26. Corda elastica SPETTRO DELLA CORDA DISCRETA

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1 6. Corda elastica I modelli microscopici di un mezzo continuo consistono in sistemi di N particelle, atomi o molecole, che interagiscono tra loro con forze elettromagnetiche. Nei solidi cristallini le particelle, in configurazione di equilibrio, sono disposte su reticoli regolari e sono soggette a forze di richiamo elastiche per piccoli spostamenti rispetto a questa configurazione. Il modello più semplice è quello unidimensionale della corda elastica, che consiste in una catena di N oscillatori armonici. Interpolando la soluzione delle equazioni del moto rispetto alle coordinate di ciascun punto si ottiene una descrizione del mezzo continuo nel limite N. a soluzione interpolata soddisfa l equazione delle onde e, nel caso di una corda omogenea con estremi fissi, si mostra che le frequenze proprie e le autofunzioni sono il limite di quelle della catena di oscillatori quando N. Per una corda non omogenea le frequenze del corrispondente sistema di oscillatori sono gli zeri di polinomi determinati per ricorrenza. Si mostra che la conoscenza delle frequenze della corda per diverse condizioni al contorno, ne determina in modo univoco i parametri elastici e consente di valutarli esplicitamente. 6.. SPETTRO DEA CORDA DISCRETA Una corda elastica omogenea ad estremi fissi, cui siano consentiti spostamenti longitudinali lungo l asse, è descritta da un sistema di N punti materiali di coordinate i con i =,...,N di massa m soggetti a forze elastiche, vedi figura 6... a lagrangiana che descrive il sistema è = m ẋ n k ( n+ n ) (6..)

2 c Spettro della corda discreta 507 y = a = a N =(N )a = Na N Figura 6... Modello discreto di corda elastica: configurazione di equilibrio. dove abbiamo posto per convenzione 0 = 0, N+ =. e condizioni di equilibrio sono 0 = =... = N+ N = a N + (6..) la cui soluzione è n = na ed indichiamo con ξ n = n na gli spostamenti dalla posizione di equilibrio. a lagrangiana si riscrive quindi nella forma = m ξ n k (ξ n+ ξ n + a) (6..3) avendo posto ξ 0 = ζ N+ = 0. Si verifica facilmente che i termini lineari in ξ si annullano e pertanto la lagrangiana diventa, trascurando il termine costante = m ξ n k (ξ n+ ξ n ) (6..4) e equazioni del moto si integrano esplicitamente per ogni valore di N. Infatti da (6..4) segue m ξ n + k(ξ n ξ n+ ξ n ) = 0, n =,...,N (6..5) e posto ξ n (t) = u n e iωt l equazione agli autovalori diventa ( λ)u n u n u n+ = 0, n =,...,N (6..6) dove λ = ω m/k. Con le condizioni al contorno u 0 = u N+ = 0, la (6..5) costituisce un sistema omogeneo di N equazioni con matrice dei coefficienti simmetrica e tridiagonale (W λi)u = 0, W = (6..7)

3 Corda elastica c a soluzione della ricorrenza a coefficienti costanti (6..7) si ottiene ponendo u n = z n dove z soddisfa ( z λ ) z + = 0 (6..8) Se si assume λ < 4 e si pone cosθ = λ/ la soluzione diventa z = e ±iθ e le u n sono combinazioni di e ±iθ con coefficienti complessi coniugati ossia u n = C sin(nθ) + D cos(nθ) (6..9) dove C e D sono costanti reali (per λ > 4 non esistono soluzioni reali che soddisfino le condizioni al contorno). e condizioni al contorno u 0 = u N+ = 0 sono soddisfatte se D = 0, sin(n + )θ = 0 (6..0) o spettro della corda omogenea discreta è quindi dato da ( ) λ j = ( cosθ j ) = 4sin θj j, θ j = π, j =,..., N (6..) (N + ) e componenti degli autovettori u j corrispondenti a λ j si ottengono da (6..9) (u j ) n = C j sin(nθ j ) (6..) Verifichiamo con un calcolo esplicito che sono ortogonali, come ci si deve aspettare da una matrice simmetrica. u j u k = C jc k 0 j k [ cos n(θ j θ k ) cos n(θ j + θ k )] = Cj N+ j = k (6..3) Questa relazione segue osservando e i(n+)θ s = e e i(n+)θ s = ( ) s implicano per un qualsiasi intero s cos nθ s = e iθ einθ s e s ( e iθ + c.c. = eiθs i(n+)θs + e i(n+)θs s ) ( e iθ = + ( )s s ) (6..4) Gli autovettori normalizzati sono quindi espressi da (u j ) n = ( nπ ) N + sin N + j (6..5) e le frequenze sono ω j = ( ) k k π m λ j = m sin j N + (6..6)

4 c imite del continuo 509 a soluzione generale per la corda elastica si scrive nella forma ξ n (t) = j= dove le N costanti A j, B j sono fissate dalle condizioni iniziali. u (j) n (A j cos(ω j t) + B j sin(ω j t)) (6..7) 6.. IMITE DE CONTINUO Nel passaggio al limite del continuo occorre mantenere costanti alcuni parametri della corda, quali la massa totale M e la tensione Y. Considerando Y come la reazione del vincolo ad un estremo fisso N+ =, dall equazione Y k( N+ N ) = 0 segue che Y = ka all equilibrio. Introducendo la massa totale M = Nm e la densità ρ scriviamo Y = ka = k N + O(N ), ρ = m a = M + O(N ) (6..) Mantenendo costanti ρ e Y la massa di un punto va a zero come N mentre la costante elastica cresce come N quando N. In questo limite le frequenze ω j si esprimono in funzioni della velocità v definita da Y k v = ρ = a (6..) m Infatti da (6..6) segue che per j fissato Y ω j = ρ πj = v πj (6..3) Per le autofunzioni posto n = na si ha invece ( π ) (u j ) n = a / sin nj (6..4) Si noti che nel limite N resta finito l indice j degli autovalori mentre n con il rapporto n/n = n / finito. e funzioni u n () che interpolano le (u j ) n sono definite da e la condizione di normalizzazione diventa δ jk = lim N (u j ) n (u k ) n = lim N u j ( n ) = a / (u j ) n (6..5) u j ( n )u k ( n )a = 0 ( π ) ( π ) sin j sin k d (6..6)

5 50 6. Corda elastica c dove si è tenuto conto del fatto che l integrale è definito come il limite per N della somma di Riemann N f( n)a f()d. Il limite del continuo può essere fatto 0 direttamente sulle equazioni del moto che riscriviamo ρ ξ n Y ξ n+ ξ n + ξ n a = 0 (6..7) Introducendo la funzione interpolante ξ(, t) definita da ξ( n, t) = ξ n (t), possiamo riscrivere la (6..7) nella forma v t ξ( n, t) ξ( n+, t) ξ( n, t) + ξ( n, t) a = 0 (6..8) dove v = Y/ρ. Poiché n± = n ± a nel limite N, ossia a 0, si ottiene l equazione v t ξ( n, t) ξ( n, t) = 0 (6..9) n a funzione ξ(, t) soddisfa l equazione delle onde per la corda elastica su un insieme di punti n = n/n denso in [0, ]. equazione delle onde definita su [0, ] v tξ(, t) ξ(, t) = 0 (6..0) e corredata con le condizioni agli estremi ξ(0, t) = ξ(, t) = 0 ha come soluzione generale ξ(, t) = j= ( π )[ ( π ) ( π )] sin j A j cos jvt + B j sin jvt (6..) dove le costanti A j e B j sono fissate dalle condizioni iniziali ξ(, 0), ξ(, 0), usando le condizioni di ortonormalità delle autofunzioni. a soluzione (6..) coincide con quella ottenuta dalla corda discreta per N ed è lecito considerare che l equazione (6..0) interpola l equazione (6..9) definita su un insieme discreto di punti. equazione delle onde (6..0) descrive anche la propagazione di un disturbo su una corda illimitata; l assenza di condizioni di vincolo agli estremi cambia la natura della soluzione, che si esprime come sovrapposizione di onde progressive e regressive, anziché di onde stazionarie, come si mostra nel prossimo capitolo.

6 c Corda non omogenea CORDA NON OMOGENEA Consideriamo il caso generale di una corda non omogenea costituita da masse diverse mobili nel piano y e soggette a forze di richiamo con costanti elastiche qualsiasi. Nella figura si mostrano le oscillazioni trasversali e longitudinali del modello discreto di corda elastica con estremi fissi, nella figura le oscillazioni trasversali quando un estremo è libero. Mostriamo che le frequenze delle oscillazioni trasversali per due diverse condizioni al contorno sono gli zeri di due polinomi, i cui coefficienti si determinano esattamente tramite un relazione di ricorrenza. Da questa relazione segue che i due spettri di autovalori determinano univocamente le masse e le costanti elastiche della corda. Si ha così la soluzione esatta del problema inverso, che consiste nel determinare i parametri della corda a partire dalle sue frequenze proprie di oscillazione. Scriviamo la lagrangiana = m n (ẋ n + ẏ n ) k n+ [( n+ n ) + (y n+ y n ) ] (6.3.) e supponiamo che gli estremi siano fissi cioè 0 = 0, N+ = e y 0 = y N+ = 0. e condizioni per l equilibrio sono espresse da k ( 0 ) = k ( ) =... = k N+ ( N+ N ) k (y y 0 ) = k (y y ) =... = k N+ (y N+ y N ) (6.3.) y N N y N N Figura Oscillazioni della corda con estremi fissi (in alto); oscillazioni longitudinali (in basso).

7 5 6. Corda elastica c Se eliminiamo il vincolo in = dobbiamo aggiungere una reazione vincolare che viene interpretata come tensione Y della corda. All equilibrio la corda è orizzontale e Ỹ = (Y, 0) dove k N+ ( N+ N ) = Y, k N+ (y N+ y N ) = 0 (6.3.3) Se indichiamo con l n la distanza all equilibrio tra la massa n e la massa n si trova n n = l n, l n = Y k n (6.3.4) y = y =... = y N = 0 e pertanto all equilibrio la corda è orizzontale con le masse successive a distanza l,...,l N. Indicando con ξ n lo spostamento orizzontale rispetto alla posizione di equilibrio la lagrangiana si riesprime nella forma n = n l j + ξ n (6.3.5) j= = = m n ( ξ + ẏ ) m n ξ n Y (ξ n+ ξ n ) Y l n+ [(ξ n+ ξ n + l n+ ) + (y n+ y n ) ] l n+ + m n ẏn Y (y n+ y n ) l n+ (6.3.6) omettendo una costante irrilevante, e consta di due contributi, il primo per vibrazioni longitudinali, il secondo per le vibrazioni trasversali. e equazioni del moto per le vibrazioni trasversali sono [ yn y n m n ÿ n + Y + y ] n y n+ = 0 (6.3.7) l n l n+ Spettri di frequenze a equazione (6.3.7) va corredata con le condizioni al contorno y 0 = y N+ = 0. È opportuno considerare un secondo problema in cui la corda è libera di scorrere lungo l asse = ; questo vincolo si realizza con un anellino che si muove senza attrito sull asse verticale = ed analiticamente la condizione di vincolo è espressa da y N+ = y N. Per determinare le frequenze proprie del sistema si pone y n (t) = u n e iωt e da (6.3.7) si ottiene λm n u n u n u n l n u n u n+ l n+ = 0 (6.3.8)

8 c Corda non omogenea 53 avendo posto λ = ω /Y. Da (6.3.8) con n = segue che u = ( ) l + l λm l u (6.3.9) l è uguale a u per un polinomio di grado in λ. Per induzione è evidente che u n è ancora uguale ad u per un polinomio di grado n in λ per cui poniamo y P n (λ) = u n u, P 0 = (6.3.0) N N Figura Oscillazioni di una corda con un estremo libero. Si introduce anche una seconda famiglia di polinomi definiti da Q n (λ) = u n+ u n u l n+, Q 0 = l (6.3.) Questi polinomi si valutano tramite due ricorrenze, che seguono da (6.3.8), (6.3.0) e (6.3.) P n (λ) P n (λ) = l n+ Q n (λ) (6.3.) Q n (λ) Q n (λ) = λm n P n (λ) inizializzate da P 0 =, Q 0 = /l. I polinomi P N (λ) e Q N (λ) hanno come zeri gli autovalori corrispondenti ai due diversi problemi al contorno considerati. Infatti y N+ = 0 Si noti che λ così definito non è adimensionale, ma ha limite finito per N. Il parametro adimensionale corrispondente a quello introdotto nel caso omogeneo è λ=ω m/k=ω MY N. Possiamo introdurre un parametro adimensionale con limite finito λ =ω MY ed insieme masse m i =m /M e lunghezze l i =l i/ adimensionali, per le quali vale ancora l equazione (6.3.8).

9 54 6. Corda elastica c e y N = y N+ implicano u N+ = 0 e u N+ = u N e quindi P N (λ) = 0, Q N (λ) = 0. Detti λ j e µ j gli i rispettivi autovalori scriviamo P N (λ) = N ) ( λλj, Q N (λ) = N ) ( λµj (6.3.3) l l j= e normalizzazioni /l e /l che esprimono il valore dei polinomi caratteristici in λ = 0 si ricavano osservando che Q n (0) = Q 0 = /l e che P n (0) P n (0) = l n+ /l da cui segue P n (0) = (l + l l n+ )/l j= Problema inverso Non è difficile provare che la conoscenza degli autovalori λ,...,λ N e µ,...,µ N determina in in modo univoco le masse m,...,m N della corda e le loro distanze all equilibrio l,...,l N+ e di conseguenza l nota la lunghezza della corda. a chiave di volta è lo sviluppo di P N (λ)/q N (λ) in frazione continua. Riscriviamo la ricorrenza (6.3.5) per i rapporti P n /Q n e Q n /P n nella seguente forma P n (λ) Q n (λ) = P n (λ) + l n+, Q n (λ) Q n (λ) P n (λ) = Q n (λ) P n (λ) λm n, (6.3.4) per n =,...,N. Partendo da n = N otteniamo da (6.3.7) una ricorrenza tra P N /Q N e P N /Q N P N (λ) Q N (λ) = l N+ + P N Q N (λ) = l N+ + λm N + Q (6.3.5) N (λ) P N (λ) che iterata genera la rappresentazione di P N /Q N come frazione continua i cui coefficienti sono le masse e le distanze tra i punti all equilibrio Possiamo quindi scrivere le due diverse rappresentazioni in cui compaiono, da una parte i parametri meccanici della corda, dall altra gli autovalori dei due diversi problemi al contorno. N P N (λ) Q N (λ) = j= ( λ λj ) ( λ µ j ) = l N+ + λm N + l N (6.3.6) λm + l Tramite algoritmi ricorrenti a partire dai polinomi P N e Q N si determinano in modo esatto i coefficienti della frazione continua e quindi le masse m i e le costanti elastiche k i = Y/l i della corda. Il risultato si estende alla corda continua, per la quale si prova che gli spettri di autovalori per le due distinte condizioni al contorno determinano univocamente le proprietà elastiche della corda.