EQUAZIONI ALGEBRICHE DI 3 E 4 GRADO. Appunti a cura del prof. Nicola SANTORO.

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1 EQUAZIONI ALGEBRICHE DI E GRADO Ati cr del rof Nicol SANTORO Qi di segito iee esost i form bbstz semlice rticolrmete idict er gli stdeti del trieio delle scole medie seriori l teori er l solzioe di ezioe lgebric di e di grdo cosiddett er rdicli Defiizioi di bse e relzioi tr coefficieti e rdici di ezioe lgebric Chimeremo ezioe lgebric di grdo ell icogit z l ezioe che si ottiee egglido zero fzioe rziole iter fz di grdo ell ribile z: f z z z z U mero z rele o comlesso che si o zero er fz si chim rdice dell ezioe Simo dll lgebr che ezioe lgebric di grdo el cmo comlesso mmette e o iù di rdici distite o o Idichimo co z z z z le rdici distite o o dell ezioe lgebric Fccimo le segeti osizioi: s z z z z s zz zz zz z z z z zz z z s zz z zz z zz z z zz z zz5 z zz z z z s z z z z cioè idichimo i geerle co s l somm dei rodotti delle rdici z z z z Si ricoosce fcilmete che le l idetità: z z z z z z z z z sz sz sz s M essedo dll lgebr elemetre: i forz dell si h: f z z z z z z z z z z z z z sz s z sz s Qidi er il riciio di idetità dei oliomi dee essere: s; s; s;; s Si richiede bo cooscez dell teori dei meri comlessi

2 d ci si rico le formle: s ; s ; s ;; s Le ci dicoo che: I ezioe lgebric di grdo l somm dei rodotti delle rdici k k è gle l k oziete otteto diidedo il coefficiete di z k moltilicto er er il coefficiete di z I rticolre l somm delle rdici è gle l coefficiete di z cmbito di sego diiso er il rimo coefficiete e il rodotto delle rdici è gle l termie oto moltilicto er diiso er il rimo coefficiete b c Per l ezioe z bz c si h z z z z ; risltto già oto dll lgebr elemetre Il teorem dimostrto ci ermette di risolere il segete roblem: «Trore meri cooscedoe l somm σ l somm dei loro rodotti de de σ l somm dei loro rodotti tre tre σ il loro rodotto σ» Iftti gli meri cercti o soo ltro che le rdici dell ezioe: z σ z σ z σ z σ Solzioe delle ezioi di e grdo È oto che er le ezioi di e grdo si ò dre forml risolti Mostreremo che l stess cos si ò fre er le ezioi di e grdo Come già ticito ell itrodzioe este formle risoltie esrimoo le rdici i fzioe dei coefficieti dell ezioe er mezzo di oerzioi rzioli e di estrzioi di rdici A titolo di otizi dicimo che l cos o è iù ossibile lmeo i geerle er le ezioi di grdo seriore l rto el seso che er ezioe geerle di grdo 5 le rdici o si ossoo esrimere er mezzo dei coefficieti co sole oerzioi rzioli ed estrzioi di rdici teorem di Rffii-Abel oimo: Osserimo zittto che se ell ezioe di terzo grdo: z z z z si ottiee:

3 Esegedo le oerzioi idicte e semlificdo si h l ezioe: co 7 Si ede così che medite l osizioe ogi ezioe di grdo ò ridrsi ll form ridott 5 oe il rimo coefficiete le e mc il termie coteete l icogit l drto Bsterà erciò limitre il ostro stdio ll ezioe ridott 5 Per risolere l ezioe 5 oimo: 6 co e oe icogite Otteimo: Qest ezioe srà soddisftt dlle solzioi del sistem: ossi: 7 Eledo l cbo l rim ezioe del sistem 7 si ottiee : 7 e si ede così che dei de meri cooscimo l somm che è e il rodotto che è Pertto come è oto dll lgebr elemetre i de meri i estioe soo le rdici 7 dell ezioe di grdo: E co ciò il sistem oltre lle solzioi del sistem 7 rà che ltre solzioi

4 t t 7 che risolt dà: t ± 7 Si otrà idi ssmere: 7 7 Teto coto dell 6 si h er l ezioe 5 l segete forml risolti dett forml di Crdo: Nel cmo comlesso ogo dei rdicli cbici h tre lori e sembrerebbe idi che dll 9 si otessero otteere 9 rdici er l ezioe 5 È fcile erò edere che dei 9 lori che si ottegoo soltto tre soddisfo l ezioe 5 Iftti osserimo zittto che i lori di e che si rico dlle formle: 7 7 deoo soddisfre l sistem 7 e i rticolre ll rim ezioe del sistem Se idichimo co o le dei tre lori che si rico dll rim delle dobbimo ssocire el rticolre lore dto dll secod delle er il le rislt: Premesso ciò essedo ε ε le rdici cbiche comlesse dell ità si ò rore fcilmete i bse d be ot forml sll rdice -esim di mero comlesso 5 che i tre lori dti dll rim delle soo: e i tre lori dti dll secod delle soo: ε ε Si teg resete l ot i i Si h: ε ε 5 È l forml trigoometric che si dedce dll be ot relzioe di De Moire

5 5 ε ε Or è fcile ricooscere che soltto le tre coie di meri: ε ε ε soddisfo ll rim ezioe del sistem 7 6 Qidi le tre rdici dell ezioe 5 soo: ε ε ε ε ε Si oti che ell 9 comre l esressioe: 7 Se rislt i de rdicli dell 9 coicidoo e si ò ssmere dieto: Allor le i i ε ε e si h rdice doi Si rà rdice tril se ossi se ell 5 è Si lsci llo stdete l discssioe dell 9 do e soo reli Si tro fcilmete che se > l 5 h rdice rele e de comlesse coigte; se h rdice rele doi ed rele semlice meo che si el l cso si h lo zero come rdice tril; se < si ho tre rdici reli semlici Occimoci desso dell solzioe dell ezioe di grdo L ezioe di grdo ell icogit z h l form: che medite l osizioe: z z z z z si trsform come si ricoosce fcilmete ell segete: 6 Bst iftti osserre che è e ε

6 6 r doe r ossoo clcolrsi i mier log to ftto er l ezioe di grdo esegedo le oerzioi e semlificdo e come soo icolti i coefficieti d relzioi che i o imort recisre Per risolere l osto: e fcedoe il drto si ric: ; drdo cor: ossi er l : Qest ltim ezioe coicide co l se i meri soo scelti i modo che rislti: r ossi: 5 6 r Eledo l drto l terz ezioe del sistem 5 si ottiee: r

7 7 Ricorddo or le relzioi che sso tr le rdici di ezioe lgebric e i coefficieti rgrfo recedete sege che i meri soddisfceti l sistem 6 soo le rdici dell segete ezioe di grdo: r t t t 6 6 Dette t t t le rdici di est ezioe si otrà ssmere: t t t ode er l si coclde che le rdici dell soo dte d: t t t Ogi rdicle h de lori m o egoo rdici erché olt fissti i lori dei rimi de rdicli rest determito il lore del terzo rdicle dll terz ezioe del sistem 5 BIBLIOGRAFIA G ZWIRNER Lezioi di Alisi Mtemtic CEDAM Pdo 976; A G KUROŠ Corso di Algebr Seriore Editori Riiti Rom 977