Sintesi diretta. (Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco)

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1 Sintesi diretta (Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco) La tecnica di progetto denominata sintesi diretta ha come obiettivo il progetto di un controllore C(s) il quale assicuri che la funzione di trasferimento di ciclo chiuso W (s) sia uguale ad una desiderata funzione di trasferimento W des (s) che soddisfi opportune specifiche. Si consideri a tal proposito il classico schema di controllo a controreazione unitaria y des (t) C(s) d(t) P(s) y(t) Figura : Controllo a ciclo chiuso. in cui è nota la funzione di trasferimento P (s) del processo. inizialmente d(t) = 0. Poichè Si ipotizzi imponendo W (s) = C(s) P (s) C(s) P (s) e risolvendo rispetto a C(s) si ricava C(s) = W (s) = W des (s) () W des (s) P (s) ( W des (s) ) (2) Dall espressione (2) si osserva subito che C(s) è proporzionale al reciproco di P (s); il controllore quindi cancella i poli e gli zeri di P (s) sostituendoli con i propri in modo tale che la () risulti soddisfatta. Da quanto ora illustrato si comprende che, nota la W des (s), il calcolo di C(s) è estremamente semplice.

2 Sintesi diretta. Prof. Giuseppe Fusco 2 La W des (s) non può però essere assegnata in modo arbitrario; in primo luogo deve garantire due requisiti fondamentali: la causalità del controllore e la stabilità interna d anello. La causalità del controllore impone che il grado relativo di C(s) sia non negativo, ovvero che il grado n c del polinomio a denominatore di C(s) sia non inferiore al grado m c del suo polinomio a numeratore. Indicando con C(s) = N c(s) D c (s) dalla (2) si ottiene P (s) = N p(s) D p (s) N w des (s) D wdes (s) C(s) = il cui grado relativo vale che risulta positivo o nullo se N wdes (s) D p (s) N p (s) ( D wdes (s) N wdes (s) ) n c m c = m p n wdes (m wdes n p ) n wdes m wdes n p m p (3) La condizione (3) impone quindi un vincolo sulla scelta del grado relativo della W des (s) che non può essere inferiore al grado relativo di P (s). Per quanto riguarda invece il problema di garantire la stabilità interna d anello, è necessario che i poli e/o zeri di P (s) che il controllore cancella siano solo quelli a parte reale strettamente negativa. Se si cancellassero poli e/o zeri a parte reale non negativa, sarebbe compromessa la stabilità interna, anche se la W des (s) è scelta asintoticamente stabile. Gli zeri e/o poli di P (s) a parte reale positiva o nulla non vengano cancellati se permangono nella funzione di trasferimento d anello aperto F (s) = C(s) P (s) = W des(s) N (s) wdes D wdes (s) N wdes (s) Pertanto, ogni zero di P (s) a parte reale maggiore o uguale a zero non viene cancellato da C(s) se è radice anche di N wdes (s). Indicando con z i tale zero di molteplicità µ i, deve quindi risultare

3 Sintesi diretta. Prof. Giuseppe Fusco 3 d j ds j W des(s) s=zi = 0 j =... µ i (4) Analogamente, ogni polo di P (s) a parte reale maggiore o uguale a zero non viene cancellato da C(s) se è radice anche di D wdes (s) N wdes (s). Indicando con p i tale polo di molteplicità ν i, deve risultare d j ds j ( Wdes (s) ) s=pi = 0 j =... ν i (5) Una volta garantiti i due requisiti fondamentali, si può passare al problema di fare in modo che la W des (s) soddisfi le specifiche assegnate. Se si richiede l inseguimento di segnali desiderati a gradino, rampa lineare e sinusoide, o la reiezione di disturbi d(t) con trasformata di Laplace funzione razionale fratta, in base al principio del modello interno, è necessario che la funzione di trasferimento d anello aperto F (s) = W des(s) W des (s) abbia tra i suoi poli i poli della funzione di trasferimento del segnale desiderato da inseguire o del disturbo da reiettare. Indicando con Q(s) il polinomio a denominatore di tale funzione di trasferimento e ricordando le trasformate di Laplace di tali segnali, risulta: Q(s) = s (gradino) allora W des (0) = 0 Q(s) = s 2 (rampa) allora W des (0) = 0, d ds W des(s) = 0 s=0 Q(s) = s 2 ˆω 2 (sinusoide) allora W des (±ȷˆω) = 0. Si noti che la specifica di errore nullo a regime permanente per segnale desiderato a gradino è analoga alla condizione che previene la cancellazione di un eventuale polo semplice in s = 0 di P (s), si veda a tal proposito la (5). Infatti tale specifica richiede che F (s) abbia almeno un polo in s = 0, sistema di tipo uno. Tale polo se presente in P (s) non deve essere cancellato. Se invece P (s) non ha poli nell origine, la condizione W des (0) = 0 impone un polo nell origine nella funzione di trasferimento del controllore. Se inoltre si richiede errore finito e non nullo per riferimento a rampa lineare si deve imporre (6)

4 Sintesi diretta. Prof. Giuseppe Fusco 4 e = dw des(s) ds = s=0 m Wdes i= n Wdes z w,i i= p w,i e,max (7) dove z w,i e p w,i rappresentano rispettivamente gli zeri ed i poli della W des (s). A questo punto la W des (s) viene assegnata nella forma m p i ( ) (s z i ) µ i βl s l β s β 0 D wdes (s) in cui m p è il numero di zeri non cancellabili di P (s) che in accordo alla (4) devono essere zeri anche di W des (s), l = l l 2 dove l è il numero di condizioni da imporre per prevenire la cancellazione dei poli di P (s) a parte reale nulla o positiva come richiesto dalla condizione (5), l 2 è il numero di condizioni da imporre per soddisfare le specifiche di regime permanente e D wdes (s) è un qualsiasi polinomio stabile le cui radici vengono scelte in base alle specifiche transitorie assegnate ed il cui grado n wdes deve soddisfare la (3) che in questo caso diventa n wdes n p m p i= µ i l l 2 dove m p è il numero di zeri distinti a parte reale negativa di P (s). È altresì importante chiarire che se la condizione di non cancellazione di un polo nell origine di P (s) è portata in conto in l, l analoga condizione di errore nullo a regime permanente per un riferimento a gradino non deve essere portata in conto in l 2. Nel caso in cui P (s) ha grado relativo non superiore a due e presenta tutti i poli e zeri a parte reale negativa, ad eccezione di un polo semplice nell origine, la W des (s) può essere assegnata nella seguente forma standard 2 ζ s ω n s2 ω 2 n È pertanto possibile legare coefficiente di smorzamento ζ e pulsazione naturale ω n ai valori della sovraelongazione e della banda passante a 3 db richiesti dalle specifiche, in accordo alle ben note relazioni

5 Sintesi diretta. Prof. Giuseppe Fusco 5 πζ s% = 00 e ζ 2 2 πb 3 = ω n 2 ζ ζ 2 4 ζ 4 Per quel che riguarda il soddisfacimento di specifiche a regime, la forma standard assicura errore nullo per riferimento a gradino ed errore finito e non nullo per riferimento a rampa lineare. In questo caso la condizione (7) diventa e = dw des(s) ds = 2 ζ e,max (8) s=0 ω n Se la scelta di ζ ed ω n non soddisfa la (8) si può adottare il seguente modello standard comprensivo di uno zero In questo caso la condizione (7) diventa s ζ ω n λ 2 ζ s s2 ω n ωn 2 e = dw des(s) ζ λ 2ζ = e,max ds s=0 ω n in cui il parametro λ viene calcolato in modo da soddisfare il seguente vincolo 2 ζ 2 < λ 2 ζ 2 e,max ω n ζ É interessante notare che se si pone λ = 2 ζ 2 si ottiene e = 0. Infatti applicando la (6) si ha F (s) = ω n (2 ζ s ω n ) s 2 (9)

6 Sintesi diretta. Prof. Giuseppe Fusco 6 e quindi il sistema risulta di tipo 2. Pertanto se P (s) non ha polo nell origine, C(s) ne avrà due; se viceversa P (s) ha un polo nell origine, l altro sarà in C(s). Il sistema risulterà quindi astatico rispetto a disturbi d(t) costanti. Se il grado relativo di W des (s) in (9) non soddisfa la (3), è necessario aggiungere alcuni poli fuori banda fino a raggiungere il grado realtivo di P (s). Si ha quindi s ζ ω n λ ( 2 ζ s ) r )( s2 sω0 ω n ωn 2 con ω 0 0 (2 πb 3 ). È utile precisare che in questo caso và ricalcolato il valore del parametro λ che consente di soddisfare il vincolo sull errore a regime permanente per riferimento a rampa lineare. Infatti in questo caso và tenuto in conto la presenza del termine ω 0 nel calcolo della derivata prima della W des (s) in accordo alla (7). In definitiva adottando la forma standard con l aggiunta di poli ad alta frequenza, il vincolo sul grado relativo è soddisfatto ed il comportamento dinamico di W des (s) non differisce sensibilmente da quello del secondo ordine (modello a poli dominanti). Infine è da notare che, differentemente dalla tecnica di progetto di sintesi per tentativi, il metodo di sintesi diretta si configura come un metodo sistematico per controllare in retroazione un qualunque processo, anche instabile.