Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva.

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1 Approssimzione numeric di: Motivzioni. Integrzione numeric I(f) = f(x)dx. Non sempre si riesce trovre l form esplicit dell primitiv. Vlutzione costos dell primitiv. L funzione d integrre può essere dt non in form nlitic, m solo per punti. Formule di qudrtur. In generle: se f è un pprossimzione di f I(f) I( f). I(f) := x i :nodi, α i :pesi, i = 1,..., n. f(x)dx n Ĩ(f) := f(x i )α i Dunque l integrle definito si pprossim medinte un formul di qudrtur che è dt dll combinzione linere di vlori dell funzione (ed eventulmente in formule più complesse nche delle derivte) in punti opportuni (nodi), moltiplicti per dei coefficienti opportuni (pesi). Definizione. Si definisce grdo di precisione di un formul di qudrtur il mssimo intero r 0 tle che Ĩ(f) = I(f), f P r. Si può dimostrre che un formul di qudrtur h grdo di precisione r I(x k ) =Ĩ(xk ), k = 0, 1,..., r. Si osservi che r = 0 n α i = (b ). Formule di qudrtur di tipo interpoltorio. ( b n ) Ĩ(f) = Π n 1 (x)dx = L i (x)f(x i ) dx = α i = L i (x)dx (L i = n j i n f(x i ) L i (x)dx x x j x i x j : polinomi di Lgrnge). 1

2 Formule perte: < x 1 < x <... < x n 1 < x n < b. Formule chiuse: = x 1 < x <... < x n 1 < x n = b. Formule di qudrtur di Newton-Cotes (nodi equidistnti) Formule perte: h = b n+1, x i = + ih, i = 1,..., n. Formule chiuse: h = b n 1, x i = + (i 1)h, i = 1,..., n, con = x 1 e b = x n. Formul del punto medio (pert, n = 1): Are di un rettngolo. f = π 0, x 1 = + b, α 1 = (b ) ( ) b + I(f) ĨP M (f) := (b )f I(f) ĨP M (f) = (b )3 f () (t), t (, b), 4 se f C, b]. Formul dei trpezi (chius, n = ): Are di un trpezio. f = π 1, x 1 =, x = b, α 1 = α = b I(f) ĨT (f) := b f() + f(b)] I(f) ĨT (f) = (b )3 f () (t), t (, b), 1 se f C, b]. Formul di Cvlieri-Simpson (chius, n = 3): Are di un segmento prbolico. f = π, x 1 =, x = + b, x 3 = b, α 1 = α 3 = b 6, α = 4 6 ( ] b + I(f) ĨCS(f) := b 6 f() + 4f ) + f(b) I(f) ĨCS(f) (b )5 = 880 f (4) (t), t (, b), se f C 4, b]. (b ) Formule di qudrtur di Newton-Cotes composite. Le formule di qudrtur composite, che sono le formule più comunemente uste, si definiscono operndo un preliminre suddivisione dell intervllo di integrzione, b] in sottointervlli e, utilizzndo l proprietà dditiv dell integrle, si scrive l integrle ssegnto come un somm di integrli definiti su ciscun intervllo dell suddivisione e si pprossimno tli integrli definiti medinte

3 formule di qudrtur semplici. I motivi che suggeriscono l introduzione delle formule composite sono sostnzilmente gli stessi che suggeriscono l introduzione dell interpolzione composit. Posto M 1: H = b M, i = + ih, i = 0,..., M, = 0, b = M. (M = 1 Formule di qudrtur semplici). Formul del punto medio composit Ĩ (c) P M M = H f ( i H ) Errore: I(f) Ĩ(c) P M = I(f) Ĩ(c) P M = b 4 H f () (η), η (, b) (formul clssic) H 4 f (1) (b) f (1) ()] (formul sintotic). Formul dei trpezi composit Ĩ (c) T = H f( i 1 ) + f( i )] = H f() + f(b) + M 1 f( i ) ] Errore: I(f) Ĩ(c) T = b 1 H f () (η), η (, b) (formul clssic) I(f) Ĩ(c) T = H 1 f (1) () f (1) (b)] (formul sintotic). Formul di C. Simpson composit Errore: Ĩ (c) CS = H 6 H 6 f() + f(b) + ( f( i 1 ) + 4f i H ) ] + f( i ) = M 1 f( i ) + 4 f ( i H ) ] 3

4 I(f) Ĩ(c) CS = I(f) Ĩ(c) CS = b 880 H4 f (4) (η), η (, b) (formul clssic) H4 880 f (3) () f (3) (b)] (formul sintotic). 4

5 Trcci dell dimostrzione dell stim dell errore per l formul dei trpezi compositi. Prtendo dll stim dell errore per l formul dei trpezi (semplice): f(x)dx ĨT (f) = (b )3 f () (ξ), ξ (, b), 1 f C, b], e pplicndol ciscun sottointervllo j 1, j ], con H = j j 1, si h f(x)dx H f( j 1 + f( j )] = ) ( H3 f (ξ j ), ξ j j 1, j ]. 1 D qui in poi si può procedere in due diversi modi che portno lle due diverse stime: 1. Stim clssic. = H3 1 f (ξ j ) = 1 (b ) 3 1 M 3 f (ξ j ) = 1 (b ) 1 M (b ) 1 M f (ξ j ) Si osserv: Sommndo rispetto j = 1,..., M: min f (x) f (ξ j ) mx f (x), x,b] x,b] j M min x,b] f (x) min f (x) 1 f (ξ j ) x,b] M }{{} F f (ξ j ) M mx x,b] f (x) mx x,b] f (x) Nell ipotesi che f C, b], llor f C 0, b], dunque ξ, b] tle che f (ξ) = F. Inftti grzie ll ipotesi di continuità di f, si h che f ssume in lmeno un punto dell intervllo (qui bbimo definito il punto con l vribile ξ) un qulsisi vlore compreso fr il minimo e il mssimo vlore ssunto d f nell intervllo (che qui bbimo definito con l vribile F ). Concludendo si h: 1 (b ) 1 M (b ) 1 f (ξ j ) M }{{} F = 1 (b ) 3 1 M f (ξ), ξ, b] 5

6 . Stim sintotic Si h: M ) ( H3 f (ξ j ) = H Hf (ξ j ) 1 1 }{{} somm di Riemnn Hf (ξ j ) f (x)dx, per H 0 f (x)dx = f (b) f (). Dunque, con buon pprossimzione, si pone: H 1 Hf (ξ j ) = H 1 f () f (b)]. 6