Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni

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1 1 Geometria analitica La geometria analitica stabilisce una corrispondenza tra il mondo della geometria e il mondo dell'algebra. Ciò significa che gli enti geometrici hanno degli enti corrispondenti nel mondo dell'algebra e che le proprietà degli uni corrispondono ad analoghe proprietà degli altri. Questo offre un grosso vantaggio nella risoluzione di problemi geometrici: infatti un problema geometrico può essere tradotto in un problema algebrico, essere risolto coi potenti strumenti dell'algebra, e alla fine il risultato (algebrico) riportato nel mondo della geometria. Esempi di corrispondenze, che vedremo in seguito, sono: punto retta conica Geometria Intersezione tra curve Parallelismo tra rette Algebra coppia di numeri equazione di 1 grado equazione di 2 grado sistema di equazioni Uguale coefficiente angolare delle equazioni Distanza tra due punti del piano: dati due punti del piano di coordinate A(x A y A ) e B(x B y B ) la loro distanza è data dalla formula seguente: AB= x A x B 2 y A y B 2, che si ricava applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC in figura. Esempio 1: ricavare la lunghezza del segmento AB di estremi A(1 2) e B( 1+3). Esempio 2: ricavare il perimetro del triangolo ABC di vertici A(1 1), B( 1+3) e C( 2 2) Punto medio di un segmento: dato un segmento di estremi A(x A y A ) e B(x B y B ), le coordinate del suo punto medio si ottengono dalle segmenti formule: M = x x A B y y A B 2 2. In altre parole, le coordinate del punto medio sono le medie aritmetiche delle rispettive coordinate degli estremi (l'ascissa è la media aritmetica delle ascisse, l'ordinata è la media aritmetica delle ordinate). Esempio 3: Determinare il punto medio del segmento di estremi A(1 2) e B( 1+3).

2 2 Equazione della retta. La geometria analitica associa la retta (ente geometrico) all'equazione di 1 grado a due incognite (ente algebrico) del tipo ax+by+c=0. Ma in che modo un'equazione rappresenta una retta? Una retta corrisponde ad un'equazione nel senso che: 1. le coordinate di tutti i punti della retta sono soluzioni dell'equazione e viceversa 2. tutte le soluzioni dell'equazione sono le coordinate dei punti della retta Tale affermazione si può dimostrare. Equazione in forma implicita (o canonica) ed equazione in forma esplicita. L'equazione di una retta può assumere due forme caratteristiche: forma implicita (o canonica) e forma esplicita. L'equazione canonica ha la forma seguente: ax+by+c=0, dove a, b, c sono tre numeri, con a e b che non possono essere netrambi nulli (altrimenti scompaiono0 le incognite e non si ha più un'equazione). Esempi: 3x+2y+4=0 2x 4=0 y+5=0 3x 5y=0. L'equazione esplicita ha la seguente forma: y=mx+q. In essa il termine in y è sempre presente. Esempi: y=4x 2 y=4x y=3. Confronto tra la f. implicita e quella esplicita: la f. implicita può rappresentare qualunque retta, anche rette verticali, mentre la forma esplicita rappresenta tutte le rette, tranne quelle verticali ad una stessa retta sono associate più equazioni in forma implicita (in realtà infinite). Infatti consideriamo l'esempio della retta di equazione 2x+y+1=0. Se moltiplico ambo i membri per un numero qualunque, ad es. 2, ottengo l'equazione 4x+2y+2=0, diversa dalla precedente, ma con le stesse sue soluzioni (proprietà invariantiva delle equazioni). Invece una retta ha una sola equazione in forma esplicita nell'equazione implicita i tre coefficienti presi singolarmente non hanno alcun significato geometrico, mentre in quella esplicita io coefficiente m è detto coefficiente angolare ed esprime una misura dell'inclinazione della retta rispetto all'asse x, mentre il coefficiente q è detto intercetta e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y. Precisamente il coefficiente angolare è definito nel modo seguente: presi due punti generici A e B della retta si definisce coefficiente angolare della retta il rapporto tra le ordinate e le ascisse dei due punti, prese ordinatamente. In formule: m= y A y B x A x B Rette particolari:

3 3 Rette parallele all'asse x: hanno equazione del tipo y=k (dove k è l'ordinata di tutti i punti della retta). Infatti una retta parallela all'asse x si contraddistingue perché è formata da tutti e soli i punti che hanno una determinata ordinata (v. fig.) Rette parallele all'asse y: hanno equazione del tipo x=k (dove k è l'ascissa di tutti i punti della retta). Infatti una retta parallela all'asse y si contraddistingue perchè è formata da tutti e soli i punti che hanno una determinata ascissa (v. fig.) Rette passanti per l'origine: hanno equazione del tipo ax+by=0, cioè mancano del termine noto Fasci di rette: Si definisce fascio proprio di rette di centro A(x 0 y 0 ) l'insieme di tutte le rette passanti per A. Si può dimostrare che tutte le rette del fascio (tranne quella verticale) possono essere ottenute dalla seguente equazione y y 0 =m x x 0, assegnando ad m un opportuno valore. Viceversa dall'equazione precedente si ottengono solo rette del fascio di centro A(x 0 y 0 ). Rette parallele e perpendicolari La proprietà geometrica del parallelismo tra rette può essere tradotto in una proprietà (algebrica ) delle loro equazioni. Le proprietà seguenti valgono solo se non sono implicate rette verticali (=parallele all'asse y). Rette parallele: hanno lo stesso coefficiente angolare 2 Rette perpendicolari: hanno coefficienti angolari reciproci e discordi (es.: 3 e 3 2 ).

4 4 Problemi sulle rette: Disegnare una retta di equazione data. Esempio: disegnare la retta di equazione 2x 2y+4=0. Si ricavano due soluzioni dell'equazione: si assegnano due valori arbitrari ad x e si ricavano i corrispondenti valori di y. Si riportano i punti sul piano cartesiano e si disegna la retta. x y Ricavare l'equazione di una retta passante per due punti dati. Esempio: ricavare l'equazione della retta passante per i punti A(1 2) e B( 1+3). Usiamo l'equazione del fascio proprio y y 0 =m x x 0 di centro (x 0 y 0 ). Scegliamo arbitrariamente A come centro del fascio. Otteniamo: y 2=m x 1. Per calcolare m applichiamo la sua definizione: m= y y A B = 2 3 x A x B 1 1 = 5 da cui si ricava l'equazione: 2 y 2= 5 2 x 1 che dopo opportuni passaggi può essere ridotta alla forma : y= 5 2 x 1 2. Ricavare l'equazione di una retta passante per un punto e parallela ad una retta data. Esempio: ricavare l'equazione della retta r passante per il punto A( 3 2) e parallela alla retta s di equazione 2x 3y+1=0. Usiamo l'equazione del fascio proprio di centro A( 3 2): y 2=m x 3. Per ricavare m r ricordiamo che due rette parallele hanno lo stesso coeff. angolare, quindi ricaviamo ms della seconda retta, scrivendo quest'ultima in forma esplicita: 2x 3y+1=0 3y= 2x 1 3y 3 = 2x y= 2 3 x 1 da cui m 3 r =m s = 2. Quindi l'equazione è: 3 y 2= 2 3 x 3 che semplificata è y= 2 3 x. Determinare la posizione relativa tra due rette. Esempio1: determinare se le due rette di equazioni 2x+y 2=0 e 3x y 3=0 sono incidenti, coincidenti o parallele.

5 2x y 2=0 y= 2x 2 3x y 3=0 { 3x 2x 2 3=0 { y= 2x 2 5x 5=0 { y= 0 x=1 Risposta: poiché il sistema ammette una soluzione, le rette sono incidenti nel punto (10). 5 { y= 2x 2 x=1 { y= x=1 Esempio2: determinare se le due rette di equazioni x+y 6=0 e x y+6=0 sono incidenti, coincidenti o parallele. x y 6=0 y=x 6 y= x 6 x y 6=0 x x 6 6=0 { x x 6 6=0 { y=x 6 abbiamo ottenuto 0=0 un'identità sempre vera, per cui il sistema è indeterminato, cioè ammette infinite soluzioni. Risposta: poiché il sistema ammette infinite soluzioni, le rette sono coincidenti (cioè sono la stessa retta...). Esempio3: determinare se le due rette di equazioni 2x+y 6=0 e 2x+y+2=0 sono incidenti, coincidenti o parallele. 2x y 6=0 2x y 2=0 { y= 2x 6 y= 2x 6 2x y 2=0 { 2x 2x 6 2=0 { y= 2x 6 abbiamo ottenuto 8=0 un'identità sempre falsa (8=0), per cui il sistema è impossibile, cioè non ammette soluzioni. Risposta: poiché il sistema non ammette soluzioni, le rette non hanno punti in comune, cioè sono parallele.