1. Introduzione. disegnando le rette verticali x =1/4 ; x =1/2; e x =3/4 come in Figura ; S 3 ; S 2. ; ed S 4

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1 Gli itegrli

2 Gli itegrli. Itroduzioe Gli itegrli Le ppliczioi del clcolo itegrle soo svrite: esistoo, iftti, molti cmpi, dll fisic ll igegeri, dll iologi ll ecoomi, i cui tli ozioi trovo o poche ppliczioi. Per forire l ide ituitiv del cocetto crdie del clcolo differezile, ossi l derivt, imo itrodotto il prolem dell tgete; llo stesso modo, per presetre l ide di itegrle trtteremo il prolem del clcolo dell re. Si immgii di dover clcolre l re dell regioe S sottostte l curv y = f() d, rppresett i figur. Si oti suito che essedo S l regioe sottostte il grfico e delimitt dlle rette = 0 e =, mmetterà re compres tr 0 e ; tle risultto si potev che giugere immgido di rcchiudere S i u qudrto di lto ; prtire d tle riflessioe, cerchimo u stim migliore. Suppoimo di dividere S i quttro strisce S ; S 2 ; S 3 ; ed S 4 disegdo le rette verticli =/4 ; =/2; e =3/4 come i Figur Come si evice dll precedete figur S rppreset l regioe compres tr il grfico dell fuzioe f e le rette verticli = e = : Nel tettivo di clcolre l re dell regioe S, ci domdimo: qul è il sigificto dell prol re? L domd è semplice per regioi co i lti rettiliei; d esempio per u rettgolo l re è semplicemete il prodotto dell se per l ltezz. Per u poligoo, l re si trov suddividedolo i trigoli, come i figur, e sommdo l re dei trigoli così otteuti. Possimo pprossimre ogi strisci co u rettgolo vete l stess se dell strisci e ltezz pri l lto destro dell strisci, così come mostrto i Figur. Ivece, o è fftto semplice trovre l re di regioi delimitte d cotori curviliei. Illustrimo l ide ell esempio seguete: si y = 2 l prol rppresett i Figur; suppoimo di voler clcolre l re dell regioe sottostte l curv delimitt dlle rette = 0 e =, utilizzdo dei rettgoli.

3 Gli itegrli I ltre prole, le ltezze di questi rettgoli soo i vlori dell fuzioe f() = 2 ell estremo destro dei sotto itervlli [0; /4]; [/4; /2]; [/2; 3/4] e [3/4; ]: Ogi rettgolo h se ¼ e le ltezze soo (/4)2,(/2)2,(3/2)2 e 2. Se idichimo co R 4 l somm delle ree di questi rettgoli pprossimti, otteimo R 4 =0, M dll figur è chiro che l re A di S è miore di R 4 e duque A<0, Se, ivece di usre questo tipo di pprossimzioe, e usssimo u ltr crtterizzt d rettgoli le cui ltezze soo i vlori di f ell estremo siistro dei sotto itervlli, come mostrto i figur Nel XVII secolo lcui mtemtici trovroo ltri metodi per clcolre l re sottes l grfico di semplici fuzioi, e tr di essi figuro d esempio Fermt (636) e Nicolus Merctor(668). Nel dicissettesimo e diciottesimo secolo Newto, Leiiz, Joh Beroulli scopriroo idipedetemete il teorem fodmetle del clcolo itegrle, che ricodusse tle prolem ll ricerc dell primitiv di u fuzioe. L defiizioe di itegrle per le fuzioi cotiue i tutto u itervllo, itrodott d Pietro Megoli ed espress co mggiore rigore d Cuchy, vee post su se divers d Riemi modo d evitre il cocetto di limite, e d compredere clssi più estese di fuzioi. Nel 875 Gsto Drou mostrò che l defiizioe di Riem può essere eucit i mier del tutto simile quell di Cuchy, purché si ited il cocetto di limite i modo u po più geerle. Per questo motivo si prl di itegrle di Cuchy-Riem. Esistoo leggere differeze ell otzioe dell itegrle elle letterture di ligue diverse: il simolo iglese è piegto verso destr, quello tedesco è dritto metre l vrite russ è piegt verso siistr. Gli itegrli Il simolo che rppreset l itegrle ell otzioe mtemtic fu itrodotto d Leiiz ll fie del XVIII secolo. Il simolo si s sul crttere ſ (esse lug), letter che Leiiz utilizzv come iizile dell prol summ, i ltio somm, poiché questi cosiderv l itegrle come u somm ifiit di ddedi ifiitesimli. L re del cerchio è determit costruedo u successioe di poligoi che ssomiglio sempre di più l cerchio. Ad esempio, u successioe di poligoi regolri co umero crescete di lti: i figur, u petgoo, u esgoo e u ottgoo. A secod che si scelgo poligoi iscritti o circoscritti ell circoferez, l re di quest risulterà essere pprossimt iferiormete o superiormete. Etrme le scelte porto comuque l limite ll re del cerchio. L somm delle ree di questi rettgoli pprossimti è L 4 =0,2875; ioltre, essedo l re di S mggiore di L 4 otteimo u stim per difetto ed u per eccesso di A: 0,2875<A<0, Ripetedo quest procedur co u umero mggiore di strisce, si ottiee u stim sempre migliore di A. L ide di se del cocetto di itegrle er ot d Archimede di Sircus, vissuto tr il 287 ed il 22.C., ed er coteut el metodo d lui usto per il clcolo dell re del cerchio o del segmeto di prol, detto metodo di esustioe. Primitive e itegrzioe idefiit Defiizioe: Si dice che u fuzioe f defiit i u sottoisieme X di R è dott di primitiv, se esiste u fuzioe F defiit i X, ivi derivile, tle che: F'( ) = f( ); X Proposizioe: Se F è u primitiv di f, llor, c R, F + c è ch ess u primitiv di f Dimostrzioe. L dimostrzioe di tle sserto è immedit se si tiee presete che u fuzioe costte i X h derivt ull i ogi puto di X. Il simolo di itegrle ell lettertur (d siistr) iglese, tedesc e russ. Proposizioe: Se f è defiit i u itervllo X, llor due primitive di f differiscoo per u costte. Dimostrzioe: Se F e G, iftti, soo due primitive di f, l fuzioe F - G è derivile i X e risult: ( F G)'( ) = f( ) f( ) = 0, X pertto F - G è costte i X e l tesi è dimostrt.

4 Gli itegrli L ozioe di itegrle idefiito è correlt quell di primitiv di u fuzioe rele f di u vriile rele. Sio I u itervllo di R ed F: I R u primitiv di f, co F derivile i I. Ricordimo che l fuzioe F è u primitiv dell f se per ogi pprteete I risult F'( ) = f( ); X E oto che se u fuzioe mmette u primitiv, llor h ifiite primitive che, come si è visto sopr, differiscoo tr di loro per u costte. L totlità delle primitive dell fuzioe f costituisce, duque, u isieme che si deot che co F + c. Itegrzioe immedit L seguete tell, ell prim colo, mostr le primitive delle fuzioi elemetri; metre ell secod colo mostr come l itegrzioe di u fuzioe elemetre può essere geerlizzt l cso di u fuzioe f() dell stess tur dell corrispodete fuzioe elemetre. Gli itegrli Defiizioe Si I u itervllo di R ed f u fuzioe defiit ell itervllo I di R; l isieme di tutte le primitive dell f i I si chim itegrle idefiito dell f e si deot co Osservzioe. L operzioe di itegrzioe idefiit può cosiderrsi come ivers dell operzioe di derivzioe. No isog, tuttvi, dimeticre che l operzioe di itegrzioe idefiit, qudo è possiile, ssoci d u fuzioe u clsse di fuzioi; metre l operzioe di derivzioe d ogi fuzioe ssoci u sol fuzioe. f ( ) d Defiizioe L itegrle idefiito è l opertore iverso dell derivt perché ssoci ll fuzioe itegrd f() l isieme di tutte e sole le fuzioi primitive di f() stess. Proposizioe L itegrle idefiito è u opertore liere. Iftti gode delle segueti due proprietà: Proprietà di lierità. U costte moltiplictiv si può trsportre detro o fuori del sego di itegrle idefiito k f ( ) d = k f ( ) d Proprietà di dditività. L itegrle di u somm lgeric di due o più fuzioi è ugule ll somm lgeric degli itegrli delle sigole fuzioi [ + ] = + f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d 2 2 Comido isieme le due proprietà si h: [ + ] = + k f ( ) k f ( ) d k f ( ) d k f ( ) d Si può fcilmete otre che ell tell o si f riferimeto lcuo lle fuzioi irrzioli; questo perché, d e ote proprietà delle rdici, esse posso essere fcilmete ricodotte fuzioi potez. Ad esempio, si ricordio le segueti proprietà:

5 Gli itegrli Itegrzioe per sostituzioe Itegrzioe di fuzioi frtte Gli itegrli = = = /2 / m m / = = = m m / Il metodo di itegrzioe per sostituzioe si s sul teorem di derivzioe delle fuzioi composte. Si h: f ( ) d = f ( g()) t g '() t dt Dove g(t) è u fuzioe derivile co derivt cotiu e ivertiile. I prtic, qudo o sppimo clcolre l itegrle dell fuzioe f() operimo u sostituzioe itroducedo u fuzioe usiliri =g(t) per cui sppimo clcolre f ( g()) t g '() t dt e poi torre ll vriile sostituedo g-() l posto di t elle primitive trovte. Si procede ttrverso i segueti step:. Si poe =g(t) e si clcol d=g (t)dt; 2. Si riscrive l itegrle i termii di t, sostituedo g(t) l posto di e g (t)dt l posto di d e si clcol l itegrle ell vriile t così otteuto; 3. Si ritor, ifie, ll vriile, eseguedo sul risultto l sostituzioe ivers t=g-() N( ) Per clcolre l itegrle d D ( ) di u fuzioe i cui il grdo del deomitore si mggiore del umertore si scompoe D() el prodotto di fttori irriduciili; si riscrive l fuzioe itegrd come somm di frzioi semplici veti come deomitore i fttori di D(); si pplico le regole di itegrzioe immedit. Tvol delle pricipli sostituzioi Se il grdo del Deomitore è miore o ugule l grdo del Numertore si procede ll divisioe dei due poliomi N ( ) R ( ) d = Q( ) d + d D ( ) D ( ) dove R() e Q() soo rispettivmete il resto e il quoziete dell divisioe

6 Gli itegrli Nozioe di itegrle per u fuzioe rele cotiu i u itervllo chiuso e limitto ξ : = f ( ) d Gli itegrli Si cosideri l prtizioe P di u itervllo chiuso[;] i sottoitervlli [ k- ; k ] di ugule mpiezz, e si cosideri u fuzioe cotiu f() defiit su [;]. Per ogi itervllo dell prtizioe si possoo defiire due puti: e si chim itegrle defiito di f i [;]. I umeri e soo detti estremi di itegrzioe ed f è dett fuzioe itegrd. L vriile di itegrzioe è u vriile mut, e d è detto differezile dell vriile di itegrzioe. mk = if f( ) [ k, k] M = k e [ k, k] sup f( ) che corrispodoo ll ordit miore m k ell itervllo e ll ordit mggiore M k dell itervllo. Si defiisce somm itegrle iferiore reltiv ll prtizioe P il umero: k = ( ) sp ( ) = m k k k Ammettedo che f ssum vlori positivi ell itervllo, l somm itegrle iferiore è l somm dei rettgoli iscritti ll regioe del pio. Alogmete, si defiisce somm itegrle superiore reltiv ll prtizioe P il umero: Defiizioe: L itegrle secodo Riem di f ell itervllo chiuso e limitto [;] è defiito come il limite per che tede d ifiito dell somm itegrle: σ = f( tk) dett somm itegrle di Riem. Se tle limite esiste, è fiito e o dipede dll scelt dei puti t k, si h: k = f ( ) d = lim σ = f ( ts) + L esistez di u uico elemeto seprtore tr δ e Σ ell defiizioe è equivlete richiedere che: s= k = ( ) SP ( ) = M k k k L somm itegrle superiore è quidi l somm delle ree dei rettgoli circoscritti ll regioe. Si pog: [ ] m< f( ) < M, ; s( P) = S( P) = f ( ) d L fuzioe limitt f è itegrile i [;] se e solo se per ogi ε>0 esiste u prtizioe P di [;] per cui si h: SP ( ) sp ( ) < ε si dimostr che per ogi coppi di prtizioi P e Q di [;] si h: m( ) < s( P) < S( Q) < M( ) Per ogi possiile prtizioe P di [;] si defiiscoo: δ = sp ( ) Σ=SP ( ) Dl lemm precedete si può dedurre che gli isiemi δ e Σ soo seprti cioè: s<s L ssiom di completezz di R fferm che llor esiste lmeo u umero rele ξ pprteete R tle che: s ξ Se vi è u uico elemeto di seprzioe tr δ e Σ llor si dice che f() è itegrile i [;] secodo Riem. L elemeto ξ si idic co: S Se l fuzioe itegrile f() è positiv llor l itegrle ssume il sigificto di re dell regioe, metre se l fuzioe f cmi sego su [;] llor l itegrle rppreset u somm di ree co sego diverso Teorem dell medi Il teorem dell medi itegrle è u teorem che mette i relzioe le ozioi di itegrle e di fuzioe cotiu per le fuzioi di u vriile rele. U fuzioe cotiu f defiit su u itervllo h come immgie cor u itervllo: il teorem dell medi itegrle stilisce che l medi itegrle di f è u vlore icluso ell itervllo immgie. Il cocetto di medi itegrle è u geerlizzzioe dell ide di medi ritmetic. L ide è quell di clcolre il vlore medio ssuto d u fuzioe su u itervllo [,] clcoldo l medi ritmetic dei vlori che l fuzioe ssume su u isieme fiito (molto grde) di puti distriuiti uiformemete ell itervllo, cioè si suddivide l itervllo i N sottoitervlli

7 Gli itegrli Gli itegrli [, ] k k + tutti di lughezz (-)/N e si clcol l medi: f 0 + f + f N ( ) ( )... ( ) N Si ottiee quidi Md = M d = M ( ) quest può essere scritt che come N f ( i ) N i= 0 Dll defiizioe di itegrle di Riem segue che cosiderdo qutità N sempre mggiori di puti, quest espressioe covergerà l vlore che viee chimto medi itegrle di f. TEOREMA: Se f: [, ] R f ( ) d è cotiu e itegrile llor esiste u puto c pprteete d [,] tle che o equivletemete f () d f () c = f () d = ( ) f () c Dimostrzioe Essedo f cotiu i [,], per il teorem di Weierstrss ess è dott di mssimo M e di miimo m su [,], quidi si vrà m f( ) M Dll proprietà di mootoi dell itegrle risult md f ( ) d Md Nei memri destr e siistr dell disugugliz stimo itegrdo u fuzioe costte, quidi imo ovvero, se >, m( ) f( ) d M( ) m f ( ) d M Per il Teorem dei vlori itermedi f deve ssumere i [,] tutti i vlori compresi tr sup f( ) = M [, ] e if f ( ) = m [, ] quidi i prticolre esisterà u puto c pprteete d [,] tle che f () c = f () d Teorem fodmetle del clcolo itegrle Il teorem fodmetle del clcolo stilisce u importte coessioe tr i cocetti di itegrle e derivt per fuzioi vlori reli di vriile rele. L prim prte del teorem è dett primo teorem fodmetle del clcolo, e grtisce l esistez dell primitiv per fuzioi cotiue. L secod prte del teorem è dett secodo teorem fodmetle del clcolo, e cosete di clcolre l itegrle defiito di u fuzioe ttrverso u delle sue primitive. U prim versioe del teorem è dovut Jmes Gregory, metre Isc Brrow e forì u versioe più geerle. Isc Newto, studete di Brrow, e Gottfried Leiiz completroo successivmete lo sviluppo dell teori mtemtic i cui è mietto il teorem. Teorem di Torricelli-Brrow o primo teorem fodmetle del clcolo itegrle e logmete md = m d = m( ) Si f() u fuzioe itegrd, cotiu i u itervllo chiuso e limitto [,], llor l fuzioe itegrle F( ) = f () t dt

8 Gli itegrli Gli itegrli co è derivile i [,] e l derivt dell fuzioe itegrle coicide co l fuzioe itegrd; si h cioè: Dimostrzioe: F'( ) = f( ) F'( ) = f( ) Formul di Newto-Leiitz o secodo teorem fodmetle del clcolo itegrle Si f:[, ] R u fuzioe che mmette u primitiv F su [,]. Se f è itegrile si h: Ricordimo che u fuzioe è derivile se esiste ed è fiito il limite del rpporto icremetle l tedere 0 dell icremeto Δ dell vriile idipedete. Determiimo il rpporto icremetle F( + ) F( ) [ ] f ( ) d = G( ) = G( ) G( ) Tle relzioe è dett formul fodmetle del clcolo itegrle. A differez del corollrio ll prim prte del teorem, o si ssume l cotiuità di f. Dimostrzioe: Posto e osservimo cje Si h llor + F( + ) = f () t dt F( ) = f () t dt Ovvero l fuzioe itegrle ssocit ll fuzioe ssegt, F() e G() sio due primitive di f(). Sppimo che esse differiscoo per u costte. Possimo scrivere llor F( + ) F( ) = Per l proprietà dditiv dell itegrle: + f () t dt f () t dt f () t dt f () t dt f () t dt + f () t dt f () t dt f () t dt F( + ) F( ) = = = Per il teorem dell medi esiste u pprteete [,+ ] tle che f( ) f( t) dt = f( ) = = f( ) Clcolimo il limite del rpporto icremetle per che tede zero e si h, per l ipotesi di cotiuità, Cocludimo che lim f( ) = f( ) 0 Per = otteimo m pertto G()=c Duque potrò scrivere: Alogmete se = si h: G( ) = F( ) + c = f ( t) dt + c G( ) = f () t dt + c f () t dt = 0 G( ) = f () t dt + G( ) G( ) = f () t dt + G( )

9 Gli itegrli Gli itegrli e duque f () t dt = G( ) G( ) C.v.d. Il clcolo delle ree L itegrle defiito rppreset geometricmete l re dell regioe di pio limitt dl grfico dell fuzioe y=f() e dll sse ell itervllo [,]. Di due grfici si può vedere che il sego dell re è egtivo se l prte di pio si trov l di sotto dell sse metre è positivo se l prte di pio è l di sopr dell sse. Ad esempio che voglimo clcolre l re dell regioe di pio rffigurt, 3 2 compres tr l sse e l curv di equzioe f( ) = doimo cosiderre l itervllo [0,3]. Questo itervllo deve essere diviso i due itervlli: ell itervllo [0,] l prte di pio si trov l di sopr dell sse e quidi h sego positivo, metre ell itervllo [,3] l prte di pio è l di sotto dell sse quidi ssume sego egtivo. Pertto doimo risolvere due itegrli: ( 4 + 3) d ( 4 + 3) d = 2 0 Come si vede di grfici l re si ottiee come differez tr l re del trpezoide idividuto d f ell itervllo [,] e l re del trpezoide idividuto d g ell itervllo [,] Pertto, l re cerct risult essere espress dll formul f ( ) d g( ) d Si oti che l formul vle se f()>g() ltrimeti l differez v ivertit. Itegrli delle fuzioi pri e dispri Si f() u fuzioe dispri, ossi tle che f(-)=-f() e si cosideri il suo itegrle i u itervllo simmetrico rispetto ll origie f ( ) d E ituitivo e si potree dimostrre che l itegrle risult ullo: iftti ricorddo il sigificto geometrico di itegrle defiito, l itegrle rppreset l somm lgeric delle due ree (ros e lu). Per l simmetri del grfico di f(), tli ree risulto equivleti e quidi ho, i vlore ssoluto, l stess misur. Poiché u si trov l di sopr e u l di sotto dell sse, le loro misure vro segi opposti e l loro somm lgeric srà perciò zero. Si ivece, y=f() u fuzio pri il cui grfico, rppresetto i figur, è simmetrico rispetto ll sse y. I questo cso le due ree equivleti vo sommte. Pertto: f ( ) d = 2 f ( ) d 0 Clcolo dei volumi Ci poimo or il prolem di determire l re dell regioe di pio limitt di grfici di due fuzioi y=f() e y=g() ell itervllo [,] Cosiderimo u solido limitto d due pii perpedicolri ll sse pssti rispettivmete per i puti di coordite (,0) e (,0). Suppoimo ioltre di cooscere l re S() dell sezioe del solido otteut coducedo il pio perpedicolre ll sse, psste per il puto di coordite (,0). Voglimo clcolre il volume del solido così

10 Gli itegrli geerto. Cosiderimo izitutto i puti 0 =,, 2,, = che dividoo [,] i itervlli ciscuo di mpiezz = e suddividimo il solido i fette ciscu di spessore ugule coducedo i pii perpedicolri ll sse pssti per i puti 0,, i-, i,..,. Sceglimo quidi i ogi itervllo [ i-, i ] u puto ritrrio c i. Nell ipotesi che si ifiitesimo, è lecito pesre di pprossimre ogi fett i cui il solido è stto suddiviso co u cilidro vete come ltezz e si equivleti ll sezioe del solido otteut co il pio psste per (c i,0). Il volume di questo cilidro è S(c i ) e l somm dei volumi delle vrie fette è dt d: Sc + Sc + + Sc = Sc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Possimo defiire volume del solido origirio il limite di tle somm qudo tede ifiito. L somm ppe scritt è u somm di Riem dell fuzioe S() reltiv ll itervllo [,], il suo limite per che tede ifiito è l itegrle defiito dell fuzioe S() i tle itervllo. È rgioevole duque l seguete Defiizioe: dto u solido limitto d due pii perpedicolri ll sse, che iterseco l sse stesso ei puti di sciss e. si ioltre S() l re dell sezioe del solido otteut co u pio perpedicolre ll sse psste per (,0); llor il volume V del solido è dto dll formul i= i Si determi dpprim l re dell sezioe del solido otteut co u pio perpedicolre ll sse e psste per il puto di coordite (,0). Tle sezioe è u semicerchio. Idichimo co AB il suo dimetro. Risolvedo rispetto y si ricv: y =± + 4 Quidi le coordite di A e di B soo (, ± + 4). Il rggio del semicerchio è llor ( ) r = AB = = + 4 E l re del semicerchio è: Il volume del solido è: π S r 2 2 ( ) 2 ( ) = π = π V = ( + 4) d = 4π 2 4 Volume dei solidi di rotzioe Gli itegrli V = S( ) d Clcolo del volume del solido co il metodo delle sezioi Determiimo il volume del solido che h come se il segmeto prolico limitto dll prol di equzioe =y2-4 e dll sse y, le cui sezioi co pii perpedicolri ll sse soo semicerchi