Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori

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1 A Richimi sui vettori Richimimo lcune definizioni e proprietà dei vettori, senz ssolutmente pretendere di drne un trttzione mtemticmente complet. Lvoreremo sempre in uno spzio crtesino (euclideo) tre dimensioni, che rppresent lo spzio in cui vivimo e nel qule voglimo dre un descrizione delle leggi fisiche. Per semplicità e per fcilitre l rppresentzione grfic, molto spesso i disegni srnno limitti un pino crtesino bidimensionle (l terz coordint srà in quei csi null, o sottintes). Le coordinte di un punto nello spzio crtesino tridimensionle sono tre numeri reli (,, z) che rppresentno le distnze per esempio misurte in metri del punto di tre pini coordinti tr loro perpendicolri, scelti come riferimento. Nel pino bidimensionle le coordinte (, ) di un punto P rppresentno le distnze del punto dgli ssi coordinti, scelti convenzionlmente. A.1 Segmenti orientti e vettori Un segmento nello spzio è univocmente individuto dlle coordinte dei suoi estremi, dto che per due punti pss un sol rett. Il segmento vente per estremi i punti A e B, di solito indicto con [AB], è quindi individuto d due triplette di numeri: ( A, A, z A ), ( B, B, z B ). Un segmento si dice orientto se quest coppi di punti viene specifict con un ordine, ossi se viene specificto un primo e un secondo punto, o nche un punto di prtenz e un punto di rrivo. Il segmento orientto che h come primo punto A e come secondo punto B si indic in genere con AB Due segmenti orientti AB e A B si dicono equipollenti se i segmenti [AA ] 4 [BB ] che uniscono tr loro primi estremi e i loro secondi estremi sono prlleli e di ugule lunghezz, cosicché il qudriltero ABB A si un prllelogrmm. In ltre prole i due segmenti orientti AB e A B hnno l stess lunghezz, l B A B A stess direzione (sono prlleli) e lo stesso verso. Si può dimostrre fcilmente che questo è vero se e solo se B A = B A 1

2 B A = B A z B z A = z B z A L equipollenz tr segmenti orientti è un cosiddett relzione di equivlenz perché gode delle proprietà riflessiv, simmetric e trnsitiv. In mtemtic si dimostr che le relzioni di equivlenz suddividono l insieme di prtenz (in questo cso quello di tutti i possibili segmenti orientti) in sottoinsiemi disgiunti detti clssi di equivlenz. Chimimo vettore ciscun clsse di equivlenz di segmenti orientti equipollenti, e sceglimo per rppresentrl quello tr tutti i segmenti equipollenti che h come primo punto l origine degli ssi crtesini. In prtic, definimo vettore un segmento orientto OP che h il primo estremo nell origine degli ssi, ed è quindi individuto solo dlle coordinte del secondo estremo P, ( P, P, z P ), che chimimo componenti crtesine del vettore nel sistem di ssi convenzionlmente scelto, e lo sceglimo come rppresentnte di tutti i segmenti orientti esso equipollenti. Convenzionlmente i vettori si indicno con lettere sormontte d un frecci o d un triplett di numeri che ne rppresentno le componenti: (,, z ) Il modulo di un vettore si indic generlmente con o con, ed è semplicemente l lunghezz del segmento orientto che rppresent il vettore, ottenut dl teorem di Pitgor: = z Osservimo che, dto un vettore fissto nello spzio (possimo pensrlo come un frecci disegnt un volt per tutte sul pvimento, per esempio), le sue 2

3 componenti dipendono d come sceglimo gli ssi crtesini: se per esempio sceglimo l sse prllelo ll frecci, il vettore vrà solo componente divers d zero, mentre in generle vrà tutte e tre le componenti diverse d zero per un scelt qulunque dell orientzione delgi ssi crtesini. Dto un vettore, specificto dlle sue componenti crtesine un volt scelt l orientzione degli ssi, è possibile spere quli srebbero le sue componenti per un qulunque ltr scelt di ssi: ci sono regole precise per clcolrle in mnier univoc, che noi non ffronteremo qui. È intuitivo, m si può dimostrre mtemticmente usndo le regole sopr citte, che il modulo di un vettore dto non dipende dll orientzione degli ssi crtesini scelt. A.2 Operzioni sui vettori: somm L somm tr due vettori è definit dll regol punt-cod o, equivlentemente dll regol del prllelogrmm: il vettore c = + b si ottiene fcendo coincidere il punto di prtenz di un segmento orientto che rppresent secondo vettore con il punto di rrivo di un segmento orientto che rppresent il primo (si trtt di un definizione intuitiv se pensimo i vettori come spostmenti d un punto un ltro: spostndosi prim d A B e poi d B C si ottiene lo spostmento totle AB. È fcile vedere che l definizione coincide con l regol del prllelogrmm: prendendo i due segmenti orientti con l stess origine, quello che rppresent il vettore somm h come punto di prtenz l origine e come punto di rrivo il vertice opposto ll origine nel prllelogrmm costruito prtire di due segmenti orientti. È immedito (lmeno per i vettori che gicciono nel pino, ) che il vettore somm h come componenti l somm delle componenti dei vettori di prtenz: c = + b c = + b c z = z + b z 3

4 b b c = + b b L somm tr vettori gode dell proprietà commuttiv e dell proprietà ssocitiv (essenzilmente perché, per ciscun componente, si trtt dell comune somm tr numeri reli) + b = b + + ( b + c) = ( + b) + c A.3 Operzioni sui vettori: moltipliczione per un numero Altrettnto intuitiv è l operzione di moltipliczione di un vettore per un numero, che discende dll estensione dell nozione di moltipliczione per un numero intero come somm di un dto numero di ddendi uguli: n = (n z, n, n z ) L moltipliczione di un vettore per un numero rele k dà come risultto un vettore prllelo quello di prtenz, le cui componenti sono quelle di prtenz moltiplicte per k. k = k(,, z ) = (k, k, k z ) h Notimo che se k = 1 il vettore semplicemente cmbi verso. Inoltre, si k = k A.4 Versori e bse ortonormle Si chim versore un vettore di modulo ugule 1 (dunque, crtterizzto solo d un direzione e d un verso); in genere lo si indic con un letter sormontt 4

5 d un ccento circonflesso. Dto un qulunque vettore, possimo ottenere il versore che ne specific direzione e verso semplicemente moltiplicndolo per l inverso del suo modulo: â = 1 che possimo riscrivere come = â dove bbimo usto l notzione più legger per il modulo di un vettore. Possimo dunque sempre esprimere un vettore come il prodotto tr un numero positivo (il modulo) e un versore (che rppresent direzione e verso). Un prticolre importnz rivestono i versori diretti lungo gli ssi crtesini,, z, indicti convenzionlmente con ˆ, ŷ, ẑ o con î, ĵ, ˆk. Si dice che i tre versori, univocmente individuti un volt scelt l orientzione degli ssi crtesini, costituiscono un bse ortonormle (o tern ortonormle): si trtt di tre vettori perpendicolri l uno ll ltro (tern ortogonle), e tutti di modulo unitrio (o normlizzti ). D qunto bbimo visto finor è fcile dedurre che qulunque vettore può essere scritto come somm di tre vettori diretti lungo gli ssi coordinti, ciscuno scrivibile come il versore corrispondente moltiplicto per l componente del vettore lungo quell sse. = ŷ ŷ ˆ = ˆ Nel pino = + = ˆ + ŷ Nello spzio tridimensionle = ˆ + ŷ + z ẑ 5

6 A.5 Operzioni sui vettori: prodotto sclre Le operzioni viste finor (somm, prodotto per un numero) hnno come risultto un vettore. Il prodotto sclre invece oper tr due vettori e h come risultto un numero rele. 1 Indichimo il prodotto sclre tr due vettori e b con un puntino tr i due simboli di vettore, e lo definimo essere ugule l prodotto dei moduli moltiplicto per il coseno dell ngolo compreso tr i due vettori. b b cos α Notimo che, grzie quest definizione, il prodotto sclre di due vettori dti, pensti fissi nello spzio, non dipende dll orientzione (rbitrri) degli ssi crtesini, perché è solo funzione dei moduli dei vettori e dell ngolo compreso tr i due. 2 Possimo quindi prendere per esempio l sse prllelo l vettore b, che vrà componenti (b, 0, 0), dove l componente b coincide con il modulo b, e il vettore nel pino,, come in figur. α = cosα b In questo cso vedimo che b = b cos α = b. Il prodotto sclre tr due vettori è ugule l modulo di uno dei due moltiplicto per l componente dell ltro lungo l sse individuto dl primo. 1 Ricordimo che stimo sempre prlndo di vettori nello spzio crtesino R 3 costituiti d triplette di numeri reli. In fisic questi numeri srnno poi interpretti come vlori numerici di grndezze dimensionli, per esempio lunghezze, velocità, forze. In questo cso ndrnno pensti moltiplicti per un unità di misur, per esempio il metro. Il vettore (1, 0, 0) di R 3 divent un vettore spostmento se moltiplicto per esempio per l unità di misur m (metri), e significherà uno spostmento di un metro in direzione. 2 È proprio quest l definizione di sclre: un quntità che non dipende dll orientzione convenzionle degli ssi crtesini usti per descrivere le componenti dei vettori. 6

7 Dti due vettori di modulo fissto, il loro prodotto sclre è mssimo qundo sono prlleli, minimo qundo sono ntiprlleli (stess direzione m verso opposto), ed è nullo qundo i due vettori sono perpendicolri. Notimo nche che, per definizione, il modulo qudro di un vettore (modulo elevto l qudrto) è dto dl prodotto sclre di un vettore con sé stesso, dl momento che in quel cso cos α = 1 = cos 0 = 2 A.6 Proprietà del prodotto sclre Osservimo che il prodotto sclre gode delle seguenti proprietà: Proprietà commuttiv: b = b come si vede immeditmente dll definizione e dl ftto che l moltipliczione di numeri reli gode dell stess proprietà. Proprietà distributiv rispetto ll somm: ( + b) c = c + b c come si può vedere geometricmente dll definizione di somm con il metodo punt-cod β b α + b c = cosα b = b cosβ Inftti, come bbimo ppen visto, orientndo opportunmente gli ssi il prodotto sclre ( + b) c è ugule l modulo di c moltiplicto per l 7

8 componente del vettore + b. M quest è ugule ll somm + b. Dunque ( + b) c = c ( + b ) = c + c b = c + b c Linerità rispetto ll moltipliczione per un numero (evidente dll definizione): (k ) b = k( b) A.7 Prodotto sclre prtire dlle componenti Le proprietà del prodotto sclre ci permettono di clcolre il vlore di b componenti dei due generici vettori e b. Per trovre l espressione scrivimo innnzitutto ciscun vettore scomponendolo lungo gli ssi crtesini. Abbimo b = (ˆ + ŷ + z ẑ) (b ˆ + b ŷ + b z ẑ) Sviluppndo il prodotto ottenimo nove termini b = b ˆ ˆ+ b ˆ ŷ+ b z ˆ ẑ+ b ŷ ˆ+ b ŷ ŷ+ b z ŷ ẑ+ z b ẑ ˆ+ z b ẑ ŷ+ z b z ẑ ẑ Osservndo che ˆ ˆ = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 1 (dto che il modulo qudro di un versore è 1 per derinizione) e che ˆ ŷ = ˆ ẑ = ŷ ẑ = 0 (dt l mutu perpendicolrità dei versori scelti) ottenimo l espressione b = b + b + z b z che è esttmente equivlente ll definizione in termini di moduli e coseno dell ngolo compreso, m è spesso molto più comod d usre. Esempi 1. Nel pino, voglimo trovre tutti i vettori perpendicolri l vettore = (1, 2). Cerchimo un vettore di tipo b = (, ) tle che b = 0. Scrivendo il prodotto sclre prtire dlle componenti trovimo che si deve vere + 2 = 0 I vettori cercti sono tutti quelli in cui l coordint del punto di rrivo (prendendo come punto di prtenz l origine) è legt ll coordint dll relzione scritt sopr: si trtt di tutti i punti che gicciono sull rett di equzione = Voglimo trovre l ngolo formto dll digonle di un cubo con uno degli spigoli. Osservimo che i tre versori ˆ, ŷ e ẑ sono disposti lungo tre spigoli di un cubo di lto 1 che h uno dei vertici nell origine degli ssi. Non è difficile convincersi che il vettore d = ˆ+ŷ +ẑ = (1, 1, 1) è diretto lungo l 8

9 digonle del cubo che prte dll origine. Voglimo quindi trovre l ngolo compreso tr d e uno dei versori di bse, per esempio ẑ. Il prodotto sclre d ẑ è fcilmente clcolbile usndo le componenti, o ricordndo le proprietà di ortonormlità dei versori di bse. d ẑ = ˆ ẑ + ŷ ẑ + ẑ ẑ = 1 M sppimo nche che, per definizione, d ẑ = d ẑ cos α = d cos α dove α è l ngolo cercto. Il modulo del vettore d vle d = d 2 + d 2 + d 2 z = = 3 Dunque d cui d ẑ = 3 cos α = 1 α = rccos 1 3 9