutto che in (10.27) si è indict con t l vribile di integrzione per non confonderl con l che nell stess formul indic il limite superiore di integrzione. È chiro che f(t)dt risult vere un vlore che dipende dll scelt di A; è dunque un funzione di definit in A. Se nell (10.27) si sostituisce l punto un ltro punto α A, l formul rimne sostnzilmente inltert, poiché si può scrivere c + α f(t) dt = c + α f(t) dt + f(t) dt ed osservre che quest ultim espressione coincide con il secondo membro dell (10.27), in qunto c + f(t) dt è un costnte rbitrri l pri di c. α Dll (10.27) è fcile dedurre che l integrle definito di un funzione continu f() può essere immeditmente clcolto qundo si conosc un primitiv dell f() (cioè senz fr ricorso l limite delle somme integrli). Supponimo, inftti, di voler clcolre b f() d e di conoscere un primitiv F () dell funzione f(). Per il 10.6.I tle F () deve necessrimente essere del tipo (10.27) cioè deve esistere un costnte c tle d poter scrivere: F () = c + Ponendo dpprim = b e poi =, si ottengono le F (b) = c + b f(t) dt, f(t) dt F () = c 104

11 10.7. Integrli indefiniti che, sottrtte membro membro, dnno F (b) F () = Si h dunque il seguente risultto: b f(t) dt 10.6.II Dett F () un qulsisi primitiv dell funzione continu f(), si h b f() d = F (b) F (),, b A, (10.28) cioè l integrle definito fr i limiti, b è ugule ll incremento dell primitiv F () nel pssggio dl punto l punto b. Si suole nche scrivere b f() d = [F ()] b. (10.29) L (10.28) costituisce l formul fondmentle per il clcolo degli integrli definiti Integrli indefiniti Un qulsisi funzione primitiv dell f() si chim un integrle indefinito dell f() e si indic col simbolo f() d, (10.30) che è d considerrsi equivlente : c + f(t) dt. L integrle indefinito (10.30) rppresent quindi un funzione di vente come derivt f(); tle funzione è determint soltnto meno di un costnte rbitrri. Si h cioè per definizione, A, D f() d = f(), oppure d f() d = f() d. (10.31) e sussiste inoltre l f () d = f() + c, oppure df() = f() + c. (10.32) Per qunto detto, risult immedito trrre dll tbell delle derivte fondmentli propost l cpitolo 8 l seguente tbell degli integrli indefiniti immediti. 105

12 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile Prim tbell degli integrli indefiniti immediti α d = α+1 + c (per α 1) α d = log + c cos d = sin + c sin d = cos + c 1 cos 2 d = tn + c 1 sin 2 d = cot + c e d = e + c cosh d = sinh + c sinh d = cosh + c 1 cosh 2 d = tnh + c 1 sinh 2 d = coth + c 1 d = rcsin + c d = rctn + c Dll precedente tbell si può dedurre l seguente, più generle, in cui f() indic un qulsisi funzione di clsse C 1 : Second tbell degli integrli indefiniti immediti [f()] α df() = [f()]α+1 α c (per α 1) df() = log f() + c f() cos f() df() = sin f() + c sin f() df() = cos f() + c df() cos 2 = tn f() + c df() sin 2 = cot f() + c e f() df() = e f() + c cosh f() df() = sinh f() + c sinh f() df() = cosh f() + c df() cosh 2 = tnh f() + c f() df() sinh 2 d = coth f() + c f() df() 1 f() 2 = rcsin f() + c df() = rctn f() + c 1 + f() 2 Queste formule si dimostrno tutte immeditmente pplicndo l (10.31), ossi fcendo vedere che il differenzile del secondo membro coincide con qunto st scritto l primo membro sotto il segno di integrle. 106

13 10.8. Integrzione per prti. Integrzione per sostituzione Con lo stesso criterio si dimostrno pure subito le seguenti proprietà degli integrli indefiniti (bst fr vedere che il differenzile del primo membro è ugule l differenzile del secondo membro): c f() d = c f() d (c = costnte) (10.33) n n c i f i () d = c i f i () d (c 1,... c n costnti) (10.34) i=1 i=1 u()v () d = u()v() v()u () d (10.35) [ ] f() d = f[ϕ(t)]ϕ (t) dt (10.36) =ϕ(t) Dlle formule dell second tbell e dll (10.33) segue già l possibilità di clcolre vri integrli indefiniti, operndo delle semplici trsformzioni sull funzione integrnd. Dimo lcuni esempi. 1 n d = 1 1 n +1 n d = 1 n c = n n 1 n n 1 + c ; d d( α) α = = log( α) + c ; α Vlendosi nche dell (10.34), si può tentre di decomporre l funzione integrnd nell somm di funzioni fcilmente integrbili. Alcuni esempi. ( 0 n + 1 n n 1 + n ) d = 0 n+1 cos 2 d = 1 + cos 2 2 d = 1 2 d n n n n n + c ; cos 2 d(2) = 1 ( + sin cos ) + c Integrzione per prti. Integrzione per sostituzione L (10.35) esprime l cosiddett regol di integrzione per prti. brevemente udv = uv vdu Ess si può scrivere 107

14 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile e riconduce il clcolo di un integrle indefinito l clcolo di un ltro integrle indefinito; se quest ultimo risult essere un integrle immedito, l regol permette di ottenere il clcolo del primo. Ecco lcuni esempi. cos d = d(sin ) = sin sin d = sin + cos + c ; log d = log d(log ) = log d = log + c. L formul (10.36) fornisce l cosiddett regol di integrzione per sostituzione l qule riconduce il clcolo dell integrle indefinito f() d quello dell integrle f[ϕ(t)]ϕ (t) dt. Può drsi che, con opportun scelt dell funzione ϕ(t), quest ultimo si fcilmente clcolbile. Posto llor f[ϕ(t)]ϕ (t) dt = G(t)+c, se l funzione = ϕ(t) mmette un funzione invers t = ψ(), si otterrà in definitiv per l integrle richiesto f() d = G[ψ()] + c. Alcuni esempi. 2 2 d. Si dott l sostituzione = sin t, con d = cos tdt; e l invers t = rcsin ottenendo 2 2 d = 2 2 sin 2 t cos t dt = 2 tn 3 d. cos t dt = (t + sin t cos t) + c ; Si dott l sostituzione ottenendo tn 3 d = = rctn t, con d = dt ; e l invers t = tn 1 + t2 t t 2 dt = t2 1 2 log(1 + t2 ) + c = tn2 + log cos + c ; Regole per il clcolo degli integrli definiti Come bbimo visto, l regol fondmentle per il clcolo degli integrli definiti è fornit dll formul b f() d = [F ()] b = F (b) F () (10.37) ove F () indic un primitiv di f(). Nei csi in cui quest primitiv si debb clcolre per mezzo di un integrzione per prti o per sostituzione, il clcolo può essere bbrevito tenendo conto dei due risultti seguenti: 108

15 10.9. Regole per il clcolo degli integrli definiti 10.9.I (Integrzione definit per prti) Se in un certo intervllo A le due funzioni u(), v() sono di clsse C 1, llor, comunque si prendno, b A risult b b u()v () d = [u()v()] b v()u () d. (10.38) Dim. Inftti si h per l (10.37) m il primo membro vle b b [u()v()] d = [u()v()] b, u()v () d + b v()u () d e ne segue l (10.38) II (Integrzione definit per sostituzione) Si f() un funzione continu nell intervllo A dell sse e = ϕ(t) un funzione di clsse C 1 nell intervllo B dell sse t. Se, l vrire di t in B, l = ϕ(t) ssume sempre vlori A, llor, comunque si fissino t 1, t 2 B, si h: ϕ(t2 ) ϕ(t 1 ) f() d = t2 t 1 f[ϕ(t)]ϕ (t) dt. (10.39) Dim. Inftti se F () è un primitiv di f() nell intervllo A, di conseguenz F [ϕ(t)] è un primitiv di f[ϕ(t)]ϕ (t) nell intervllo B. Dl primo ftto segue per l (10.37) ϕ(t2 ) ϕ(t 1 ) f() d = [F ()] ϕ(t 2 ) ϕ(t 1 ) = F [ϕ(t 2 )] F [ϕ(t 1 )], t2 t 1 f[ϕ(t)]ϕ (t) dt = {F [ϕ(t)]} t 2 t 1 = F [ϕ(t 2 )] F [ϕ(t 1 )], e dlle due relzioni scritte si tre l (10.39). L (10.39) esprime in sostnz che qundo si oper un sostituzione = ϕ(t) in un integrle definito b f() d occorre, non solo cmbire f() in f[ϕ(t)], d in ϕ (t) dt (come negli integrli indefiniti), m è necessrio nche cmbire i limiti di integrzione sostituendo d un qulunque vlore t 1 tle che ϕ(t 1 ) = ed b un qulunque vlore t 2 tle che ϕ(t 2 ) = b. Si noti che non è fftto necessrio che = ϕ(t) si dott di funzione invers. Per mostrre un significtiv ppliczione di qunto visto in questo cpitolo, ed in prticolre dell regol ppen propost, tornimo ll formul di Tylor. 109

16 Cpitolo 10. Clcolo integrle per funzioni di un vribile Avevmo nticipto l esistenz di espressioni lterntive rispetto ll (9.19) per il resto dell formul di Tylor (9.14) che, bsndosi sul concetto di integrle, solo or possono essere formulte. Fccimo su f() l seguente ipotesi, più restrittiv di quelle dottte nel cpitolo 9: γ) l f() è in A di clsse C n+1. Si h llor il seguente risultto: 10.9.III Nell ipotesi γ il resto R n () dell formul di Tylor (9.14) h l espressione seguente: R n () = 0 ( t) n f (n+1) (t) dt. (10.40) Dim. Fccimo vedere che l integrle secondo membro di (10.40) può essere clcolto eseguendo delle successive integrzioni per prti. Eseguendo un prim integrzione per prti si ottiene: [ ] ( t)n ( t) f (n+1) n t= (t) dt = f (n) ( (t) + t)n 1 f (n) (t) dt 0 t= (n 1)! 0 0 = ( 0 )n f (n) ( ( 0 ) + t)n 1 f (n) (t) dt. (n 1)! 0 Ripetimo su quest ultimo l integrzione per prti, ricvndo in tl modo 0 ( t)n e così proseguimo. seguente: 0 ( t)n f (n+1) (t) dt = ( 0 )n f (n) ( 0 ) ( 0 )n 1 (n 1)! ( + t)n 2 f (n 1) (t) dt, (n 2)! 0 f (n 1) ( 0 ) È ovvio che, dopo n integrzioni per prti, rriveremo ll formul f (n+1) (t) dt = ( 0 )n ( 0 )2 2! f (n) ( 0 ) ( 0 )n 1 (n 1)! f ( 0 ) 0 1! M quest ultimo integrle vle f() f( 0 ) e perciò si h in definitiv 0 ( t)n f (n+1) (t) dt = ( 0 )n f (n 1) ( 0 )... f ( 0 ) + f (t) dt. 0 f (n) ( 0 )... ( 0 ) f ( 0 ) f( 0 ) + f(). Allor, ricvndo di qui f() e confrontndo con (9.14) si vede precismente che sussiste l (10.40). 110

17 10.9. Regole per il clcolo degli integrli definiti Dl risultto precedente si possono immeditmente ricvre ltre due notevoli espressioni del resto R n (). Inftti, pplicndo ll integrle secondo membro di (10.40) il teorem dell medi 10.5.IV, si ottiene R n () = ( 0 ) ( ξ)n f (n+1) (ξ) (10.41) ove ξ è un opportuno punto (dipendente d ) dell intervllo individuto di due punti 0 e. L (10.41) fornisce il cosiddetto resto di Cuchy. Tenuto poi conto che nel predetto intervllo l funzione ( t) n / h segno costnte, possimo nche pplicre ll integrle (10.40) il teorem dell medi 10.5.III e scrivere ossi R n () = f (n+1) (ξ) 0 ( t)n R n () = ( 0 )n+1 (n + 1)! dt = f (n+1) (ξ) [ ] t= ( t)n+1 (n + 1)! t= 0 f (n+1) (ξ) (10.42) ove ξ è un opportuno punto dell intervllo che h per estremi 0 e. L (10.42) fornisce il cosiddetto resto di Lgrnge. Per n = 0 l formul di Tylor, con il resto di Lgrnge, si scrive e ci f ritrovre il teorem di Lgrnge 9.1.V. f() = f( 0 ) + ( 0 )f (ξ) Nel cso prticolre che l f() si un polinomio p() di grdo n, l su derivt (n + 1)- esim è identicmente null ed llor l ( ) fornisce R n () = 0; ne segue che l (9.14) si scrive p() = p( 0 ) + p ( 0 )( 0 ) + p ( 0 ) 2! ( 0 ) p(n) ( 0 ) ( 0 ) n (10.43) e perciò fornisce il polinomio p() ordinto rispetto lle potenze del binomio

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