Esercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti

Transcript

1 Esercizi svolti di statistica Gianpaolo Gabutti 1

2 Introduzione Questo breve documento contiene lo svolgimento di alcuni esercizi di statistica da me svolti durante la preparazione dell esame di Matematica III al Politecnico di Torino. I testi degli esercizi sono quelli messi a disposizione dal sito NETTUNO, mentre lo svolgimento è la trascrizione esatta di come io ho svolto il problema. Invito chiunque voglia segnalarmi errori, inesattezze o inviarmi materiale integrativo, a scrivere al mio indirizzo in questo modo potremo aggiornare insieme questo materiale e renderlo sempre più utile alle persone che in futuro sosterranno questo esame. 2

3 Esercizio 1 Sia X un numero aleatorio che assume i valori {1, 2, 3, x} con probabilità 1/5, 1/10, 1/2, p. Determinare p e x nella ipotesi che il valore atteso di X sia uguale a 2.7, cioè P (X) = 2.7. Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: p x = p = 1 in cui la prima equazione deriva dalla definizione di valore atteso, mentre la seconda dai postulati del calcolo della probabilità : P(Ω) = 1. Svolgendo il calcolo si ottiene : p = 1 5 e x = 4 3

4 Esercizio 2 Siano A, E eventi incompatibili e sia B E con P(A) = 1 5, P(B) = 3 10, P(B) = 1 2. Determinare i relativi costituenti e calcolarne la probabilità. Si consideri poi il numero aleatorio X = 2 A B + 3 E. Determinare il suo codominio C e la probabilità degli eventi (X = x) con X C. I costituenti sono : A E B = A E B c = A E c B = A E c B c = P (A) = 1 5, (x = 1) A c E B = P (B) = 3 10, (x = 2) A c E B c = P (E) P (B) = 1 5, (x = 3) A c E c B = A c E c B c = 1 P (A) P (E) = 3 10, (x = 0) Essendo X = 2 A B + 3 E, il codominio è C = {0, 1, 2, 3}. 4

5 Esercizio 3 Dato il numero aleatorio X = 2 A A c B + 3 A B C c, con C A B, P (A) = P (B) = 0.6, P (A B) = 0.3, P (C) = 0.2, calcolare la probabilitá P (X 1). Anche in questo caso si determinano tutti i costituenti sono per cui la probabilitá non è nulla. Essi sono : A B C, p = 0.2, (x = 2) A B C c, p = 0.1, (x = 5) A B c C c, p = 0.3, (x = 2) A c B C c, p = 0.3, (x = 1) A c B c C c, p = 0.1, (x = 0) E dunque si ha P (X 1) = P (A c B C c ) P (A c B c C c ) = 0.4 5

6 Esercizio 4 Siano A, E eventi incompatibili e sia B E con P(A) = 1 5, P(B) = 3 10, P(B) = 1 2.Dato il numero aleatorio X = 5 A B + 3 E, determinare la sua previsione. Anche in questo caso si determinano tutti i costituenti per cui la probabilitá non è nulla. Essi sono : A E c B c, p = 1 5, (x = 5) A c B c C c, p = 3 10, (x = 0) A c E B c, p = 1 5, (x = 3) A c B C, p = 3 10, (x = 2) Pertanto, per definizione di variabile aleatoria abbiamo: P (x) = = 2.2 6

7 Esercizio 5 Dati tre numeri aleatori X, Y, Z con : var(x) = var(y ) = var(z) = 4 ρ(x, Y ) = ρ(x, Z) = ρ(y, Z) = 1 2 e posto U = 1 2 X Y 1 2 Z, calcolare var(u), var(x Y ), cov(2x, Y ). Per definizione di varianza abbiamo var(u) = var( 1 2 X) + var(1 2 Y ) + var( 1 2 Z) cov( 1 2 X, 1 2 Y ) + 2 cov(1 2 X, 1 2 Z) + 2 cov(1 2 Y, 1 Z) (1) 2 ovvero : var(u) = ( 1 2 )2 var(x) + ( 1 2 )2 var(y ) + ( 1 2 )2 var(z) cov(x, Y ) 1 2 cov(x, Z) 1 cov(y, Z) (2) 2 Ora, dai dati dell esercizio possiamo dedurre il valore della covarianza tra variabili; infatti, per definizione di coefficiente di regressione abbiamo : ρ(y, Z) = cov(x, Y ) σ x σ y Pertanto l equazione (2) vale : var(u) = = 2 Inoltre abbiamo cioè var(x Y ) = var(x) + var(( 1) Y ) + 2 cov(x, ( 1) Y ) var(x Y ) = var(x) + var(y ) 2 cov(x, Y ) = = 4 Infine si ha : cov(2x, Y ) = 2cov(X, Y ) = 2 cov(x, Y ) = 4 7

8 Esercizio 6 Due lotti contengono entrambi 21 pezzi funzionanti e 3 pezzi difettosi. Si estrae a caso un pezzo dal primo lotto e lo si mette nel secondo. Calcolare cov(x, Y ) essendo: X = numero pezzi difettosi nel primo lotto Y = numero pezzi difettosi nel secondo lotto Le variabili aleatorie in questione sono : X = {3, 2}, P (X = 3) = , P (X = 2) = 24 Y = {3, 4}, P (Y = 3) = , P (Y = 4) = 24 Applichiamo la formula per il calcolo della covarianza : cov(x, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) Abbiamo : E(X) = = 23 8 E(Y ) = = 25 8 E(X Y ) = = 71 8 e dunque : cov(x, Y ) = =

9 Esercizio 7 Si lanciano contemporanemente due dadi. Considerati i seguenti eventi: E = i due numeri sono diversi tra di loro H = i due numeri sono entrambi pari calcolare la probabilità P (E H) e P (H E) Innanzitutto abbiamo : P (E) = 1 P (E c ) = = 5 6 P (H) = 9 36 = 1 4 P (E H) = P (H E) = 6 36 = 1 6 Ora applichiamo la formula per il calcolo della probabilità condizionata : P (E H) = P (H E) = P (E H) P (H) P (E H) P (E) = 1 6 = = = 1 5 9

10 Esercizio 8 E noto che la percentuale di persone che hanno i capelli rossi in Piemonte, in Sardegna e nelle Marche è ripsettivamente del 5%, 1% e 2%. Le tre regioni hanno rispettivamente 4.5, 2, 1.5 milioni di abitanti. Calcolare la probabilità che la regione di origine di una persona, scelta a caso tra gli abitanti delle tre regioni, sia il Piemonte, supposto che : a) abbia i capelli rossi b) non abbia i capelli rossi Posti gli eventi : P = la persona proviene dal Piemonte M =la persona proviene dalle Marche S =la persona proviene dalla Sardegna R =la persona ha i capelli rossi si ha : P (P ) = 9 16, P (M) = 3 16, P (S) = 1 4 probabilità ottenute facendo il rapporto tra popolazione della regione e popolazione totale delle tre regioni (8 milioni). Inoltre, dai dati del problema ricaviamo : P (R P ) = 0.05, P (R M) = 0.02, P (R S) = 0.01 Ora abbiamo gli elementi per applicare la formula di Bayes : P (P R) = per cui : P (R P ) P (P ) P (R P ) P (P ) + P (R M) P (M) + P (R S) P (S) P (P R) = = Per risolvere il quesito (b), dobbiamo considerare l evento R c (la persona non ha i capelli rossi), ed utilizzare la formula di Bayes con i dati seguenti : P (R c P ) = 0.95, P (R c M) = 0.98, P (R c S) = 0.99 P (P R c ) = da cui si ottiene : P (R c P ) P (P ) P (R c P ) P (P ) + P (R c M) P (M) + P (R c S) P (S) P (P R c ) = =

11 Esercizio 9 In una fabbrica di biscotti le tre linee di produzione, A, B, C, sfornano rispettivamente il 55%, 30%, e il 15% della produzione totale. Supposto che le percentuali di biscotti bruciati che provengono dalle tre linee siano rispettivamente il 2%, il 3% e il 6%, calcolare la probabilit P 1 che un biscotto scelto a caso tra la produzione totale sia bruciato e la probabilità P 2 che un biscotto bruciato provenga dalla linea C. Posti gli eventi : A = il biscotto proviene dalla linea A B = il biscotto proviene dalla linea B C = il biscotto proviene dalla linea C b = il biscotto è bruciato si ha : P (A) = 0.55, P (B) = 0.3, P (C) = 0.15 Inoltre abbiamo le informazioni : P (b A) = 0.02, P (b B) = 0.03, P (b C) = 0.06 Sappiamo che : P (A) P (b A) = P (A b) = P (B) P (b B) = P (B b) = P (C) P (b C) = P (C b) = per cui : P 1 = P (A b) P (B b) P (C b) = Per calcolare la probabilità P 2, dobbiamo utilizzare la formula di Bayes : P (C b) = da cui si ottiene : P (b C) P (C) P (b C) P (C) + P (b B) P (B) + P (b A) P (A) P (C b) = =

12 Esercizio 10 E noto che un lotto di 50 pezzi contiene o pezzi tutti difettosi(evento H con probabilità 1 10, oppure un solo pezzo difettoso. Calcolare la probabilità condizionata di H nell ipotesi D che effettuando una sola estrazione si trovi un pezzo difettoso. Dai dati del problema ricaviamo : P (H) = 0.01, P (H c ) = 0.9 Inoltre abbiamo le informazioni : P (D H) = P (Ω) = 1, P (D H c ) = 1 50 Pertanto, applicando la formula di Bayes otteniamo : P (H D) = da cui si ottiene : P (H D) = P (D H) P (H) P (D H) P (H) + P (D H c ) P (H c ) 12

13 Esercizio 11 Si estraggono a caso, senza restituzione, n pezzi da un lotto che ne contiene 5, ottenendo sempre pezzi difettosi. Se è noto che il lotto contiene al più un pezzo non difettoso, calcolare il numero n di estrazioni necessarie affinchè la probabilità dell evento H = il lotto contiene un pezzo non difettoso, che era stata valutata, prima dell estrazione uguale a 1/2, risulti minore o uguale a 3/10. Ponendo l even- Il problema si risolve applicando la formula di Bayes in modo iterativo. to : A i = estraggo un pezzo difettoso alla i-esima estrazione abbiamo, dopo la prima estrazione, la seguente valutazione di probabilità : P (H A 1 ) = con P (A 1 H) P (H) P (A 1 H) P (H) + P (A 1 H c ) P (H c ) P (A 1 H) = 1 5 (rapporto tra casi favorevoli e casi possibili) P (H) = 1 2 (per ipotesi), P (A 1 H c ) = 1 (evento certo), P (H c ) = = 1 2 e dunque otteniamo la nuova valutazione di P (H), cioè 4 9 Ora effettuiamo una seconda estrazione. Il calcolo da effettuare è : P (H A 2 ) = con P (A 2 H) P (H) P (A 2 H) P (H) + P (A 2 H c ) P (H c ) P (A 2 H) = 3 4 (rapporto tra casi favorevoli e casi possibili) P (H) = 4 9 (calcolo precedente), P (A 2 H c ) = 1, P (H c ) = 5 9 da cui otteniamo la nuova valutazione di P (H), cioè 3 8 Ripetendo il procedimento, alla terza estrazione abbiamo i seguenti valori : P (A 3 H) = 2 3, P (H) = 3 8, P (A 3 H c ) = 1, P (H c ) = 5 8 da cui si ottiene : P (H A 3 ) = 2 7 = 0.28 <

14 Esercizio 12 Tra due punti A e B passa corrente attraverso due conduttori in parallelo. Il primo ha un interruttore I 1, l altro due interruttori I 2 e I 3 in serie. Indicando con gli stessi simboli I k, k = (1, 2, 3) gli eventi stocasticamente indipendenti che affermano che l interruttore è chiuso (passa corrente), calcolare la probabilità dell evento C = passa corrente tra A e B, sapendo che P (I 1 ) = P (I 2 ) = 1 2 e P (I 3) = 1 3. I costituenti sono : I 1 I 2 I 3 = 1 12 = 1 I 1 I 2 I 3 c = 1 6 = 1 I 1 I 2 c I 3 = 1 12 = 1 I 1 I 2 c I 3 c = 1 6 = 1 I 1 c I 2 I 3 = 1 12 = 1 I 1 c I 2 I 3 c = 1 6 = I 1 c I 2 c I 3 = 1 12 = I 1 c I 2 c I 3 c = 1 6 = La valutazione di probabilità dei singoli componenti è stata dedotta direttamente dall ipotesi di indipendenza stocastica. Inoltre si ha : P (I 1 c ) = P (I 2 c ) = 1 2 e P (I 3 c ) = 2 3 La probabilità di C è data dalla somma dei costituenti per cui la corrente passa, cioè i primi cinque della tabella : P (C) = =

15 Esercizio 13 Due dadi vengono lanciati 72 volte. Qual è la probabilità di ottenere la somma dei punti uguale a 2 per almeno 2 volte? Si può trattare questo problema come un problema di estrazione da un urna con restituzione, in cui p == 1 36 e q = Infatti ad ogni lancio abbiamo 36 probabilità di successo. La probabilità in questione è data da : 1 [( ) 72 ( ) 1 (35) ( ) 72 ( ) 0 (35) 72] 36 Infatti è più semplice calcolare la probabilità richiesta come l evento Ω meno la somma delle due probabilità corrispondenti ad avere 1 successo e 0 successi su 72 lanci. Sviluppando l espressione si ottiene: [ 72 p = 1 36 (35 36 da cui, semplificando : p = 1 ( 35) ) 71 + ( 35) 72] 36 Come noto, la funzione Binomiale di parametri n, p cioè B(n, p), può essere approssimata (per n grande) da una distribuzione di Poisson di parametro λ = n p : B(n, p) λx x! e λ Pertanto possiamo approssimare il calcolo utilizzando la distribuzione di Poisson; essendo n = 72 e p = 1 36, abbiamo λ = 2. Dunque p = 1 (2 e ! e 2 ) = 1 3 e

16 Esercizio 14 Un lotto contiene 8 pezzi difettosi e 20 funzionanti. Calcolare il numero minimo n di estrazioni con restituzione necessarie affinchè la probabilità che venga estratto almeno un pezzo difettoso sia maggiore di 3 4. Si può applicare la formula della distribuzione binomiale. Dai dati del problema ricaviamo: 1 ( ) n ( 8 ) 0 ( ) n 3 4 Il che porta a risolvere l equazione : (20 28) n 1 4 cioè : n log ( 8 ) (1) log 28 4 Essendo una frazione minore di 1, il minimo valore intero di n per cui è soddisfatta l equazione è 5. 16

17 Esercizio 15 In un controllo di qualità si estrae un campione di n = 10 pezzi da un lotto che ne contiene N = 50, fra i quali 2 difettosi. Il lotto viene accettato (evento E) se nel campione c è al più un pezzo difettoso. Calcolare la probabilità di E, anche ricorrendo all approssimazione binomiale. La probabilità richiesta è data da (applicando la formula della distribuzione ipergeometrica : ( 2 ( 48 ) 0) 10 ) + ( ( 2 ) ( 48 ) 1 9 ( 50 ) = Utilizzando l approssimazione binomiale, il calcolo da effettuare è : ( ) 10 ( ) 0 (48) ( ) 10 ( ) 1 (48) 9 50 corrispondenti, di nuovo, alla probabilità di avere 0 o 1 pezzo difettoso su 10 estrazioni. L espressione si semplifica in : (48) (48 50 ) 9 = ( 48) 9 ( ) =

18 Esercizio 16 Un lotto contiene 200 pezzi, fra i quali 10 sono difettosi. Si effettuano 5 estrazioni senza restituzione e si considera il mero aleatorio X = numero pezzi difettosi. Usando l approssimazione binomiale, calcolare la probabilità p dell evento X 2. Si calcola la probabilità utilizzando direttamente la formula della distribuzione binomiale: ( ) 5 ( ) 0 (190) ( ) 5 ( ) 1 (190) ( ) 5 ( ) 2 (190) Svolgendo i calcoli si ottiene P (X 2) =

19 Esercizio 17 Posto : X = Y = numero di lanci di un dado fino all uscita del numero 6 per la prima volta numero di lanci di un dado fino all uscita del numero 6 per la seconda volta Calcolare la probabilità degli eventi {X = n}, {Y X = m} e quella dell evento condizionato {Y X = m X = n}. Si tratta di un esempo di distribuzione geometrica ed è un caso più semplice della distribuzione binomiale. Infatti in questo caso non ci interessa la probabità di tutti gli eventi in cui abbiamo ottenuto un successo, ma solo quella di un evento particolare : i primi n 1 eventi sono insuccessi e solo l ultimo è un successo. La distribuzione di probabilità è : p (1 p) n 1 Applicando questa distribuzione al problema in esame si ha : P (X = n) = 1 6 (5) n 1 = 5n n Inoltre, l evento {Y X = m} ha distribuzione identica di probabilità : la probabilità che tra il primo ed il secondo successo intercorrano m tentativi segue sempre la distribuzione geometrica: P (Y X = m) = 5m 1 6 m Lo stesso ragionamento si applica all ultimo evento considerato (che è un altro modo di esprimere l evento {Y X = m}. 19

20 Esercizio 18 Il numero X di chiamate telefoniche che arrivano in un ora ad un ufficio segue la distribuzione di Poisson e la probabilità che in tale intervallo non arrivi alcuna telefonata è uguale a e 3. Calcolare il numero medio Y di telefonate che arrivano nell ufficio tra le 9 e le 13. La distribuzione di Poisson vale λx x! e λ Dai dati del problema ricaviamo : Cioè : λ 0 0! e λ = e 3 e λ = e 3 λ = 3 Pertanto la media cercata è 3 4(ore) = 12 20