Meccanica dei Solidi. Vettori

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1 Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope Lezione 2 Vettori

2 Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero (intensità), nche d un direzione e d un verso Rppresentzione grfic Il vettore è rppresentile per mezzo di un frecci, l cui lunghezz è proporzionle ll intensità

3 Esempi: Distnz orientt Distnz orientt (o spostmento) d un punto A d uno B B Velocità di un punto mterile Accelerzione di un punto mterile A Forz

4 Due vettori sono eguli se hnno gli stessi: Uguglinz tr vettori intensità (modulo) direzione verso In lcuni csi è importnte nche il punto di ppliczione (o l rett di zione) del vettore (vettori pplicti). E il cso delle forze.

5 Rppresentzione simolic Nell mito del Corso, il vettore è indicto con un letter minuscol in grssetto (d esempio, ). L intensità del vettore viene indict con l stess letter in corsivo (d esempio, ). L intensità di un vettore h spesso un dimensione fisic: Spostmento o Distnz = [ L] Velocità = [ L T -1 ] Accelerzione = [ L T -2 ] Forz = [ M L T -2 ]

6 Invrinz del vettore un grndezz vettorile non è influenzt dll scelt del sistem di riferimento Rppresentzione grfic Le leggi dell fisic devono godere dell proprietà di indipendenz dl sistem di riferimento. Perciò sono spesso espresse fcendo riferimento vettori e tensori (che vedremo dopo)

7 Somm di vettori Due vettori dello stesso tipo (forze, spostmenti, velocità, ecc.) sono ddizionili. L somm di due vettori e è un vettore c c = + c Se il vettore è rpresentto con un frecci vente origine coincidente con l punt del vettore, il vettore c è rppresentto d un frecci che unisce l inizio del vettore con l punt del vettore. Il modulo del vettore c non è pri, in genere, ll somm dei moduli dei vettori e

8 Proprietà dell Somm Proprietà commuttiv + = + c Il risultto dell somm di due vettori non dipende dll ordine dei vettori

9 Proprietà ssocitiv d = + + c = c = ( + ) + c = + ( + c) d L somm di tre vettori, e c è pri ll somm dei vettori ( + ) e c, o dei vettori + ( + c)

10 Differenz di due vettori L differenz di due vettori e è un vettore c c = = + (- ) pri ll somm del vettore, e di un vettore (- ) vente stess direzione e modulo del vettore, m verso opposto. c -

11 Prodotto di un vettore per uno sclre Il prodotto del vettore per uno sclre k è il vettore c: vente: c = k L stess direzione di ; k > 0 c Modulo pri c = k Verso ugule d se k > 0 c k < 0 Verso opposto se k < 0

12 Vettore unitrio (o versore) Un vettore di lunghezz (intensità) unitri viene detto vettore unitrio o versore û. Un vettore, vente l stess direzione e lo stesso verso di û, può essere posto pri : = û û z k in cui è il modulo di I versori di un sistem di ssi crtesini x, y e z si indicno con i, j e k x i j y

13 Componenti del vettore: Con riferimento d un tern crtesin x, y, z (con versori i, j e k), è possiile definire le tre componenti (proiezioni), x, y e z, di un vettore. z z Risult: x y y = x i + y j + z k x k Applicndo Pitgor: 2 = x 2 y 2 z Versori degli ssi i j

14 Componenti del vettore: Le componenti del vettore sono pri : x y z = cos( α ) x = cos( α ) y = cos( α ) z α x z α z α y y in cui con α si sono indicti gli ngoli formti d con gli ssi coordinti. I tre coseni sono detti coseni direttori di x Versori degli ssi k j i

15 Somm di due vettori E fcile dimostrre che il vettore c, somm dei vettori e, vrà componenti: z c c x = x + x c y = y + y x y z y c z = z + z x

16 Nel cso dei vettori si definiscono due prodotti: prodotto sclre e prodotto vettorile Prodotto sclre Il prodotto sclre tr due vettori e è uno sclre s pri : s = = cos(θ) θ Ovvimente risult = Proprietà commuttiv

17 Prodotto sclre Il prodotto sclre tr due vettori e : s = = cos(θ) può essere nche interpretto come il prodotto tr il modulo di e l proiezione ( cos(θ)) di su θ o vicevers

18 Proprietà del prodotto sclre Θ = π/2 Il prodotto sclre tr due vettori ortogonli è ovvimente nullo (cos (π/2) = 0) = 0 Per θ < π/2, il prodotto sclre è positivo Θ < π/2 > 0 Per θ > π/2, il prodotto sclre è negtivo Θ > π/2 < 0

19 Proprietà del prodotto sclre Proprietà distriutiv: ( + c) = + c c Inftti, l somm delle proiezioni di e c è pri ll proiezione del vettore somm ( + c) c ( + c) ( + c) = + c

20 Prodotto sclre Il prodotto sclre tr due vettori e può essere scritto: z ( i + j + k) ( x y Poichè z x i + y j + z k) i i = j j = k k = 1 e x y z y i j = j k = i k = 0 x = x x + y y + z z

21 Il prodotto sclre si utilizz, d esempio, per clcolre il lvoro W effettuto d un forz F per uno spostmento s: Nel cso di spostmento lungo un percorso curvilineo, si può definire il lvoro infinitesimo dw = F ds = F ds cos(θ) Il lvoro W è dto dll integrle curvilineo lungo il percorso s W = F s = F s cos(θ) W = F ds s θ F ds F

22 Prodotto vettorile Il prodotto vettorile tr due vettori e è un vettore c c = ortogonle l pino cui pprtengono i vettori e, di modulo pri : c = sen(θ) c Per convenzione il vettore c vrà verso tle che l tern di vettori, e c risulti levogiro come in figur. Di conseguenz = - ( ) θ

23 Prodotto vettorile Il prodotto vettorile tr i versori i, j e k di un tern di ssi ortogonli x, y e z risult: i i = j j = k k = 0 k j i j = k j i = -k j k = i k j = -i k i = j i k = -j i

24 Prodotto vettorile c Sviluppndo il prodotto vettorile tr vettori e si ottiene c = = θ = ( y z - z y )i + ( z x - x z )j + ( x y - y x )k z y x

25 Prodotto vettorile Il prodotto vettorile gode dell proprietà distriutiv ( + c) = ( ) + ( c) c Il prodotto vettorile non gode dell proprietà ssocitiv ( c) ( ) c

26 Cmpi vettorili Spesso si f riferimento grndezze esprimili ttrverso vettori che vrino nello spzio e, eventulmente, nel tempo ttrverso un funzione vettorile: = (x,y,z,t) Si trtt di cmpi vettorili. Esempi: Velocità di filtrzione dell cqu nel terreno; Flusso di clore in un continuo Ecc. Cmpi stzionri Un cmpo vettorile si dice stzionrio (o permnente) se il vettore vri nello spzio, m non nel tempo. Un cmpo vettorile è non stzionrio qundo l funzione vri nel tempo. Richimi di Anlisi I e II. Opertori divergenz e grdiente

27 Notzione indicile Spesso, per comodità, si f riferimento d un sistem ortogonle di ssi crtesini individuti come x 1, x 2, x 3, con versori i 1, i 2, i 3 x 3 Con quest notzione le componenti del vettore sono indicte on 1, 2, x 2 In notzione indicile il simolo i è utilizzto per indicre sinteticmente tutte e tre le componenti. x 1

28 Convenzione dell somm Nell notzione indicile l ripetizione del pedice equivle sommre x 3 Esempio i i = x 1 3 x 2 kk = Vlid per i tensori

29 Rotzione del sistem di riferimento Le componenti v i del vettore v reltive l nuovo sistem x i sono pri : x 3 x 3 v x 2 v i = ij v j x 2 In cui vj sono le componenti del vettore reltive l sistem x j, ed ij sono i coseni direttori di x i rispetto x j x 1 x 1

30 Vettori pplicti Un vettore pplicto è costituito d un vettore u e un punto di ppliczione A. Si può indicre con: (A, u) M T x 3 T h θ u Si definisce Momento polre di un vettore pplicto (A, u) rispetto d un punto T il vettore M T M T = (A-T) u A Il modulo M T srà pri : x 2 M T = u h x 1

31 Risultnte e Momento risultnte di un sistem di vettori pplicti Considerndo un sistem di vettori pplicti (A i, u i ) si definisce risultnte R dei vettori u i il vettore M Ti T u i x 3 R n = u i 1 Si definisce Momento risultnte dello stesso sistem rispetto d un punto T il vettore M T M Tj A j A i u j n M T = M Ti 1 x 2 x 1

32 Coppi di vettori pplicti Si definisce coppi di vettori pplicti il sistem costituito d due vettori (A 1, u) e (A 2, -u), vente risultnte R nullo M A 2 u R = 0 x 3 e momento risultnte vettore M, indipendente dl polo: -u A 1 M = (A 1 -A 2 ) u x 2 x 1

33 Equivlenz di sistemi di vettori pplicti Due sistemi di vettori Σ e Σ si dicono equivlenti se hnno lo stesso risultnte R = R e lo stesso momento risultnte M T = M T rispetto d ogni generico polo T E possiile dimostrre che due sistemi di vettori con ugule risultnte R ed ugule momento rispetto d un polo O, vrnno ugule momento rispetto d ogni ltro polo T: M T = M O + (O-T) R = M O + (O-T) R= M T

34 Equivlenz di un sistem di vettori pplicti Ogni sistem di vettori Σ è equivlente l suo risultnte R n = u i 1 pplicto in un punto T e d un coppi pri l Momento dei vettori clcolto rispetto T n M = T M T i 1