8. Calcolo integrale.

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1 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/ Clolo integrle 8 Signifito geometrio dell integrle definito Dt un funzione y = f() definit, ontinu e positiv in un intervllo [, ], trindo le rette = ed = ottenimo un figur hius himt trpezoide Dividimo l intervllo in n prti, 2, L, n non neessrimente uguli Poihé l funzione è ontinu in [ ], srà ontinu nhe in ognuno degli intervlli e quindi in ognuno h un mssimo e un minimo ssoluto Indihimo on, 2, L, m ; m ; m ; n l siss del minimo ssoluto in ogni intervllo przile, on f ( m ), f ( m ), L ; ;, f ( m; n) 2 l ordint orrispondente, on, 2, L, M ; M ; M ; n l siss del mssimo ssoluto in ogni intervllo przile, on f ( M ), f ( M ), L ; ;, f ( M ; n) 2 l ordint orrispondente, on Ω = f ( M ; ) f ( m; ), Ω2 = f ( M ; 2) f ( m; 2), L, Ωn = f ( M ; n) f ( m; n) l osillzione dell funzione in ognuno degli intervlli Per ognuno dei punti dell urv di ordint minim onduimo l prllel ll sse delle : ottenimo un figur he himimo sloide insritto nel trpezoide e l ui re è Si = f ( m; ) + f ( m; ) + L f ( m; n) 2 2 n

2 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 27 Allo stesso modo se per i punti di ordint mssim trimo l prllel ll sse delle ottenimo un figur dett sloide irosritto l ui re è S = f ( M ; ) + f ( M ; ) + L f ( M ; n) 2 2 n Per ome imo ostruito le ree è evidente he, dett S l re del trpezoide è: Si S S Le possiili divisioni di [ ], sono infinite e infinite sono nhe le oppie di sloidi insritti e irosritti, le ui ree vrino l vrire dell suddivisione e sono quindi funzione di ess e del mggiore degli intervlli he himimo n, himndo le ree Si( n) e S( n) Se l tendere zero di n le funzioni tendono llo stesso limite S, re del trpezoide, l funzione y = f() si die integrile nell inervllo [, ] e tle limite viene himto integrle definito dell funzione y = f() nell intervllo [, ] ed indito ol simolo: f ( ) he viene letto: integrle tr e di f() - è l estremo inferiore di integrzione - è l estremo superiore di integrzione - f() è l funzione integrnd Se l funzione è sempre positiv tutti i prodotti f() sono positivi e positiv quindi srà nhe l somm, ioè f ( ) > 0 l integrle esprime quindi in vlore e segno l re del trpezoide Se l funzione è sempre negtiv tutti i prodotti f() sono negtivi e negtiv quindi srà nhe l somm, ioè f ( ) < 0

3 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 28 L re del trpezoide in questo so è: Se in [ ] S = f ( ) = f ( ), l funzione si nnull, dt l ontinuità dell funzione stess, srà finito il numero di punti di zero Supponendo he l funzioni si nnulli nel punto =, positiv per < e negtiv per <, llor l re del trpezoide è: S = f ( ) f ( ) 82 Funzione integrle Dt l funzione y = f(), ontinu in [ ],, si t l siss di un punto generio dell intervllo L espressione t f ( ) = S( t) he indi l re del trpezoide di onfine t è un funzione di t Per t = è e per t = è S( ) = f ( ) = 0 S( ) = f ( ) = S Selto un numero h positivo piolo piere tle he t + h si interno ll intervllo e he nell intervllo [ t; t + h] l funzione si monoton risult: h f ( t) < S( t + h) S( t) < h f ( t + h)

4 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 29 Dividendo per il numero positivo h diviene f ( t) < s( t + h) S( t) h < f ( t + h) Dto he l funzione è ontinu in tutto l intervllo è per definizione lim f ( t + h) = f ( t) h 0 e quindi per il teorem del onfronto è nhe S lim ( t + h ) S ( t ) = f ( t) h h 0 M per definizione di derivt è ioè: S ' ( t) = f ( t) l derivt dell funzione integrle in un punto è ugule l vlore he l funzione ssume in quel determinto punto Questo è il teorem generle del lolo integrle detto di Torrielli( )-Brrow( ): Torrielli vi rrivò per vi inemti, Brrow geometri Generlizzndo quindi è S ' ( ) = f ( )

5 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/ Funzioni primitive L preedente relzione i permette di risolvere, meno di un ostnte, il prolem dell rier dell funzione S(), integrle definito funzione del suo estremo superiore Possimo quindi srivere: dove è un ostnte S( ) = f ( ) = F( ) Le infinite funzioni F() ostituisono l insieme delle primitive dell funzione integrnd dt Essendo: possimo srivere: f ( ) = F( ) per = : f ( ) = F( ) per = : f ( ) = F( ) Sottrendo memro memro e riordndo he si ottiene: f ( ) = 0 f ( ) = F( ) F( ) ioè: l integrle definito è ugule l vlore he un primitiv ssume nell estremo superiore diminuito del vlore he l stess primitiv ssume nell estremo inferiore di integrzione

6 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/ Proprietà dell integrle definito Invertendo gli estremi di integrzione l integrle mi di segno: f ( ) f ( ) = L somm di due o più integrli venti l stess funzione integrnd e tli he l estremo superiore di uno di essi si ugule ll estremo inferiore del suessivo è un integrle he h per funzione integrnd l stess funzione, per estremo inferiore di integrzione il minore degli estremi e per estremo superiore il mggiore degli estremi: d d f ( ) + f ( ) + f ( ) = f ( ) L somm di due o più funzioni venti gli stessi stremi di integrzione è ugule d un integrle he h per funzione integrnd l somm delle funzioni integrnde: [ ] f ( ) ± g( ) = f ( ) ± g( ) L integrle del prodotto di un ostnte per un funzione è ugule ll ostnte per l integrle dell funzione: k f ( ) = k f ( ) 86 L integrle indefinito e regole di integrzione Definimo integrle indefinito di un funzione, dett integrnd, l funzione, dett primitiv, not meno di un ostnte, he h per derivt l funzione integrnd Per l integrle indefinito vlgono le regole esposte preedentemente rigurdnti l integrle definito Sono evidenti i seguenti i integrli immediti:

7 Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 32 = n+ n = ( n ) n + = ln e = e = log e sen = os os = sen 2 os 2 sen = tg ot g = + = rsen = ros 2 = rtg = rot g 2 +