CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA Fenomeni localizzati di moto permanente lineare

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1 CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA Fenomeni localizzati di moto permanente lineare 1. Schema generale In condizioni di moto stazionario, l evoluzione di una corrente a superficie libera può discostarsi dalle condizioni di deflusso uniforme a causa di condizioni localizzate (estensione spaziale breve) di variazioni della geometria dell alveo o del canale. Qui ci si limita a studiare alcune tipologie di variazioni locali della geometria, quali: variazioni graduali della forma della sezione; soglie di fondo; ostruzioni al deflusso; stramazzi laterali. In questi casi, il deflusso della corrente perde le caratteristiche proprie del moto uniforme, presentando un evoluzione spaziale localizzata con caratteri, in genere, di stazionarietà e di linearità. Se si realizzano tali condizioni di deflusso, i fenomeni possono essere studiati con l ipotesi di conservazione locale del valore della Energia specifica, vale a dire: E H z = costante per ogni s [s 1, s 2 ] (1) dove con s si intende la variabile spaziale sull asse della corrente, assunta positiva nel verso del deflusso. Q Fenomeno localizzato s 1 s 2 s Dall ipotesi (1) consegue che la variazione di H con s risulta essere: dh = de + dz = 0 + dz = i ds ds ds ds f (2) dove con i f si intende la pendenza geometrica dell asse della corrente. 1

2 Con l ipotesi formulata, quindi, le dissipazioni di carico nel fenomeno di deflusso localizzato si assumono uguali a quelle che si verificherebbero in condizioni di moto uniforme. Per meglio comprendere il significato modellistico dell ipotesi (1), operiamo come segue. Partendo dall ipotesi E Y + Q2 2gA 2 = costante per ogni s [s 1, s 2 ]; deriviamo la E rispetto alla variabile s, si ottiene: de ds = dy ds 2Q2 da dy 2gA 3 dy ds = dy ds (1 lq2 ga 3) = 0 La relazione a cui si è pervenuti coincide con l equazione dei profili di rigurgito in alveo cilindrico nel caso in cui si consideri i f dh ds = 0, vale a dire l ipotesi (2). Sulla base dell ipotesi (1) si può facilmente definire l andamento del profilo libero nella sua evoluzione spaziale, per le tipologie di fenomeni localizzati sopra elencate. 2

3 2. Variazioni graduali della sezione 2.1 Corrente lenta Si inizia dalla sezione (2), dove Y2 è definita dalla condizione di deflusso di valle, si determina il profilo risalendo a monte calcolando i valori di Y(s) con s2> s > s1 tramite l equazione: Q = A(Y) 2g(E Y), con Q = cost. e E = cost. Come risulta dalla schema, il profilo localizzato si presenta come un profilo di rialzamento verso valle. In corrispondenza alla sezione (1) il valore di Y1, in genere, non corrisponde al valore dell altezza di moto uniforme a monte; la Y1 costituisce quindi la condizione iniziale per il calcolo del profilo di rigurgito verso monte in corrente lenta. 3

4 2.2 Corrente veloce Si inizia dalla sezione (1), dove Y1 è definita dalla condizione di deflusso di monte, si determina il profilo verso valle calcolando i valori di Y(s) con s1< s < s2 tramite l equazione: Q = A(Y) 2g(E Y), con Q = cost. e E = cost. Come risulta dalla schema, il profilo localizzato si presenta come un profilo di abbassamento verso valle. In corrispondenza alla sezione (2) il valore di Y2, in genere, non corrisponde al valore dell altezza di moto uniforme a valle; la Y2 costituisce quindi la condizione iniziale per il calcolo del profilo di rigurgito verso valle in corrente veloce. 4

5 3. Passaggio sopra una soglia o tra la pila di un ponte 3.1 Corrente lenta La presenza della soglia di fondo di altezza (a) determina una riduzione locale dell Energia specifica: E* = E a. Tendo conto di questa condizione e tramite l equazione: E = Y + Q2 2gA(Y) 2, con E*= cost. e Q= cost. Si determina l altezza del profilo sulla soglia; altezza che risulta inferiore a quella di monte e di valle. 5

6 La presenza della pila del ponte (es. di ostruzione al deflusso) determina un aumento della portata per unità di larghezza della sezione: si passa dal valore Q/B prima della pila al valore Q/b lungo la pila. Tendo conto di tale condizione e tramite l equazione: Q = A(Y) 2g(E Y), con Q = cost. e E = cost. Si determina l altezza del profilo in corrispondenza della pila; altezza che risulta inferiore a quella di monte e di valle. 6

7 3.2 Corrente veloce Per il caso di corrente veloce vale quanto detto per i casi precedenti. In corrente veloce però il risultato è un rialzamento del profilo nel passaggio sopra la soglia ovvero in corrispondenza della pila. 7

8 4. Passaggio sopra una soglia o tra la pila di un ponte: condizione E di monte insufficiente 4.1 Corrente lenta Se si verifica che l Energia specifica sopra la soglia risulta E a < Ec, inizialmente passerà sopra la soglia un portata minore di quella proveniente da monte. In conseguenza, si determinerà un accumulo di massa nella sezione (1) tala da fare innalzare il livello fino ad un valory L in corrispondenza del quale l Energia specifica in (1) risulta pari a E = (Ec + a) e quindi, sopra la soglia, si ha E* = Ec. Raggiunta questa condizione l intera portata di monte può transitare sulla soglia in condizioni stazionarie con un altezza, ovviamente, pari all altezza critica. Al termine della soglia la corrente, che risulta accelerata, si posizionerà all altezza di corrente veloce Y V corrispondente al valore dell energia specifica E*. Tale altezza determina una condizione iniziale per l evoluzione del profilo di rigurgito di valle, profilo che si presenta, in genere, con la sequenza di un profilo di rialzamento in corrente veloce, un risalto idraulico e un successivo profilo di corrente lenta a valle del risalto (Y = Y L ). Anche a monte della soglia si determina un profilo di rigurgito di rialzamento controllato dalla condizione di valle Y L che si è venuta a determinare nella sezione (1). L attraversamento di una pila di ponte presenta un evoluzione analoga a quella sopra descritta. 8

9 4.2 Corrente veloce Per il caso di corrente veloce i fenomeni che si registrano sono determinati dalle stesse cause descritte nel caso precedente e l evoluzione del fenomeno localizzato è analoga. Differente invece si presentano i profili a monte e a valle della soglia o della pila. In questo caso, il fenomeno di accumulo di massa nella sezione (1) prosegue fino a che non si raggiunge un altezza di corrente lenta tala da assicurare l Energia specifica minima per il passaggio dell intera portata. Questa altezza di corrente lenta determina l altezza di controllo per il profilo di monte che si presenta con la sequenza: corrente veloce, risalto idraulico e profilo di rialzamento in corrente lenta sino alla sezione (1). Al termine del fenomeno localizzato, l altezza Y V determina una condizione di controllo per l evoluzione a valle di un profilo di rigurgito di rialzamento in corrente veloce. L attraversamento di una pila di ponte presenta un evoluzione analoga a quella sopra descritta. 9

10 5. Deflusso da uno stramazzo laterale Per determinare l andamento del profilo della corrente lungo lo stramazza si può usare un modello matematico costituito dalle seguenti equazioni. Portata q defluente dallo stramazzo per unità di lunghezza: Portata Q defluente nel canale: q(s) = C Q 2g[Y(s) d] 3/2 (3) Q(s) = Q i,f s q(s) s i,f ds (4) E= costante, da cui si ricava l equazione per determinare Y(s): Y(s) + da cui: Q2 (s) 2gA 2 [Y(s)] = E cost. Y(s) = E Q2 (s) 2gA 2 [Y(s)] (5) 10

11 Esplicitiamo la sequenza del calcolo discretizzato (intervallo di discretizzazione s), nel caso di uno stramazzo con corrente veloce. Passo di calcolo 1) q(s i ) = C Q 2g[Y(s i ) d] 3/2 Q(s i + s) = Q i q(s i ) s Y(s i + s) = E Q2 (s i + s) 2gA 2 [Y(s i )] Passo di calcolo 2) q(s i + s) = C Q 2g[Y(s i + s) d] 3/2 Q(s i + 2 s) = Q(s i + s) q(s i + s) s Y(s i + 2 s) = E Q2 (s i + 2 s) 2gA 2 [Y(s i + s)].... Passo di calcolo n) q(s i + (n 1) s) = C Q 2g[Y(s i + (n 1) s) d] 3/2 Q(s i + n s) = Q(s i + (n 1) s) q(s i + (n 1) s) s Y(s i + n s) = E Q 2 (s i + n s) 2gA 2 [Y(s i + (n 1) s)] La procedura di calcolo prosegue fino alla determinazione del tirante idrico Y(s f ). Questa altezza costituisce la condizione di controllo per il profilo di rigurgito di valle. Nel caso di uno stramazzo con corrente lenta, la sequenza di calcolo è analoga. La sola differenza è che al passo 1) parte da s = sf e si prosegue con intervallo di discretizzazione pari a (- s), fino a determinare il tirante idrico Y(s i ). Questa altezza costituisce la condizione di controllo per il profilo di rigurgito di monte. 11

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